9.2 正弦定理与余弦定理的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9．2　正弦定理与余弦定理的应用

 

 

[知识梳理]

1．基线的概念与选取原则

(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．

(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

2．测量中相关角的概念

(1)仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．

(2)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).

(3)方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示).

[即时练]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．(　　)

(2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．(　　)

(3)方位角的范围是(0，π).(　　)

(4)“视角”就是“仰角”．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)

A．东偏北45°10′方向上

B．东偏北44°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上

D．西偏南44°50′方向上

解析：选C.如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C.

3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)

A．α>β　　　　　　 B．α＝β

C．α＋β＝90°    D．α＋β＝180°

解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B.

分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．

[例1] (1)(对接教材例1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　)

A．10 n mile    B．10 n mile

C．5 n mile    D．5 n mile

(2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.

【解析】　

(1)如图，由题意得

A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°，

所以＝，所以BC＝＝5，即B，C间的距离为5 n mile.

(2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D