10.3 复数的三角形式及其运算（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

*10.3　复数的三角形式及其运算

 

思考　我们知道复数z＝a＋bi可以由向量在两坐标轴方向上的投影a，b来确定，是否可以由其他元素来确定？

提示　可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来确定．

[知识梳理]

一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝，因此a＝r cos θ，b＝r sin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝r(cos_θ＋isin_θ)称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．

特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg_z．

角度1　复数的代数形式化为三角形式

[例1] (对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式．

(1)3－i；

(2)－i.

【解】　(1)r＝ ＝2.

因为与3－i对应的点在第四象限，所以arg(3－i)＝，

所以3－i＝2(cos ＋isin ).

(2)r＝ ＝2.

因为与－i对应的点在第四象限，

所以arg(－i)＝，

所以－i＝2(cos ＋isin ).

复数的代数形式转化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模；

(2)判断辐角所在的象限；

(3)根据象限求出辐角；

(4)求出复数的三角形式．

角度2　复数的三角形式化成代数形式

[例2] 把下列复数的三角形式化成代数形式．

(1)4(cos ＋isin )；

(2)3(cos ＋isin ).

【解】　(1)4(cos ＋isin )＝4cos ＋(4 sin )i＝4×＋(4×)i＝2＋2i.　

(2)3(cos ＋isin )＝3cos ＋(3sin )i＝3×(－)＋3×(－)i＝－－i.

将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A．

[跟踪训练1] (1)下列复数中是三角形式的是　(　　)

 

A．2(cos －isin )    B．2(cos ＋isin )

C.2(sin －icos )    D．－2(sin －icos )

解析：选B.复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号．

(2)复数10(cos ＋isin )表示成代数形式为____________．

解析：10(cos ＋isin )＝10(－－i)＝－5－5i.

答案：－5－5i

思考　根据复数乘法定义，复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘的结果是什么呢？

提示　z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[(cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2)＋i(sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2)]＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)].

[知识梳理]

1．乘法运算法则