第10章 阶段提升(二) 复数(范围：10.1～10.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

阶段提升(二)　复　数(范围：10.1～10.2)

1．已知复数(＋i)2(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　)

A．0　　　　　　　　 B．1

C．2    D．3

解析：选B. 由(＋i)2＝a－1＋2i，因为该复数是纯虚数，所以解得a＝1.

2．(多选)已知z1＝i40－i，(1－2i)z2＝i－3，若a，b∈R，z1＋a为纯虚数，z2－bi为实数，则(　　)

A．＝    B．z2的虚部为－i

C．a＝－1    D．b＝－1

解析：选ACD.因为z1＝i40－i＝1－i，所以＝＝，故A正确；

因为(1－2i)z2＝i－3，所以z2＝＝＝－1－i，虚部为－1，

故B错误；

因为z1＋a＝1＋a－i为纯虚数，所以1＋a＝0，即a＝－1，故C正确；

因为z2－bi＝－1－(b＋1)i为实数，所以b＋1＝0，解得b＝－1，故D正确．

3．已知复数z＝－2i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为___________．

解析：依题意，z＝－2i＝－2i＝＋i－2i＝－i，所以z的虚部为－.

答案：－

4．设a∈R，若存在复数z满足z－＝a＋2i(i为虚数单位)，则a＝________．

解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则＝x－yi，所以z－＝x＋yi－(x－yi)＝a＋2i，

所以2yi＝a＋2i，即a＝0.

答案：0

处理复数概念问题的注意点

(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．

(2)复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0；若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0；若复数a＋bi为零，则a＝0且b＝0；若复数a＋bi是虚数，则b≠0.

(3)明确复数相等的条件，利用共轭复数的定义转化条件解题．

1．如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则＝(　　)

A．    B．3

C．    D．4

解析：选C. 由题意可设z2＝a＋bi(a<0，b>0)，在复平面内，z2对应的向量为(a，b)，z1对应的向量为(2，1)，由旋转性质得z2和z1模相等，且它们对应的向量垂直，

则得

所以z2＝－1＋2i，所以z1＋z2＝(2＋i)＋(－1＋2i)＝1＋3i，

所以＝，故C正确．

2．(多选)已知复数z1＝2＋3i，z2＝3－4i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则(　　)

A．＝＋

B．＝5

C．满足＝的复数z对应的点Z形成的图形的周长是5π

D．满足<<的复数z对应的点Z形成的图形的面积是12π

解析：选BD.由z1＝2＋3i，z2＝3－4i，得Z1(2，3)，Z2(3，－4).

对于A，z1＋z2＝5－i，则＝，又＝，＝5，所以≠＋，故A错误；

对于B，＝＝5，故B正确；

对于C，由＝，得＝5，所以复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，半径为5的圆，即点Z形成的图形的周长为10π，故C错误；

对于D，由<<，得<<5，所以复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，为半径和5为半径的两个圆所构成的圆环的部分(不包括边界)，所以点Z形成的图形的面积为25π－13π＝12π，故D正确．