11.2 平面的基本事实与推论（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“平面的基本事实与推论”核心知识点，衔接前期对点线面位置关系的直观认识，系统梳理3个基本事实及3个推论，搭建从直观到论证的学习支架，助力空间想象与逻辑推理能力培养。 该资料以生活实例（如自行车撑脚、直尺与桌面）导入，用数学眼光观察现实世界，通过纳入平面法、辅助平面法等多种证明方法培养数学思维，结合符号、图形、文字语言强化数学语言表达。课中即时练与例题解析辅助教学，课后练习题与跟踪训练帮助学生查漏补缺。

11．2　平面的基本事实与推论 新课导入 学习目标 通过前面的学习，我们直观认识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从平静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观认识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力． 1.理解平面的基本事实与推论． 2．能运用平面的基本事实及推论解决有关问题． 一　平面的基本事实与推论 思考1　若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ 提示　在桌面上． 思考2　为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ 提示　撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上． 思考3　两张纸面相交有几条直线？ 提示　一条． [知识梳理] 1．平面的基本事实 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实 1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点、线共面 基本事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A∈α且A∈β⇒α∩β＝a，且A∈a ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 2.基本事实的推论 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(如图1). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(如图2). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(如图3). [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经过三点确定一个平面．(　　) (2)梯形可以确定一个平面．(　　) (3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是____________． 解析：若四个点共面，则只能确定一个平面；若四个点不同在一个面上，则每三个点确定一个平面，此时共可确定4个平面，所以空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是4. 答案：4 3．两两平行的三条直线最多可以确定________个平面． 解析：如图，在正方体中，a∥b∥c，此时确定的平面个数最多，可以确定3个平面． 答案：3 二　点、线共面问题 [例1] 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 【证明】　方法一(纳入平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α，同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内． 方法二(辅助平面法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2和l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.又因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明点、线共面的常用方法 (1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； (2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． [跟踪训练1] 已知△ABC的三个顶点都在平面α上，求证：该三角形的内心I也在平面α上． 证明：记角A的平分线与BC交于点D，则I∈AD. 因为B∈α，C∈α，所以BC⊂α. 又D∈BC，所以D∈α. 因为A∈α，所以AD⊂α，因为I∈AD，所以I∈α. 即该三角形的内心I也在平面α上． 三　共线、共点问题 [例2] 如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线． 【证明】　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC. 由基本事实3，可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证点Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，故P，Q，R三点共线． (1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 [跟踪训练2] 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：EF，HG，DC三线共点． 证明：如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形， 所以HE綉C1B. 又F，G分别是BC，CC1的中点， 所以GF∥C1B，且GF＝C1B， 所以GF∥HE，且GF≠HE， 所以HG与EF相交． 设交点为K，所以K∈HG， 又HG⊂平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD. 因为K∈EF，EF⊂平面ABCD，所以K∈平面ABCD， 因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC， 所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点． 四　两平面的交线问题 [例3] 如图所示，E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线． 【解】　如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M. 因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， 所以M∈平面BED1F∩平面ABCD， 又B∈平面BED1F∩平面ABCD，连接MB，则直线MB为平面BED1F与平面ABCD的交线． 基本事实3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点． [跟踪训练3] 如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是梯形ABDC 所在平面外一点，试画出平面SBD和平面SAC的交线． 解：点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 则点S在两平面的交线上， 由于AB∥CD，AB>CD，所以分别延长AC和BD交于点E，如图所示． 因为E∈AC，AC⊂平面SAC，所以E∈平面SAC. 同理，E∈平面SBD. 所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线． 1．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，FG相交于点P，则(　　) A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ACD内 解析：选B.如图，连接EH，FG，BD，因为EH，FG所在直线相交于点P，所以P∈EH且P∈FG，因为EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.故选B. 2．空间中有三条直线a，b，c，则“a，b，c两两相交”是“a，b，c共面”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1，AB，AD三条直线两两相交，但AA1，AB，AD不共面； AB，AD，BC，都在平面ABCD中，但AD，BC不相交．所以“a，b，c两两相交”是“a，b，c共面”的既不充分也不必要条件． 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为平面ABCD的中心，则平面A1AC与平面DBC1的交线为________． 解析：平面A1AC即平面A1ACC1，因为O∈AC，AC⊂平面A1AC，所以O∈平面A1AC，因为O∈BD，BD⊂平面DBC1，所以O∈平面DBC1，又C1∈平面A1AC，C1∈平面DBC1，所以平面A1AC∩平面DBC1＝OC1. 答案：OC1 4.(教材P96T5改编)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)由点A，O，C可以确定一个平面； (2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1. 解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面． (2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1. 1．已学习：三个基本事实及推论． 2．须贯通：规范立体几何中三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换；在处理点线共面、点共线、线共点及两个平面的交线问题时初步体会三个基本事实的作用． 3．应注意：三个基本事实及推论的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $