10.2.1 复数的加法与减法（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法运算，基于复数概念的数集扩充，通过类比多项式合并同类项引入运算法则，明确实部虚部分别相加减的规则及交换律、结合律，结合向量加减阐述几何意义，构建代数到几何的知识支架。 该资料以多项式运算类比切入，培养数学思维中的推理意识，通过向量几何意义建立数形联系发展数学眼光中的几何直观。例3利用模的几何意义求最值体现数学语言应用，课中例题解析与母题探究助力教学，课后跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，强化运算能力。

10．2　复数的运算 10．2.1　复数的加法与减法 新课导入 学习目标 　　通过引进虚数单位i，我们把数集进行了扩充，实数可以进行四则运算，虚数单位i也可以与实数一起按照实数的运算法则进行运算．任意的两个复数又该如何进行运算呢？ 1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数的加、减运算法则． 2．结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义． 思考　多项式(3a＋2b)＋(2a－3b)的运算结果是什么？多项式的加、减法遵循什么原则？ 提示　5a－b；合并同类项． [知识梳理] 1．复数的加、减运算法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [例1] (1)(对接教材例1)计算： (1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________． (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． 【解析】　(1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i. (2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝＝. 【答案】　(1)1＋i　(2) (1)复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项． ①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． ②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项． (2)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数． [跟踪训练1] (1)计算＋(2－i)－＝________． 解析：原式＝＋i＝1＋i. 答案：1＋i (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，则z＝________． 解析：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为z＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋1－3i＝5－2i， 即解得所以z＝4＋i. 方法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 答案：4＋i 思考　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量坐标的加法运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示　设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d). 几何意义是以，为邻边的平行四边形的对角线． [知识梳理] z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应． 运算 名称 加法 减法 几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝对应 复数的差z1－z2与向量－＝对应 推论 ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2| ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2| [例2] 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：　 (1)所对应的复数，所对应的复数； (2)对角线所对应的复数； (3)对角线所对应的复数及的长度． 【解】　(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，所以所对应的复数为－3－2i.因为＝，所以所对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线＝＋， 所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以||＝＝. 母题探究1　若本例条件不变，试求点B所对应的复数． 解：因为＝＋，所以所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i. 母题探究2　若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数． 解：由题意知，点M为OB的中点， 则＝.由上题知点B的坐标为(1，6)，得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：复数的加减运算可以借助图形，利用平行四边形法则、三角形法则进行运算；利用复数对应向量的关系得到复数间的关系． [跟踪训练2] (1)已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，在复平面内，z1－z2对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为z1＝1＋3i，z2＝3＋i， 所以z1－z2＝1＋3i－(3＋i)＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i， 故z1－z2在复平面内对应的点(－2，2)在第二象限． (2)(2025·日照月考)在复平面上有A，B，C三点，点A表示的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，则点C的坐标为________． 解析：因为对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，又＝－， 所以对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，又＝＋(O为坐标原点)， 所以点C表示的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i， 所以点C的坐标为(4，－2). 答案：(4，－2) [例3] 已知复数z满足|z＋2－2i|＝2，且复数z在复平面内的对应点为M. (1)确定点M的集合构成图形的形状； (2)求|z－1＋2i|的最大值和最小值． 【解】　(1) 设复数－2＋2i在复平面内的对应点为P(－2，2)， 则|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝|MP|＝2，故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如图所示． (2)设复数1－2i在复平面内的对应点为Q(1，－2)，　 则|z－1＋2i|＝|MQ|，如图所示， |PQ|＝＝5， 则|z－1＋2i|的最大值，即|MQ|的最大值是|PQ|＋2＝7； |z－1＋2i|的最小值，即|MQ|的最小值是|PQ|－2＝3. 母题探究　若本例条件不变，则|z|min＝__________，|z|max＝__________． 解析：因为|z＋2－2i|＝2， 所以||z|－|2－2i||≤|z＋2－2i|≤|z|＋|2－2i|，　 即 解得2－2≤|z|≤2＋2. 所以|z|min＝2－2，|z|max＝2＋2. 答案：2－2　2＋2 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． (4)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，求复数模的最值． [跟踪训练3] (1)已知复数z满足|z＋i|＝|z－i|，则|z＋1＋2i|的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选B.设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为实轴，又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，所以问题转化为实轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.故选B. (2)(2025·潍坊月考)设z是复数且|z－2|＝1，则|z|的最小值为__________． 解析： 根据复数模的几何意义可知，＝1表示复平面内复数z对应的点Z在以(2，0)为圆心，1为半径的圆上，而表示点Z到原点的距离， 由图可知，＝2－1＝1. 答案：1 1．若z－3＋5i＝8－2i，则z＝(　　) A．8－7i　　　　　　 B．5－3i C．11－7i D．8＋7i 解析：选C.z＝(8－2i)－(－3＋5i)＝11－7i.故选C. 2．设复数z1＝2－i，z2＝－3＋5i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为z1＋z2＝(2－i)＋(－3＋5i)＝－1＋4i，所以z1＋z2在复平面内对应的点的坐标为(－1，4)，位于第二象限． 3．(多选)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为，则(　　) A．m＝－4 B．|z2|＝2 C．＝－4－3i D．复数的虚部为－3i 解析：选AC.由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，对于A，因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；对于B，|z2|＝1，故B错误；对于C，＝－4－3i，故C正确；对于D，复数的虚部为－3，故D错误．故选AC. 4．(教材P36练习BT4改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝________． 解析：方法一：z1－z2对应的向量为－，由题图知－＝(－2，－2)，所以z1－z2＝－2－2i. 方法二：由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i. 答案：－2－2i 5．复数z1＝2＋2i与z2＝3－5i在复平面内对应的点之间的距离为__________． 解析：由题意可知，z1，z2在复平面内对应的点之间的距离为|z1－z2|＝|－1＋7i|＝5. 答案：5 1．已学习：复数的加、减运算法则及其几何意义． 2．须贯通：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，把条件转化为x，y满足的关系式，这是“复数问题实数化”思想的应用；d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其直观性可求相关问题的最值． 3．应注意：(1)复数的差对应向量的方向； (2)两个复数差的模的几何意义． 学科网（北京）股份有限公司 $