9.1.1 第2课时 正弦定理的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第2课时　正弦定理的应用

[知识梳理]

现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明．

(1)代数角度：

由正弦定理得sin B＝，

①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．

②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．

③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.

(2)几何角度：

[例1] (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)

A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解

B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解

C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解

D．a＝5，b＝4，A＝120°，有一解

【解析】　对于A，因为b sin A＝16×sin 30°＝8＝a，故只有一解，A正确；对于B，因为c sin B＝20×sin 60°＝10，所以c sin B<b<c，故有两解，B正确；对于C，因为A＝90°，a＝5，c＝2，a>c，故有一解，C错误；对于D，因为b<a，所以B<A，又A＝120°，所以B为锐角，所以有一解，D正确．

【答案】　ABD

(1)若已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，则需要判断三角形有几个解，防止漏解或增解．

(2)判断三角形解的个数时可以选择代数法，也可以根据条件画出图形，通过图形直观判断三角形解的个数．

[跟踪训练1] 在△ABC中，a＝x，b＝，A＝，若该三角形有两个解，则x的取值范围是(　　)

A．(，6)    B．(2，2)

C．    D．

解析：选D.因为三角形有两个解，

所以b sin A<x<b，即<x<.故选D.

[例2] 在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．

【解】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，＝2R tan A, ＝2R tan B, ＝2R

tan C，

即tan A＝tan B＝tan C，因为A，B，C∈(0，π)，且A＋B＋C＝π，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形．

判断三角形形状的两种途径

注意　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

[跟踪训练2] (1)(2025·德州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，则△ABC为(　　)

A．等腰三角形    B．直角三角形

C．锐角三角形    D．钝角三角形

解析：选B.因为b sin B＝c sin (A＋B)－a sin A，又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，即b sin B＝c sin C－a sin A，由正弦定理可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin ＝，且a sin B＝c sin A，则该三角形的形状是(　　)

A．三边均不相等的三角形

B．等腰非等边三角形

C.等边三角形

D．等腰直角三角形

解析：选C.因为sin ＝，∈(0，)，所以＝，即B＝，又由a sin B＝c sin