9.1.1 第2课时 正弦定理的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理的应用这一核心知识点，系统梳理从代数角度（通过sinB值判断）和几何角度（结合图形关系）判断三角形解的个数，辅以例题解析、跟踪训练及证明题，构建“理论梳理-例题辨析-实践应用”的学习支架。 该资料特色在于双角度分析解的个数（代数推理与几何直观结合，培养数学眼光），通过多选例题（如例1辨析不同条件下解的个数）和证明题（如例3等式证明）发展逻辑推理能力（数学思维），练习题强化应用表达（数学语言）。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　正弦定理的应用 [知识梳理] 现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明． (1)代数角度： 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. (2)几何角度： 类别 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝ b sin A； ②a≥b 一解 b sin A< a<b 两解 a<b sin A 无解 A为钝角 或直角 a>b 一解 a≤b 无解 [例1] (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝5，b＝4，A＝120°，有一解 【解析】　对于A，因为b sin A＝16×sin 30°＝8＝a，故只有一解，A正确；对于B，因为c sin B＝20×sin 60°＝10，所以c sin B<b<c，故有两解，B正确；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，a>c，故有一解，C错误；对于D，因为b<a，所以B<A，又A＝120°，所以B为锐角，所以有一解，D正确． 【答案】　ABD (1)若已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，则需要判断三角形有几个解，防止漏解或增解． (2)判断三角形解的个数时可以选择代数法，也可以根据条件画出图形，通过图形直观判断三角形解的个数． [跟踪训练1] 在△ABC中，a＝x，b＝，A＝，若该三角形有两个解，则x的取值范围是(　　) A．(，6) B．(2，2) C． D． 解析：选D.因为三角形有两个解， 所以b sin A<x<b，即<x<.故选D. [例2] 在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状． 【解】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，＝2R tan A, ＝2R tan B, ＝2R tan C， 即tan A＝tan B＝tan C，因为A，B，C∈(0，π)，且A＋B＋C＝π，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形． 判断三角形形状的两种途径 注意　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． [跟踪训练2] (1)(2025·德州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：选B.因为b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，即b sin B＝c sin C－a sin A，由正弦定理可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin ＝，且a sin B＝c sin A，则该三角形的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.因为sin ＝，∈(0，)，所以＝，即B＝，又由a sin B＝c sin A，结合正弦定理得sin A sin B＝sin C sin A，易知sin A≠0，故sin B＝sin C，则b＝c(也可结合正弦定理得ab＝ca，即b＝c)，因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以△ABC为等边三角形． [例3] (对接教材例5)在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0. 【证明】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，左边＝2R(sin A sin B－sin Asin C＋sin B sin C－sin Bsin A＋sin C sin A－sin C sin B)＝0＝右边，所以等式成立． 观察、分析问题，确定解题的基本方向是“边化角”，还是“角化边”，再灵活运用相应的公式或其变形公式．在化简有关三角函数的表达式时，应注意利用三角形的有关性质、三角函数的有关公式解决问题，由繁向简的转化是解决问题的关键． [跟踪训练3] 如图，AD是△ABC外角的平分线，且BC＝CD.证明：＝＝. 证明：由题设知S△ABD＝2S△ACD， sin ∠BAD＝sin (π－∠CAD)＝sin ∠CAD， 所以＝＝＝＝. 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，则△ABC是(　　) A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.由题及正弦定理可知bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C. 2．下列关于△ABC的说法正确的是(　　) A．若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解 B．若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解 C．若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解 D．若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解 解析：选B.A项中，由正弦定理，得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，即只有一解，A项错误． B项中，由正弦定理，得sin B＝＝<1，又A为钝角，故B只有一解，B项正确． C项中，由正弦定理，得sin B＝＝>1，所以B不存在，即无解，C项错误． D项中，由正弦定理，得sin C＝＝<1，因为b<c，B＝60°，所以sin C>sin 60°，60°<C<120°，所以C有两解，D项错误． 3．(多选)在△ABC中，若a＝2b sin A，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选AC.由正弦定理，得sin A＝2sin B sin A， 因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，所以sin B＝，解得B＝或B＝. 4．(教材P7练习AT3改编)在△ABC中，求证：＝. 证明：因为左边＝＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边，所以原等式成立． 1．已学习：利用正弦定理求解三角形解的个数以及判断三角形的形状． 2．须贯通：理解并掌握求解三角形解的个数的条件，灵活运用正弦定理证明相关式子． 3．应注意：求解三角形的解的个数时，一定要注意检验． 学科网（北京）股份有限公司 $