10.2.2 复数的乘法与除法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的乘法与除法运算，承接复数加减运算基础，通过多项式乘法类比引入，系统梳理乘除运算法则、运算律及复数方程求解，构建从概念到应用的学习支架。 以数学眼光类比迁移（如多项式乘法到复数乘法），通过数学思维推理运算规律（如分母实数化），用数学语言规范结果表达。例题与跟踪训练结合，课中助教师系统教学，课后帮学生巩固提升，弥补薄弱环节。

10．2.2　复数的乘法与除法 新课导入 学习目标 　　上节课我们研究了复数的加、减运算及其几何意义，发现其运算规律与实数的加、减运算规律是相似的，那么复数间有无乘法、除法运算呢？与实数多项式的乘法、除法是否也有类似的地方呢？ 1.掌握复数代数形式的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 思考1　多项式(ax＋b)·(cx＋d)的运算结果是什么？ 提示　(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd. 思考2　多项式的乘法遵循什么原则？ 提示　交换律、结合律及乘法对加法的分配律． [知识梳理] 1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 [例1] 计算： (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R. 【解】　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4. (1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法 首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. [跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限． (2)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝___________________________________________. 解析：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i. 答案：－1＋i 思考1　实数的除法运算与乘法运算有什么关系？ 除式a÷b与分式有什么关系？ 提示　除法是乘法的逆运算；a÷b＝. 思考2　举例说明如何化简根式除法的结果呢？ 提示　分母有理化，如＝＝5＋2. [知识梳理] 1．一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数． 2．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)， 则＝＝＋i. 点拨　(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式． [例2] (1)(多选)(2025·德州段考)若复数z满足(1－i)z＝i2 024，为z的共轭复数，则(　　) A．z在复平面内对应的点位于第二象限 B．|z|＝ C．z·＝ D．是纯虚数 (2)(对接教材例3)计算：①(3＋i)÷(2－i)； ②；③＋. 【解】　(1)选BCD.i2 024＝i506×4＝(i4)506＝1， 则z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点为(，)，位于第一象限，A错误； |z|＝＝，B正确； ＝－i，z·＝()2－(i)2＝，C正确； ＝＝＝－i，D正确． (2)①(3＋i)÷(2－i)＝＝＝＝1＋i. ②＝＝＝＝－1－8i. ③＋＝＋ ＝＋＝－i＋(－i)2 026＝－i＋i2＝－1－i. (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式 ＝－i，＝i，in＋in+1＋in+2＋in+3＝0(n∈N). [跟踪训练2] (1)已知z＝，i为虚数单位，则|z|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.z＝＝＝＝＋i，|z|＝＝.故选C. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选C.方法一(解方程法)：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C. 方法二(取倒数法)：因为＝1＋i，所以＝，即1－＝＝－i，即＝＋i＝，所以z＝＝1－i，故选C. [例3] (对接教材例4)(1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则(　　) A．|z1－z2|＝ B．|z1|＝ C．z1＋z2＝1 D．z1z2＝1 (2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝________． 【解析】　(1)由方程x2＋x＋1＝0 得Δ＝1－4＝－3＜0， 由求根公式得x＝， 不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i. |z1－z2|＝|i|＝，A错误； |z1|＝＝＝1，B错误； z1＋z2＝－1，C错误； z1z2＝1，D正确． (2)方法一：把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0， 得(－a＋b)＋(a－2)i＝0， 所以解得所以ab＝4. 方法二：由一个根是－1＋i，可知另一个根是－1－i， 则 所以ab＝4. 【答案】　(1)D　(2)4 (1)复数范围内解方程的方法 ①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根； ②公式法求根：当Δ≥0时，x＝；当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数). ③利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． (2)注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立． [跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为(　　) A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 解析：选B.根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B. (2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是________________________________________． 解析：因为一元二次方程x2－kx＋3＝0有虚数根， 则Δ＝k2－4×1×3<0，解得－2<k<2. 答案：(－2，2) 1．(1＋i)(2－4i)＝(　　) A．4＋4i　 　　　 B．2＋4＋(2－4)i C．2－4i D．4－2＋(4－2)i 解析：选B.(1＋i)(2－4i)＝2＋4＋(2－4)i. 2．已知i是虚数单位，复数z＝，则z在复平面内对应点的坐标是(　　) A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－1，－1) D．(1，1) 解析：选A.依题意，z＝＝＝1－i，所以z在复平面内对应点的坐标是(1，－1). 3．(多选)(教材P41练习AT4改编)已知－3＋4i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则(　　) A．方程的另一个根为－3－4i B．pq＝120 C．p－q＝－19 D．方程x2＋q－p＝0的根为±3i 解析：选AC.易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确；又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确；x2＋25－6＝0，即x2＝－19，故x2＋q－p＝0的根为±i，D错误． 4．若z＝为纯虚数，则复数z的虚部为_______________________． 解析：z＝＝＝，　 因为复数z为纯虚数， 所以2－2m＝0，且4＋m≠0，解得m＝1， 得z＝＝＝i，所以虚部为1. 答案：1 5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝________． 解析：2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则另一个虚数根是a－2i，由根与系数的关系，得 解得 答案：26 1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程． 2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立． 3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误； (2)实系数一元二次方程的虚数根成对出现，且互为共轭复数． 学科网（北京）股份有限公司 $