11.1.4 棱锥与棱台（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学中棱锥与棱台的结构特征，承接棱柱知识，通过实物观察归纳棱锥（底面多边形、侧面为有公共顶点的三角形）和棱台（平行于棱锥底面的截面与底面间的多面体）的定义、结构及关系，构建从棱柱到棱锥再到棱台的知识支架。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察空间形式，通过例题辨析（如判断棱锥棱台）和计算（正棱锥高、棱台侧面积）培养数学思维，借助展开图问题（如最短路径）用数学语言转化空间问题。课中辅助教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固，查漏补缺。

11．1.4　棱锥与棱台 新课导入 学习目标 　　前面学习了棱柱的结构特征，结合平时观察到的实物模型，你能不能说出棱锥、棱台具有的结构特征呢？让我们本节课一起学习吧！ 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征，理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系． 2．能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 思考　图中的多面体具有怎样的特点？ 提示　通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点． [知识梳理] 1．棱锥的概念 定义 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 图形及表示 如图可记作：棱锥P­ABCD或棱锥P­AC 相关概念 底面(底)：多边形的那个面 侧面：有公共顶点的各三角形 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 2.特殊的棱锥 正棱锥 正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的斜高． [例1] (多选)下列说法中，正确的是(　　) A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 【解析】　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱相交于一点，不平行，故C错误；由四个平面围成的封闭图形是四面体，也就是三棱锥，故D正确． 【答案】　ABD 判断一个几何体是不是棱锥，关键看它是否具备棱锥的两个本质特征： (1)有一个面是多边形； (2)其余各面是有一个公共顶点的三角形． 以上两个本质特征缺一不可． [跟踪训练1] 说出图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱． 解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P­ABCDE；顶点为点P；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE. 二　棱台的结构特征 思考　若用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，直观感受一下，平面下方的几何体具有怎样的特点？ 提示　截面与棱锥的底面平行，各侧面都是梯形． [知识梳理] 1．棱台的结构特征 定义 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 图形及表示 如图可记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 相关概念 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 顶点：侧棱与上(下)底面的公共点 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 2.特殊的棱台 正棱台：由正棱锥截得的棱台． 正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高． [例2] (多选)下列选项中错误的是(　　) A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【解析】　A中的平面不一定平行于底面，故A错误；由棱台的定义知，D正确；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误． 【答案】　ABC 判断棱台结构特征的方法 (1)举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： ①定底面，两个互相平行的面即为底面； ②看侧棱延长线是否相交于一点． [跟踪训练2] (多选)如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　) A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1 解析：选ABD.对于A，因为≠，所以不能推断该几何体可能是三棱台，故A符合题意； 对于B，因为≠，所以不能推断该几何体可能是三棱台，故B符合题意； 对于C，因为＝＝，所以可以推断该几何体可能是三棱台，故C不符合题意； 对于D，该几何体不是三棱台，但可能是三棱柱，故D符合题意． 三　棱锥、棱台的有关计算 [例3] (对接教材例1)正三棱锥的底面边长为3，侧棱为2，求正三棱锥的高． 【解】　作出正三棱锥，如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点． 在Rt△ADO中，AD＝，∠OAD＝30°，故AO＝＝.在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，故SO＝＝3，故正三棱锥的高为3. 母题探究1　若本例条件不变，求正三棱锥的斜高． 解：作出正三棱锥，如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在Rt△SAE中，SA＝2，AE＝，所以SE＝＝.故正三棱锥的斜高为. 母题探究2　若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高． 解：如图，在正四棱锥S­ABCD中，设O为底面ABCD的中心，则SO为正四棱锥的高．AB＝BC＝CD＝DA＝3，AC＝3，所以OC＝，在Rt△SOC中，SC＝2，所以SO＝＝＝.故正四棱锥的高为. (1)有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形． (2)关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形． [跟踪训练3] 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm，6 cm，它的高是 cm，求这个正三棱台的侧面积． 解：如图所示，设O1，O分别是正三棱台上、下底面的中心，连接O1O，则O1O＝ cm. 连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1E⊥AD于点E. 在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm，DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝(cm)， 所以DD1＝＝ ＝(cm)， 所以S正三棱台侧＝3××(6＋3)×＝(cm2). 四　棱锥、棱台的展开图与截面问题 [例4] 在正三棱锥A­BCD中，∠BAD＝20°，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD相交于点B1，D1，则△CB1D1的周长的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 【解析】　将正三棱锥A­BCD沿AC剪开，如图，因为∠BAD＝20°，所以∠CAC′＝60°，又△CB1D1的周长为CD1＋D1B1＋B1C′，所以要使△CB1D1的周长最小，则C，D1，B1，C′共线，此时CD1＋D1B1＋B1C′＝CC′.又正三棱锥A­BCD的侧棱长为4，△CAC′是等边三角形，所以(CD1＋D1B1＋B1C′)min＝4. 【答案】　B 多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． [跟踪训练4] 某城市中心广场主题建筑为三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点． (1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母； (2)为迎接国庆，相关部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？ 解：(1)该几何体的表面展开图如图所示(答案不唯一). (2)由该几何体的表面展开图知，四边形ABCD为菱形，若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其表面展开图中连接线段EF(图略).这两条线段均为10 m，故所用灯管长度最短为20 m． 1．对于棱锥，下列叙述正确的是(　　) A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面 C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面 解析：选D.对于A，因为四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，因为五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，因为六棱锥的顶点有七个，故C错误；对于D，根据棱锥的定义知，D正确．故选D. 2．如图所示，三棱台A′B′C′­ABC截去三棱锥A′­ABC后，剩余部分的几何体是(　　) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体 解析：选C.由题图知，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C. 3．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm，3 cm，侧棱长为 cm，则棱台的侧面积为(　　) A．4 cm2　 B．5 cm2 C．4 cm2 D．8 cm2 解析：选B.由题意得，正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，且其上、下底面边长分别为2 cm，3 cm，腰长为 cm，所以斜高为h′＝＝(cm).所以侧面积为S＝×(2＋3)××4＝5(cm2). 4.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的正六棱锥． (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； (2)若大棱锥的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积． 解：(1)由题意知PO′＝PO，所以S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4， 则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. (2)如图所示，因为小棱锥的底面边长为4 cm，所以大棱锥的底面边长为8 cm， 又PA＝12 cm，所以A1A＝6 cm. 又梯形ABB1A1的高 h′＝＝4(cm)， 所以S棱台侧＝6××4＝144(cm2)， 所以S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2. 1．已学习：棱锥、棱台的结构特征． 2．须贯通：棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键；多面体表面距离最短问题，常将多面体的侧面展开转化为平面上两点间的距离问题． 3．应注意：棱台的各侧棱延长后交于一点． 学科网（北京）股份有限公司 $