9.2 正弦定理与余弦定理的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理的应用这一核心知识点，系统梳理从实际测量问题（距离、高度、角度）引入，通过基线、仰角俯角、方位角等概念建立数学模型，再运用正余弦定理求解的完整脉络，搭建“实际问题→数学建模→解三角形”的学习支架。 该资料特色在于结合航海、建筑等真实情境设计例题与跟踪训练，如测量两岛距离、建筑物高度等，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过推理计算发展数学思维，用规范术语提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 新课导入 学习目标 　　在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，具体测量时，常常遇到“不能到达”的困难，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角、距离的工具并设计恰当的测量方案进行测量． 1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2．能将实际问题转化为解三角形问题． 3．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． [知识梳理] 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．(　　) (2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．(　　) (3)方位角的范围是(0，π).(　　) (4)“视角”就是“仰角”．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 解析：选C.如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C. 3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． [例1] (1)(对接教材例1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．5 n mile D．5 n mile (2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km. 【解析】　 (1)如图，由题意得 A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°， 所以＝，所以BC＝＝5，即B，C间的距离为5 n mile. (2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 【答案】　(1)D　(2)7 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB　 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB　 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB [跟踪训练1] (2025·东营月考)已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向，且与A相距3 km的B处．乙船位于灯塔A的北偏西50°方向上的C处．若两船相距 km，则乙船与灯塔A之间的距离(单位：km)为(　　) A．1 km B． km C．2 km D．2 km 解析：选C. 由图可得，AB＝3，BC＝，∠CAB＝120°，则由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAB，即19＝AC2＋9＋3AC，整理得(AC＋5)(AC－2)＝0，得AC＝2. [例2] (1)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(　　) A．5 000(＋1) m B．5 000(－1) m C．5 000(3－) m D．5 000(5－) m (2)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 【解析】　(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°， AB＝900×80×＝20(km). 在△ABC中，由正弦定理， 得BC＝＝10(km). 在△BCD中，CD＝BC sin ∠CBD＝BC·sin 75°＝10×sin 75°＝5＋5(km)，所以山顶的海拔高度为[20－(5＋5)] km＝5 000(3－)m.故选C. (2)设建筑物的高度为h m．由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h.在△PBA和△PBC中，由余弦定理的推论得， cos ∠PBA＝，① cos ∠PBC＝.② 因为∠PBA＋∠PBC＝180°， 所以cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去).即建筑物的高度为30 m. 【答案】　(1)C　(2)D 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA 底部不可达 点B与C，D共线　　 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 [跟踪训练2] 南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　) A． m B． m C． m D． m 解析：选D.由题意可得CD＝t m，∠DAC＝β，∠ADB＝α＋β，则在△ADC中，AD＝，在△ABD中，∠ABD＝－α，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝＝. [例3] 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距10 n mile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin ∠ACB＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　 由题意∠CAB＝120°，AC＝10，AB＝20，在△ABC中，由余弦定理得，CB2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAB＝700，所以CB＝10，在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin ∠ACB＝. 【答案】　A 测量角度问题的解题思路 [跟踪训练3] 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　) A．－1 B．－1 C． D． 解析：选D.在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，由正弦定理得PD＝·sin 15°＝ m，在△PDC中，CP＝10 m，故sin ∠PCD＝·PD＝，易知cos θ＝sin ∠ACB＝sin ∠PCD，所以cos θ＝. 1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β　　　　　　　 B．α－β C．β－α D．α 解析：选C.如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C. 2．如图，某研究小组为测量某楼房MN的高度，在地面D处测得房顶M的仰角为45°，在距离D处10 m的地面C处测得房顶M的仰角为60°，并测得∠NCD＝120°，则该楼房的高度为(　　) A.10 m B．10 m C．20 m D．30 m 解析：选B.根据题意可知，△MNC，△MND均为直角三角形，∠NDM＝45°，∠MCN＝60°，设NC＝x，则MN＝x，ND＝x， 在△NCD中，由余弦定理的推论得cos 120°＝＝－，解得x＝10或x＝－5(舍去)，所以楼房的高度为10 m. 3．如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB＝a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d＝__________． 解析：如图所示，分别过点A，B作CD的垂线，垂足分别为M，N， 则根据正切函数的定义得CM＝d tan α，CN＝d tan β， 则MN＝AB＝d tan α－d tan β＝a， 解得d＝. 答案： 4．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a n mile，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t h两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at n mile， AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°. 由＝， 得sin ∠CAB＝＝＝＝. 因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°， 所以∠DAC＝60°－30°＝30°， 所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 学科网（北京）股份有限公司 $