复习课 正、余弦定理的综合应用课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

正、余弦定理的综合应用 复习课 1.理解单元知识架构,能建构本单元知识体系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 4.能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 目标一:理解单元知识架构,能建构本单元知识体系. 任务:根据下列问题回顾本单元知识,建构单元知识框图. 问题: 1.正、余弦定理是什么?它们是如何推导的?有哪些变形? 2.正、余弦定理适用于解决什么三角形问题? 3.利用正、余弦定理解决的实际测量应用有哪些? 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 目标二:能利用正、余弦定理解三角形. 任务1:利用正、余弦定理解下列三角形. 如图所示,在 ABC中,AB=AC=2,BC= ,点D在BC边上,∠ADC=45 ,求AD的长度. 解:在 ABC中,∵AB=AC=2,BC= , 由余弦定理,得 ∴sin C= 在 ADC中,由正弦定理,得 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 解三角形的一般思路: 分析出所求解三角形中,哪些元素已知,还需要哪些元素,并确定选择或构造哪些三角形来求解,再利用正余弦定理求解. 学习活动 学习目标 学习总结 目标三:能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 任务1:利用正、余弦定理判定三角形的形状. 在 ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2) sin(A+B),试判断 ABC的形状. 解:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2b2sin Acos B=2a2cos Asin B, 即a2cos Asin B=b2sin Acos B. 学习活动 学习目标 学习总结 法一:由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又sin Asin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 在 ABC中,0<2A<2 ,0<2B<2 , ∴2A=2B或2A= -2B, ∴A=B或A+B= ∴ ABC为等腰三角形或直角三角形. 学习活动 学习目标 学习总结 ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0. 即a=b或a2+b2=c2. ∴ ABC为等腰三角形或直角三角形. 法二:由正弦定理、余弦定理,得 学习活动 学习目标 学习总结 判断三角形形状的两种途径: (1)通过正弦定理、余弦定理,化边为角(如:a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcosC等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断; (2)通过正弦定理、余弦定理,化角为边,如: 等, 通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 解:(1)由正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B,又A= -(B+C), ∴sin[ -(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B, 即sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B, ∴cos Bsin C=sin Csin B, ∵sin C≠0,∴cos B=sin B且B为三角形内角,∴B= 任务2:利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求 ABC的面积的最大值. 学习活动 学习目标 学习总结 (2)法1: 由正弦定理知 同理, ∴当 即 时,S ABC有最大值 学习活动 学习目标 学习总结 法2:由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB,得4=c2+a2- 根据均值不等式得2ca- ≤ac2+a2- =4, 解得 ∴S ABC有最大值 学习活动 学习目标 学习总结 1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略: 在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等. 归纳总结 2.求解三角形面积的取值范围的解题方法: (1)通过正弦定理,化边为角,利用三角函数求范围. (2)通过余弦定理,化角为边,利用均值不等式求范围. 学习活动 学习目标 学习总结 目标三:能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 任务:利用正、余弦定理解决下列实际问题. 如图,在一次海上