10.2.1 复数的加法与减法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10．2　复数的运算

10．2.1　复数的加法与减法

 

 

思考　多项式(3a＋2b)＋(2a－3b)的运算结果是什么？多项式的加、减法遵循什么原则？

提示　5a－b；合并同类项．

[知识梳理]

1．复数的加、减运算法则

一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．

2．复数加法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[例1] (1)(对接教材例1)计算：

(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________．

(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．

【解析】　(1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i.

(2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

所以解得

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝＝.

【答案】　(1)1＋i　(2)

(1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项．

①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

(2)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数．

[跟踪训练1] (1)计算＋(2－i)－＝________．

解析：原式＝＋i＝1＋i.

答案：1＋i

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________．

解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

因为z＋1－3i＝5－2i，

所以x＋yi＋1－3i＝5－2i，

即解得所以z＝4＋i.

方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.

答案：4＋i

思考　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量坐标的加法运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？

提示　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).

几何意义是以，为邻边的平行四边形的对角线．

[知识梳理]

z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应．

[例2] 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：　

(1)所对应的复数，所对应的复数；

(2)对角线所对应的复数；

(3)对角线所对应的复数及的长度．

【解】　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i.