10.3 课时1 复数的三角形式及其运算 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

复数的三角形式及其运算 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念. 2.能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化. 学习活动 目标一：通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念. 任务：结合平面向量的坐标表示，推导复数的三角形式. 问题： 设复数在复平面内对应的点为Z， （1）写出Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量，并求出的模r的值和与x轴正半轴的夹角的值. （2）探讨与的实部、虚部之间的关系. 思考：根据上述问题，思考如何用复平面向量的r和去表示复数？ 【概念讲解】 练一练： 判别下列复数是否是三角形式（ ） A． B． C． D． 【归纳总结】 目标二：能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化. 任务：根据复数的三角形式，将复数代数形式转化为三角形式. 把下列复数的代数形式改写成三角形式. （1） （2） （3） 思考：将复数代数形式转化为三角形式有哪些方法步骤？ 【归纳总结】 练一练： 把复数表示成三角形式. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复数三角形式”、“辐角”、“辐角主值”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复数的三角形式及其运算 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念. 2.能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化. 学习活动 目标一：通过复数的几何意义，了解复数的三角形式及其相关概念. 任务：结合平面向量的坐标表示，推导复数的三角形式. 问题： 设复数在复平面内对应的点为Z， （1）写出Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量，并求出的模r的值和与x轴正半轴的夹角的值. 参考答案： 向量如图. （2）探讨与的实部、虚部之间的关系. 参考答案： 思考：根据上述问题，思考如何用复平面向量的r和去表示复数？ 参考答案：记向量的模，由图可知，所以，其中，.这样，我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角表示了复数z. 【概念讲解】 一般地，如果非零复数在复平面内对应点，且为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则 是复数的三角形式，对应的称为复数的代数形式， 其中称为的辐角. 任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z. 注：θ可以为任意值，任意复数都可以写成三角形式，其中0＝0（cos θ+isin θ）为复数0的三角形式. 练一练： 判别下列复数是否是三角形式（ ） A． B． C． D． 参考答案：复数的三角形式是，其中，A，B，C均不是这种形式， A．中不满足； B．中不满足； C．中，不满足； D．满足. 【归纳总结】 复数三角形式的结构特征注意事项： （1） 复数的实部是，虚部是； （2） r≥0； （3） 分别是同一个角的余弦值和正弦值； （4） 与之间用“+”相连； 用同一个辐角，但不一定要求是辐角主值. 目标二：能够进行复数的代数形式与三角形式之间的转化. 任务：根据复数的三角形式，将复数代数形式转化为三角形式. 把下列复数的代数形式改写成三角形式. （1） （2） （3） 参考答案： 解：（1）法1：因为模长 所以可取θ＝arg (1-i)=，所以. 法2： （2）因为2i在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上， 所以可知，从而可知 （3）因为-1在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上， 所以可知，从而可知. 思考：将复数代数形式转化为三角形式有哪些方法步骤？ 【归纳总结】 复数代数形式转化为三角形式的方法： 1.由定模； 2.由及点所在象限定辐角（一般情况下定出辐角主值即可）； 3.写出三角形式. 注：a为正实数时，有 练一练： 把复数表示成三角形式. 参考答案：∵， ∴，，，∴可以取， ∴所求复数的三角形式为. 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “复数三角形式”、“辐角”、“辐角主值”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$