湖北武汉市第六中学2025-2026学年高一下学期数学期中模拟卷

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．关于向量，下列说法中，正确的是（　C　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】 若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；若，则向量，互为相反向量，则，则C正确；若，则向量，方向相同或相反，故D错误． 2．若tanα，则cos2α+2sin2α＝（　A　） A． B． C．1 D． 【解析】 ∵tanα，∴cos2α+2sin2α． 3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则m+n的值为（　B　） A．1 B．2 C．﹣2 D． 【解析】 由已知得，结合m，n，所以． 又因为O，M，N三点共线，所以，所以m+n＝2． 4．设a＝cos212°﹣sin212°，，，则有（　D　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【解析】 ∵a＝cos212°﹣sin212°＝cos24°，btan24°cos24°，csin24°，∴故a、b、c的大小关系为 c＜b＜a． 5．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足y＝Asin（ωt+φ）+B，A＞0，ω＞0，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点，则y（米）关于t（分钟）的解析式为（ C　） A． （t＞0） B．（t＞0） C．（t＞0） D．（t＞0） 【解析】 由题意知，A＝50，B＝60，T＝10，所以ω，所以y＝50sin（t+φ）+60，t＞0， 令f（0）＝50sinφ+60＝10，得sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，所以φ，所以函数y＝50sin（t）+60＝60﹣50cost，t＞0． 6．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 由已知条件得：，即，又在方向上的投影向量为． 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝（　B　） A． B． C． D． 【解析】 sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，∴cosAsinC+sinAsinC＝0，∵sinC≠0，∴cosA＝﹣sinA，∴tanA＝﹣1，∵A＜π，∴A，由正弦定理可得，∴sinC，∵a＝2，c，∴sinC，∵a＞c，∴C 8．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数f（x）在[0，π]上的图象与直线y＝﹣2有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（　D　） A．（0，1] B． C．[1，+∞） D． 【解析】 因为函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，所以（k∈Z），又因为0＜φ＜π，所以k＝0，，所以；令t＝ωx，因为，ω＞0，则，即，作出y＝﹣2sint的部分图象，如图所示，y＝﹣2sint的减区间为（k∈Z），又f（x）在区间上是减函数，所以是区间（k∈Z）的子集，因为ω＞0，所以，，只有k＝0时区间（k∈Z）是由负到正，所以有：，，解得；因为函数f（x）在[0，π]上的图象与直线y＝﹣2有且仅有一个交点，相当于y＝﹣2sint，在[0，ωπ]上只有一个最小值，所以有：，，解得；综上取交集有：，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下面是关于复数z（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　AD　） A．|z| B．z﹣z2＝1+i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z的虚部为1 【解析】 关于复数z1+i，∴|z，z﹣z2＝1+i﹣（1+i）2＝1+i﹣2i＝1﹣i，共轭复数为1﹣i，z的虚部为1． 10．已知α，β∈（0，π），sin（α），cos（β），则sin（α﹣β）＝（　CD　） A． B． C． D． 【解析】 ∵cos（β），∴cos（β）＝cos（β）＝sin（β），∵α，β∈（0，π），∴α∈（，），β∈（，），又sin（α）∈（0，），sin（β），∴α∈（，π），β∈（，），∴cos（α），cos（β）＝±，∴sin（α﹣β）＝sin[（α）﹣（β）]＝sin（α）cos（β）﹣cos（α）sin（β）（±）或． 11．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　ABD　） A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点 B．若，且λ＝μ＝1，则 C．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3 D．若，且，则λ，μ满足λ2+u2＝1 【解析】 对于A，设AB的中点为D，则当λ＝μ时，有，即得O，C，D三点共线，故直线OC过边AB的中点，故A正确；对于B，由于且λ＝μ＝1时，，故O为△ABC的外心和重心，故△ABC为等边三角形，则∠BAO＝30°，由可得，故，故B正确；对于C，如图所示，延长OA至A′，使OA′＝3OA，延长OB至B′，使OB′＝2OB，连接A′B′，设其中点为E，连接OE并延长至C′，使EC′＝EO，连接A′C′，B′C′，则四边形OA′C′B′是平行四边形，所以，而λ＝2，μ＝3时，，故，即C，O，C′三点共线，且，根据同底等高三角形面积相等，则S△AOC＝S△AOC′＝S△AOB′＝2S△AOB，即△AOB与△AOC的面积之比为1：2，故C错误； 对于D，因为，且，由得，，所以，即λ2+μ2＝1，故D正确。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝ 　　 ． 【解析】 由（1+i）z＝2i，得1+i，则|z|＝ ． 13．在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，O为三角形ABC的外心，则为 　　 ．8 【解析】 如图所示，连接OA，OB，在△ABC中，由余弦定理可得，，则sinA，在△ABC中，由正弦定理可得，，则，所以，在△ABO中，由余弦定理可得，，所以 14．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为 　　 ． 【解析】 ，，如图所示作，，，，则，，，所以，即，又是单位向量，所以|MN|＝2，在△BMN中，由正弦定理有，则，所以点B的轨迹在如图以P为圆心，半径为的圆上，由图可知，当AB⊥l且AB所在直线过点P时AB最小，作PQ⊥MN于Q，QH⊥l于H，PK⊥HQ于K，则，|PQ|＝1，，则|HK|＝|HQ|﹣|KQ|，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数z满足z+i和均为实数． （1）求复数z； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【解析】 （1）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+i＝a+（b+1）i，，∵z+i和均为实数，∴，解得a＝2，b＝﹣1，故z＝2﹣i； （2）z1（m2+m﹣3）i＝2+i（m2+m﹣3）i＝2（m2+m﹣2）i，∵复数z1（m2+m﹣3）i在复平面内对应的点位于第四象限，∴，解得﹣2＜m或0＜m＜1，即实数m的取值范围为（﹣2，）∪（0，1）． 16．（本小题满分15分）已知向量（k，1），（k+3，k﹣1）． （1）若∥，求k的值； （2）若⊥（），求与（）的夹角θ的余弦值． 【解析】 （1）因为∥，所以k（k﹣1）﹣（k+3）＝0，即k2﹣2k﹣3＝0，所以k＝3或k＝﹣1． （2）若⊥（），则若•（）＝0，即20，所以k2+1﹣[k（k+3）+（k﹣1）]＝0，所以﹣4k+2＝0，即．所以（，1），（，），（4，），∴cosθ． 17．（本小题满分15分）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）． （1）求φ的值； （2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间． 【解析】 f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）， （1）由已知得，结合0≤φ＜π，所以φ； （2）由（1）知：，所以f（x）＝cos2x，所以g（x）＝ f（x）+f（x）＝cos2xcossin2xsincos2x cos（2x），显然g（x）的值域为[，]，因为y＝cosx在[﹣π+2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ+π]上递减，k∈Z，所以令，解得g（x）的递增区间为[kπ，kπ），k∈Z，再令2kπ≤2x2kπ+π，解得g（x）的递减区间为[kπ，kπ），k∈Z． 18．（本小题满分17分）如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°． （1）求||； （2）已知点D是AB上一点，满足λ，点E是边CB上一点，满足λ． ①当λ时，求•； ②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°，由余弦定理得，AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，∴AB，即||； （2）①λ时，，，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴，（），∴•（）•（）••• 121×2×cos120°2×1×cos60°22； ②假设存在非零实数λ，使得⊥，由λ，得λ（），∴λ（）＝λ（1﹣λ）；又λ，∴（）+λ（）＝（1﹣λ）；∴•λ（1﹣λ）λ•（1﹣λ）2•（1﹣λ）＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）＝﹣3λ2+2λ＝0，解得λ或λ＝0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ，使得⊥． 19．（本小题满分17分）如图，设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，c＝2，2asinCcosB＝asinA﹣bsinB． （1）求b边的长度； （2）求△ABC的面积； （3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的，求的取值范围． 【解析】 （1）由题意知，，在△ABC中，由正弦定理，得，在△ABC中，由余弦定理，得，所以b＝4c，又因为c＝2，所以b＝8． （2）设∠BAC＝θ，因为为BC边上的中线，所以，所以所以，所以，① 所以28cos2θ+8cosθ﹣11＝0，可化为（2cosθ﹣1）（14cosθ+11）＝0，解得 或，由①得，4cosθ+1＞0，解得，所以，所以，所以． （3）设，，，其中λ，μ，k∈[1，+∞），所以，所以2λμ，解得，根据E、F、G三点共线，得1，所以λ+μ＝2k，所以•[••（）||||cosθ]（cosθ，θ为∠BAC），所以，所以λμ＝3．所以，μ1，解得λ≤3，所以λ的取值范围是[1，3]，所以λ2+3∈[4，12]，所以，所以2， 所以的取值范围是[3，17]． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/8 10:32:41；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．关于向量，下列说法中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若tanα，则cos2α+2sin2α＝（　　） A． B． C．1 D． 3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D． 4．设a＝cos212°﹣sin212°，，，则有（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a 5．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足y＝Asin（ωt+φ）+B，A＞0，ω＞0，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点，则y（米）关于t（分钟）的解析式为（　　） A． （t＞0） B．（t＞0） C．（t＞0） D．（t＞0） 6．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝（　　） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于原点对称，且在区间上是减函数，若函数f（x）在[0，π]上的图象与直线y＝﹣2有且仅有一个交点，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1] B． C．[1，+∞） D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下面是关于复数z（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（　　） A．|z| B．z﹣z2＝1+i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z的虚部为1 10．已知α，β∈（0，π），sin（α），cos（β），则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 11．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　　） A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点 B．若，且λ＝μ＝1，则 C．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3 D．若，且，则λ，μ满足λ2+u2＝1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝ 　 　 ． 13．在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，O为三角形ABC的外心，则为 　 　 ． 14．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数z满足z+i和均为实数． （1）求复数z； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 16．（本小题满分15分）已知向量（k，1），（k+3，k﹣1）． （1）若∥，求k的值； （2）若⊥（），求与（）的夹角θ的余弦值． 17．（本小题满分15分）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）． （1）求φ的值； （2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间． 18．（本小题满分17分）如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°． （1）求||； （2）已知点D是AB上一点，满足λ，点E是边CB上一点，满足λ． ①当λ时，求•； ②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分）如图，设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，c＝2，2asinCcosB＝asinA﹣bsinB． （1）求b边的长度； （2）求△ABC的面积； （3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $