10.2.2 复数的乘法与除法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10．2.2　复数的乘法与除法

 

思考1　多项式(ax＋b)·(cx＋d)的运算结果是什么？

提示　(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd.

思考2　多项式的乘法遵循什么原则？

提示　交换律、结合律及乘法对加法的分配律．

[知识梳理]

1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有

 

[例1] 计算：

(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)；

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；

(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R.

【解】　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4.

(1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法

首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

(2)常用公式

①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).

③(1±i)2＝±2i.

[跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　 B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：选A.z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．

(2)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝___________________________________________.

解析：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i.

答案：－1＋i

思考1　实数的除法运算与乘法运算有什么关系？ 除式a÷b与分式有什么关系？

提示　除法是乘法的逆运算；a÷b＝.

思考2　举例说明如何化简根式除法的结果呢？

提示　分母有理化，如＝＝5＋2.

[知识梳理]

1．一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．

2．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，

则＝＝＋i.

点拨　(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

 

[例2] (1)(多选)(2025·德州段考)若复数z满足(1－i)z＝i2 024，为z的共轭复数，则(　　)

A．z在复平面内对应的点位于第二象限

B．|z|＝

C．z·＝

D．是纯虚数

(2)(对接教材例3)计算：①(3＋i)÷(2－i)；

②；③＋.

【解】　(1)选BCD.i2 024＝i506×4＝(i4)506＝1，

则z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点为(，)，位于第一象限，A错误；

|z|＝＝，B正确；

＝－i，z·＝()2－(i)2＝，C正确；