10.2.1 复数的加法与减法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法，系统讲解代数运算法则（实部虚部分别相加减，满足交换律、结合律）和几何意义（对应向量加减及模的性质），衔接复数概念与后续乘除运算，构建完整知识支架。 以问题驱动（如“复数加法是否满足交换律”）引导思考，通过多项式类比和向量直观培养数学抽象与几何直观，题型分类与通性通法总结助力掌握运算规律，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升。

10.2.1　复数的加法与减法 1.借助多项式加法与减法的运算性质，理解复数加法与减法运算的概念、运算公式与加法运算律（数学运算）. 2.借助平面向量的加、减法法则，理解复数加、减法的几何意义（直观想象）. 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律. 问题　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点一　复数的加法与减法 1.运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， 则z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　. 2.加法运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 z1＋z2＝　　　　， （z1＋z2）＋z3＝　　　　　　　　. 【想一想】 1.两个复数的和或差是什么数，它的值唯一确定吗？ 2.复数的加法中规定，两复数相加是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减吗？ 1.已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的虚部是（　　） A.1 B. C.－1 D.－i 2.已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝（　　） A.0 B.6i C.6 D.6－6i 知识点二　复数加法与减法的几何意义 z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）相对应，且，不共线 运算名称 加法 减法 几何意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标 对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 结论 ｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1＋z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜ ｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1－z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜ 【想一想】 1.类比绝对值｜x－x0｜的几何意义，｜z－z0｜（z，z0∈C）的几何意义是什么？ 2.两个复数的和（差）是复数，但两个虚数的和（差）一定是虚数吗？ 1.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（　　） A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i 2.在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　） A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i 题型一｜复数的加、减运算 【例1】　（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）； （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 尝试解答 通性通法 复数加、减运算的法则 （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 【跟踪训练】 1.已知复数z＝1＋i，则｜3＋2i－z｜＝（　　） A.2 B. C. D.3 2.复数z满足2z＋3＝5－2i，则的虚部为（　　） A.－2 B.2 C.2i D.－2i 题型二｜复数加、减法的几何意义 【例2】　如图，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求B点对应的复数. 尝试解答 通性通法 运用复数加、减法运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）. 【跟踪训练】 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是（　　） A.2＋4i B.－2＋4i C.－4＋2i D.4－2i 题型三｜复数模的最值问题 【例3】　若复数z满足｜z｜＝2，则｜1＋i＋z｜的取值范围是（　　） A.[1，3] B.[1，4] C.[0，3] D.[0，4] 尝试解答 通性通法 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题可转化为点的轨迹问题，再结合图形求解，也可利用结论｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜求解. 【跟踪训练】 已知复数z满足｜z＋1｜＝｜z－i｜，则｜z＋i｜的最小值为　　　　. 　　在复平面内，复数z对应的点为Z，复数a＋bi（a，b∈R）对应的点为Z0，那么｜z－（a＋bi）｜的几何意义是点Z与点Z0之间的距离，｜z－（a＋bi）｜＝r的几何意义是以点Z0为圆心，r为半径的圆. 【问题探究】 1.已知z∈C，且｜z＋3－4i｜＝1，求｜z｜的最大值与最小值. 提示：由于｜z＋3－4i｜＝｜z－（－3＋4i）｜＝1，所以在复平面内，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（－3，4）为圆心，半径为1的圆，而｜z｜表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又｜OC｜＝5，所以点Z到原点O的最大距离为圆心C到原点的距离加上半径长，得5＋1＝6，最小距离为圆心到原点的距离减去半径长，得5－1＝4.即｜z｜max＝6，｜z｜min＝4. 2.若复数z满足｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，求｜z＋i＋1｜的最小值. 提示：设复数z，－2i，2i，－（1＋i）在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3， ∵｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，｜Z1Z2｜＝4， ∴Z的集合为线段Z1Z2， 如图所示，则问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求｜ZZ3｜的最小值. 作Z3Z0⊥Z1Z2交Z1Z2于点Z0， 则Z3与Z0的距离即为所求的最小值， 易知｜Z3Z0｜＝1，故｜z＋i＋1｜的最小值为1. 【迁移应用】 已知复数z满足｜z＋2－2i｜＝2，且复数z在复平面内的对应点为M. （1）确定点M的集合的形状； （2）求｜z－1＋2i｜的最大值和最小值. 1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝（　　） A.－1＋2i　　　　　 B.－2－2i C.1＋2i D.1－2i 2.已知复数z满足＋2z＝i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　） A. B. C.1 D.2 3.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＋＝　　　　，对应的复数为　 　　，A，B两点间的距离为　　　　. 4.i是虚数单位，若z＋｜z｜＝8＋4i，则z＝　　　　　. 提示：完成课后作业　第十章　10.2　10.2.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i 2.22+2121+（z2+23) 想一想 1.提示：是复数，唯一确定. 2.提示：可以推广到多个复数相加、减. 自我诊断 1.Cz=(3+i)+(-3-2i)=(3-3)+(1-2)i=-i. 故复数z的虚部为一1. 2.D.z+3i-3=3-3i,∴.z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i. 知识点二 想一想 1.提示：|z一z0|(z,o∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Zo的距离. 2.提示：不一定是虚数.例如，(3一2i)十2i=3 自我诊断 1.CBC=0元-OB=O元-(AB+OA)=(4,-4),∴BC表示的复数为4-4i. 2.C0Z1+0Z2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),故0Z1+0Z2对应的复数为0. 【典例研析】 【例1】解：(1)(8-2i)-(-7+5i)+(3V3+7i) =[8-(-7)+35]+(-2-5+7)i =15+3V5. (2).z1=x+2i,22=3-yi,21+22=5-6i, .(3+x)+(2-y)i=5-6i, （3+x=5, {2-y=-6, 1/3 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 8=24 ly=8, .21-22=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i. 跟踪训练 1.C因为2=1+i,所以3+2i-2=3+2i-(1+i)=2+i,则13+2i-z|=|2+i1=V22+12 =5. 2.A设z=x十yi（x,y∈R),则z=x-yi,所以2z+3z=2(x+yi)+3(x-yi)=5x-yi=5一 （5x=5, 2i,所以{-y=-2,解得=1，y=2,故2=1-2i,即复数z的虚部为-2. 【例2】解：(1)：A0=-OA,A0对应的复数为-(3+2i),即-3-2i. (2).CA=OA-OC, CA对应的复数为(3十2i)-(-2十4i)=5-2i. (3)0B=0A+0元，0B表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 即B点对应的复数为1十6i 跟踪训练 D在平行四边形ABCD中，CD=BA=OA-OB,CD所对应的复数为3+i-(-1+3i)=4- 2i.故选D. 【例3】D法一设z=a十bi(a,b∈R)在复平面内所对应的点为Z.可知点Z(a,b)的集合 是以坐标原点为圆心，2为半径的圆.|1十V3i十z|=|z-(-1-V3i)|表示点Z(a,b)到点 M(-1,-V5)的距离.：(-1，-5)在1z|=2这个圆上，距离最小是0，最大是直径4. 故选D. 法二：111+5i1-|z11≤11+V5+z1≤11+5i|+|z1,.0≤11+5i+z1≤4. 故选D. 跟踪训练 县 解析：设z=x+i(x,y∈R),代入Iz+1|=|z-i|得Vx+1P+y2=Vx2+y-12,化简 得y=-xw,|z+i1=|x+y+1)il=Vx2+y+1=V2+(-x+12=V2x2-2x+1= 2(x-支+，所以=时，1叶i1取得最小值号 拓视野复数中的最值问题 2/3 独家授权侵权必究。 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 迁移应用 解：(1)设复数一2+2i在复平面内的对应点为P,则P(-2,2),则1z十2-2i|=|z-(一2 十2i)|=|PM|=2,故点M的集合是以P(一2,2)为圆心，2为半径的圆，如图所示. M◆ (2)设复数1一2i在复平面内的对应点为Q,则9(1，一2)，则|z一1+2i|=|MQ|.由(1) 知|P9|=√(1+22+（-2-22=5，则1M0|的最大值即|z-1+2i|的最大值，为|P91 +2=7,|MQ|的最小值即|z-1+2i1的最小值，为|PQ|一2=3. 随堂检测 1.B由题意，知31=一2-i,22=i,所以21-22=-2-2i,故选B. 2.C设z=x十yi(x,y∈R),则z=x-yi,则(x-yi)+2(x十i)=i,整理得3x+i=i,故x =0,y=1,得z的虚部为1. 3.(2,0) -8-2i2W17 解析：向量OA+OB对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.:BA=OA-OB,∴.向量BA对应的复 数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.∴4，B两点间的距离为|-8-2i|=√(-8}+(2)2=2 V17. 4.3+4i 解析：设z=a+bi,z十|z|=8十4i,则a十bi+Va2+=8+4i,即(a十yVa2+)+bi=8+ a+va2+B=8,a=3, 4i,所以b=4, 解得{b=4,所以z=3+4i, 3/3 ·独家授权侵权必究·