11.1.1 空间几何体与斜二测画法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦空间几何体与斜二测画法核心知识点，从几何体概念引入，系统梳理直观图概念、斜二测画法步骤（平面图形与空间几何体）及直观图还原与计算，构建从基础到应用的学习支架。 该资料以美术与数学联系导入激发兴趣，通过“乒乓球台面直观图”等思考引导学生用数学眼光观察现实，例题分步解析培养数学思维，知识梳理与练习助力用数学语言表达空间关系。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

11．1　空间几何体 11．1.1　空间几何体与斜二测画法 新课导入 学习目标 　　美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．如何在平面上画出空间几何体呢？ 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 2．会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图． 　 [知识梳理] 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体． [即时练] 1．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的字是(　　) A．者 B．事 C．竟 D．成 解析：选A. 根据正方体的表面展开图，还原成正方体，如图所示．其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．故选A. 2．如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ 解：将题图中的表面展开图还原成几何体，如图所示． ①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． (1)解答此类问题要结合多面体的结构特征，发挥空间想象力和动手能力． (2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面． (3)若是给出表面展开图，则可把上述过程逆推． 角度1　平面图形的直观图的画法 思考　 乒乓球台面是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？ 提示　在乒乓球台面上建立平面直角坐标系，如图1所示， 如图2，当两坐标轴的夹角不是90°时，台面看起来就是平行四边形了． [知识梳理] 1．直观图的概念：立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图． 2．斜二测画法的步骤 [例1] 用斜二测画法画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图． 【解】　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示． (2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图2. (3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图3. 关于斜二测画法作图 (1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系，或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上． (2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行(或重合)的线段，原则是“横不变、纵减半”． (3)对于不与坐标轴平行(或重合)的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置． [跟踪训练1] 用 斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 解：(1)如图1所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm， 在y′轴上截取O′A′＝OA＝ cm， 连接A′B′，A′C′，如图2所示，并擦去x′轴和y′轴，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图3所示． 角度2　空间几何体的直观图的画法 思考　我们可以把正方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出正方体的直观图呢？ 提示　先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面直观图平移，平移长度为正方体棱长，再顺次连接各顶点，就作出了正方体的直观图． [知识梳理] (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴). (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). [例2] 画出底面是边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． 【解】　(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O， 使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图1. (2)画底面．在xOy平面内，以O为中心，在y轴上取EF＝0.6 cm，过点E作AB∥x轴且EA＝EB＝0.6 cm，过点F作CD∥x轴且FC＝FD＝0.6 cm.连接AD，BC，得到正方形的直观图ABCD. (3)画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm. (4)成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图2. 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出． (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向． (3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致． [跟踪训练2] 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图． 解：画法步骤： (1)画轴．如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm； 在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线， 设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图． (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图，如图2. [例3] (1)(多选)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2，则以下说法正确的是(　　) A.△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC的周长是4＋4 (2) 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是__________(填形状)，其面积为__________． 【解析】　(1)根据斜二测画法可知， 在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB， 因为O′C′＝O′A′＝2O′B′＝2， 所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2， 则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形， 所以△ABC的周长是4＋4，面积是4，故A错误，C，D正确． 由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A′B′C′的面积的2倍，故B错误． (2) 如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm， 所以OC＝＝＝6(cm)， 所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形． S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24(cm2). 【答案】　(1)CD　(2)菱形　24 cm2 (1)由直观图还原平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段．平行(或重合)于x′轴的线段还原时长度不变，平行(或重合)于y′轴的线段还原时扩大为直观图中相应线段长度的2倍，由此可以确定图形的各个顶点，再顺次连接即可． (2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S(或S＝2S′). [跟踪训练3] (1)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 解析：选D.因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形． (2)(2025·大连月考)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 解析：选D.方法一：建立如图1所示的平面直角坐标系Oxy.如图2所示，建立坐标系O′x′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2. 方法二：S△ABC＝a2，又S△A′B′C′＝S△ABC，所以S△A′B′C′＝×a2＝a2. 　 1．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　) A．平行于z轴且大小为10 cm B．平行于z轴且大小为5 cm C．与z轴成45°且大小为10 cm D．与z轴成45°且大小为5 cm 解析：选A.平行(或重合)于z轴的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致． 2．(多选)(教材P59T4改编)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是(　　) A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 解析：选AB.斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是平行四边形，菱形的直观图是邻边不相等的平行四边形． 3．如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是__________． 解析：由题图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4.又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16. 答案：16 4．如图，已知水平放置的正五边形ABCDE，试画出其直观图． 解：画法： (1)在图1中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H. (2)在图2中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′， 使∠x′O′y′＝45°. (3)在图2中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD，连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′. (4)擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图3). 1．已学习：斜二测画法、空间几何体直观图的画法、直观图的还原与计算． 2．须贯通：斜二测画法的“三变”与“三不变”：①三变：坐标轴的夹角，与y轴平行线段的长度，图形的形状；②三不变：线段的平行关系，与x轴、z轴平行的线段长度，点的相对位置． 3．应注意：同一图形选取的坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 学科网（北京）股份有限公司 $