专题01 勾股定理（期中复习知识清单）八年级数学下学期人教版五四制

专题01 勾股定理 思维导图 串 考点清单 理 【知识点一】直角三角形的性质与判定（**） 内容 概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 性质 (1)两锐角之和等于90°. (2)斜边上的中线等于斜边的一半. (3)30°角所对的直角边等于斜边的一半. (4)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即（a，b为直角边，c为斜边）. 判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形. (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)勾股定理的逆定理：若，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形. 特别提醒：勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方. 面积 S=（a，b为直角边，c为斜边，m为斜边上的高）. 【知识点二】勾股定理（**） 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 【注意】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 【知识点三】勾股定理的实际问题（**） 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定与问题相关的直角三角形； （3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解； （4）求得符合题意的结果. 【知识点四】勾股定理逆定理（**） 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较. 3）已知三条线段判断能否构成直角三角形的方法：只需验证较短的两条线段长的平方和是否等于最长线段长的平方，若相等，则此三条线段能构成直角三角形；否则，不能构成直角三角形，不必一一验证. 【知识点五】勾股数（*） 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 题型清单 解 用勾股定理解三角形（共4小题） 【例1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵且，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（   ） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：设第三根小棒长度为 ∵ 直角三角形中，（c为斜边）， 情况1：当为斜边时，， ∴ 解得：（取正值） 情况2：当12为斜边时，， ∴ ，解得：，不在选项中 ∴ 只有满足条件， 故选：A. 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是________． 【答案】12 【分析】本题考查动点的函数图象，从函数图象中有效地获取信息是解题的关键， 由图象可知，，则是等腰三角形，当点运动到上时，时，最小为，且此时点在的中点处，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，则是等腰三角形， 点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为4，即：时，， 此时，， ∵时等腰三角形， ∴， 的面积． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 勾股定理与无理数（共4小题） 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（    ） A．−1 B． C． D．−0.5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由勾股定理得，即可得到点M在数轴上表示的数是． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， ∴点M在数轴上表示的数是 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 点E表示的数为． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 【答案】(1)，无理数 (2)能 (3)详见解析 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图． （1）根据及勾股定理求出，根据无理数的定义作答即可； （2）根据（1）即可得到结论； （3）根据画出表示的点，进而可画出表示的点M． 【详解】（1）由图可知，是无理数 ∴点D表示的数是，这个数是无理数 故答案为：，无理数 （2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示 故答案为：能 （3）因为， 所以画法如下： ①在数轴上画长方形，使在数轴上且点在原点右侧，点在数轴的上方； ②以原点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是，如答图所示． 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 勾股定理的证明（共3小题） 【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山西大同·月考）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】(1)见解析； (2)； (3)①②． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 【答案】(1)，， (2)能，见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，勾股定理的证明： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）根据两个大正方形的面积相等，得到图1中的小正方形的面积，等于图2中两个小正方形面积之和，即可得证． 【详解】（1）解：大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴，即：； 故答案为：，，； （2）解：能； 由图（2）可知：大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个小正方形的面积，则：， 由（1）可知：， ∴， ∴． 勾股定理与网格问题（共3小题） 【例4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 【变式2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质，对称的性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键． （1）画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． （2）取点关于的对称点，连接，利用勾股定理可知，根据图片可知，，是等腰直角三角形，由对称的性质可知，利用等量代换，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图： 构造，由勾股定理得： ， ， ， 在中：， ， （2）解：如图： 取点关于的对称点，连接，， 由对称的性质可知：， 由图可知：, 则， ， 是等腰直角三角形， , , ， 即：． 勾股定理与折叠问题（共4小题） 【例5】（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，则；再根据，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵ 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 故答案为：5. 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 利用勾股定理求线段的平方和/差（共4小题） 【例6】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·四川·期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则__________． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线，矩形的判定和性质，正确添加辅助线是解答本题的关键． 延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为Q，根据勾股定理得，，，由，，即可得结论． 【详解】解：延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为Q， ．，， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ，，， ． ． 故答案为：10． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 勾股定理与实际场景结合（共10小题） 【例7】（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝的垂直高度下降米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【变式4】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【变式5】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 【变式6】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【变式7】（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 【变式8】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【答案】火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而等面积法求得，与比较大小，即可求解． 【详解】解：火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响，理由如下， 如图，过点作于点， ∵与恰好互余，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校有噪声影响． 【变式9】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)13千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 勾股定理与几何图形综合（共3小题） 【例8】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线得出，进而由三角形全等的判定定理判断出，由全等三角形性质即可得出； （2）先判断出，再由等角的余角相等得出，再由折叠的性质得出即可判断出结论； （3）先判断出得出，，进而判断出得出，得出，最后用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵的角平分线交于点， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：如图2所示： 同（1）可证，， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 由对称得， ； （3）解：连接，，过作交于，如图3所示： ， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 由对称得，，， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得： ． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）延长交的延长线于点H，取的中点，连接，证明，得，，从而得出，，再证明，即可由得出结论． （2）过点C作于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，设，则，由勾股定理建立方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点H，取的中点，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2所示，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可知或， ∴（舍去）或， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 （1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形． 【特例研究】 （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长． 【答案】【问题背景】证明见解析；【特例研究】证明见解析；【拓展延伸】线段的长为 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线定理等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键． 【问题背景】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出，即可证出结果；【特例研究】根据线段的等量关系，得出，，由等腰直角三角形，易证出，结合三角形内角和，可得出，即可证明出平分；【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，先证明，根据角度关系，证明为直角三角形，并结合勾股定理，求出，的长度，即可得出的长度，再证明，根据勾股定理依次求出、、的长度，证明为直角三角形，即可根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：【问题背景】在中，，点为边的中点， ∴， 同理，可证， ∴， ∴为等腰三角形． 解：【特例研究】∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 解：【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， 令，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 令，则， 在中，， 即， 解得， 即，， ∵点为中点， ∴， 同理，可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 故为直角三角形， ∴， 故线段的长为． 根据已知条件判断直角三角形（共3小题） 【例9】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 【变式1】（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，①若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形；②若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形；③若；则△ABC是直角三角形；④若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形．其中错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算和分析即可． 【详解】解：①若∠B=∠C-∠A，则，所以，故△ABC是直角三角形，故原题说法正确； ②若，所以，所以，则△ABC是直角三角形，故原题说法正确； ③若，设，则，，则， 所以，由△ABC是直角三角形，故原题说法正确； ④若，设，则，，由三角形内角和定理得，解得，则，，，则△ABC不是直角三角形，故原题说法错误． 综上所述，错误的个数只有④1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形． 【变式2】的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 利用勾股定理逆定理求解（共4小题） 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 先根据等腰直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，最后结合分两种情况求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴如图①：； 如图②：． 故或． 故答案为°或． 【变式3】（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，，．E是上一点，，，垂足为． (1)判断的形状并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的性质是解题的关键． （1）用勾股定理的逆定理判定即可； （2）先由直角三角形的性质，求得，再由勾股定理求出，然后由求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 网格中判断直角三角形（共4小题） 【例11】（25-26八年级上·全国·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握格点的特征，构造等腰直角三角形是解题关键．如图，取格点，连接，，根据网格特征可知，根据平行线的性质得出，根据勾股定理及勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，，即可得出，利用平角的定义即可得答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格特征可知，， ∴， ∵网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，则有，得是等腰直角三角形，可得，然后证明，则有，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 由网格可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 与勾股定理有关的新定义、规律探究问题（共4小题） 【例12】（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算：_____； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则_____． 【答案】 4 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，即可得到答案； （2）据此类推，；再计算即可． 【详解】解：（1）如图： 图中的四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 故答案是：4； （2）由（1）可知，这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和． ； ； ； ； ． 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质，规律探索，熟练掌握以上知识点并找到规律是解题的关键． 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 【变式3】（24-25八年级下·贵州·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； 若三角形的三边长分别是，，，则该三角形___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)是； 是； (2)或． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、实数的混合运算、勾股定理，解决本题的关键是根据新定义运算进行判断． 根据等边三角形的三边都相等可知等边三角形是“可爱三角形”； 根据运算可得，可以判断这个三角形是“可爱三角形”； 根据是可爱三角形，，，可知，根据“可爱三角形”的定义分两种情况进行讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时； 【详解】（1）设等边三角形的三边长分别是、、， ， 等边三角形是“可爱三角形”， 故答案为：是； ，，， 其中， ， 这个三角形是“可爱三角形”， 故答案为：是； （2）解：在中，， ， ， ， ， 是可爱三角形， 当时，， 可得：， 解得：； 当时，， 可得：， 解得：， 综上所述，若是可爱三角形，则的长度为或． 已知直角三角形的两条边长求第三边（共2小题） 【例1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若一个直角三角形的两边分别为和，则第三边为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意分类讨论进行求解． 分当边长为的边是斜边时，当边长为的边为直角边时，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：当边长为的边是斜边时，则第三边的长为； 当边长为的边为直角边时，则第三边的长为； 综上所述，第三边长为或， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一直角三角形的三边分别为8，15，，那么以为边长的正方形的面积为_______． 【答案】289或161/161或289 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况讨论，熟练运用勾股定理进行计算．以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：8和15是直角边，x是斜边或8和x是直角边，15是斜边，运用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：当8和15是直角边，x是斜边时，则； 当8和x是直角边，15是斜边，则， ∴以为边长的正方形的面积为：289或161． 故答案为：289或161． 判断三边能否构成直角三角形（共3小题） 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查构成直角三角形的条件．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，同时需验证三边能否构成三角形． 【详解】解：A．∵ ，∴不能构成三角形，不合题意； B．∵ ，∴不能构成直角三角形，不合题意； C．∵ ，∴能构成直角三角形，符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，不合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键． 先根据三角形不等式判断各组线段能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形. 【详解】解：A、∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． B、∵，，，∴能组成三角形，但∵，，，∴不是直角三角形． C、∵，，，∴能组成三角形，且∵，，∴是直角三角形． D、∵，∴不能组成三角形． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 折叠问题中忽略对应关系相等（共2小题） 【例3】（21-22八年级上·福建厦门·月考）如图，在 中，，， 是边 上的点，连接 ，，先将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在边 上；再将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在 的延长线上．若 ，，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的个数有 （    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据勾股定理可以求出AB的长，由面积法可求出CD的长，然后利用等腰三角形的性质和折叠的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 由折叠可知：，，，， ， ，故②正确， ， ， ，故③正确， ， ， ， ，故①正确， ， ，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠问题，以及勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据等边三角形的性质与折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质得出，，连接，交于点，得出是等腰直角三角形，得出，即可判断C，设，则，分别求得的长，即可判断D选项． 【详解】解：∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴，故A正确； 连接，交于点， 将沿直线翻折，恰使点与点重合， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B错误，符合题意； ∵将沿直线翻折，恰使点与点重合 ∴ 又∵ ∴，即，故C正确， 设，则， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确， 故选：B． 勾股定理与因式分解综合（共2小题） 【例4】（2020·河北·二模）阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵，　　　　　① ∴．  ② ∴．  ③ ∴是直角三角形．  ④ 请根据上述解题过程回答下列问题： (1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请你将正确的解题过程写下来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义： （1）上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③； （2）从第②步分解因式得到，进而得到，，据此可得答案． 【详解】（1）解：上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③； （2）解：∵， ∴． ∴， ∴或， ∴或， ∴是直角三角形或等腰三角形． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）阅读以下解题过程： 已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 错解：，① ，② ，③ 为直角三角形．④ (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______； (2)错误的原因是_______________________________________________________________； (3)本题正确的结论是____________________________________________________________． 【答案】(1)③ (2)不能确定是否为0 (3)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了因式分解，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，学会分类讨论． （1）观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的． （2）上述解题过程是第③步出现错误的，原因是不能确定是否为0． （3）先把原式变形为，进而得到或，由此可得结论． 【详解】（1）解：由观察可知，上述解题过程是第③步出现错误的． 故答案为：③． （2）上述解题过程是第③步出现错误的，原因是不能确定是否为0． 故答案为：不能确定是否为0． （3）解： 或 或， 为直角三角形或等腰三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形． 勾股数的判断（共3小题） 判断方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【答案】13，84，85 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 已知两点坐标求两点距离（共3小题） 解题方法：坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离： 【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小，且最小值为的长， ∵， ∴的最小值为5， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江西抚州·期中）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，，试求、两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)请直接写出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用，解题的关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴或； （3）解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 以弦图为背景的计算题（共4小题） 【例3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“赵爽弦图”的性质，平面直角坐标系的坐标与线段长度转化，掌握“赵爽弦图”的组成图形是解题关键． 根据“赵爽弦图”的全等性质，由点、的坐标算出线段、、的长度，再结合线段间的对应关系推导出点的坐标． 【详解】解：如图所示， 根据“赵爽弦图”，可知大正方形由个全等的直角三角形和个小正方形组成， 点坐标为，点坐标为， ，，， ，， ∴， ， 故点的坐标为． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点， ， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期末）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3)，，证明见解析 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3） 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 利用勾股定理解决最短路径问题（共4小题） 【例4】（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 【变式1】（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 二次根式与勾股定理综合（共2小题） 【例5】（25-26八年级上·福建三明·期中）数学兴趣小组在探究代数式的最小值时，小甜巧妙的运用了“数形结合”的思想解决问题．具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过作，．连接，．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． (1)【探究发现】当，，在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于____； (2)请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值； (3)【拓展迁移】若，为正数，请你用构图的方法试求出以，，为边的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）过点A作交的延长线于F，则四边形是长方形，根据勾股定理求出，再根据，即可得出答案； （2）根据（1）中方法求解即可； （3）分别以为边长作出长方形，则上取一点，使，则，取的中点为，连接，根据勾股定理求出，，，则以为边的三角形的面积，再根据求解即可． 【详解】（1）解：如图中，C为线段上一动点，分别过B、D作，，连接，已知，，，设，则，，则问题转化成求的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是长方形， ，， ， ， ∴， ， ， 的最小值为， 的最小值为5， 故答案为：； （2）解：如图，取线段，分别过作，且，连接， 设，则， ， 即当在同一直线上时，的值最小， 线段的长即为的最小值， 过点作交的延长线于，则四边形是长方形， ， ， ， ， 即的最小值为； （3）解：分别以为边长作出长方形，则上取一点，使，则，取的中点为，连接，如图， ， ， ， ， 以为边的三角形的面积， ， 以为边的三角形的面积为． 【变式1】（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4小题） 【例6】（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． 【变式1】（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图①，在中，分别以为边，向外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为，，，请解答以下问题： （1），，满足的数量关系是________． （2）现将向上翻折，如图②，若阴影部分的，，，则________． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算．翻折变换的性质、熟练应用勾股定理、正确计算等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键． （1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明． （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到，整理之后即可代值求解． 【详解】解：（1）在中，，则， 如图，在等边中，边上的高 同理： ， ， ∴ ∴； （2）设面积为S，图②中旁边两个白色图形的面积分别为a，b； ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容： 问题解决：如下图中，，分别以其三边向形外作正方形，若，，则______． 变式探究： （1）如下图，若以的三边向形外作等腰直角三角形，，，则、、之间的关系为______． （2）如下图，若分别以三边为直径向形外作半圆，则、、之间的关系为______． 拓展应用：如下图，中，，分别以它的三边向形外作平行四边形，交于P，交于N，且，若平行四边形和平行四边形的面积分别为10和8，则平行四边形的面积为______． 【答案】问题解决：；（1）；（2）；拓展应用：2 【分析】此题主要考查了勾股定理以及图形面积求法和平行四边形的性质等知识，熟练利用勾股定理以及平行四边形面积求法得出是解题关键． 问题解决：利用勾股定理结合正方形面积求法得出的长； （1）在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得出结论； （2）在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得出结论； 拓展应用：利用平行四边形的性质以及平行线的性质进而得出各图形之间面积关系． 【详解】问题解决：， ， ， 故答案为：； （1）由等腰直角三角形的性质可得： 则 在中，， 故答案为：； （2）由圆的面积计算公式知： 则, 在中，， 故答案为：； 拓展应用：分别以它的三边向外作平行四边形，交于P，交于N，且， ，四边形和四边形都是平行四边形，且S到的距离等于A到的距离，C到的距离等于P到的距离， ，， 平行四边形和平行四边形的面积分别为8和6， 平行四边形的面积为：． 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理 思维导图 串 考点清单 理 【知识点一】直角三角形的性质与判定（**） 内容 概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 性质 (1)两锐角之和等于_________. (2)斜边上的中线等于斜边的_________. (3)30°角所对的直角边等于斜边的_________. (4)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的_________，即（a，b为直角边，c为斜边）. 判定 (1)有一个角为_________的三角形是直角三角形. (2)有两个角_________的三角形是直角三角形. (3)勾股定理的逆定理：若，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形. 特别提醒：勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方. 面积 S=（a，b为直角边，c为斜边，m为斜边上的高）. 【知识点二】勾股定理（**） 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 【注意】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是_________； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 【知识点三】勾股定理的实际问题（**） 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形； （2）确定与问题相关的直角三角形； （3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解； （4）求得符合题意的结果. 【知识点四】勾股定理逆定理（**） 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较. 3）已知三条线段判断能否构成直角三角形的方法：只需验证较短的两条线段长的平方和是否等于最长线段长的平方，若相等，则此三条线段能构成直角三角形；否则，不能构成直角三角形，不必一一验证. 【知识点五】勾股数（*） 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个_________，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 题型清单 解 用勾股定理解三角形（共4小题） 【例1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（   ） A．13 B．12 C．8 D．6 【变式2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积是________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 勾股定理与无理数（共4小题） 【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（    ） A．−1 B． C． D．−0.5 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为_____． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 勾股定理的证明（共3小题） 【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 【变式1】（24-25八年级下·山西大同·月考）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期中）将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长a，b，c之间的关系吗？试试看． (1)大正方形的面积可以表示为______，又可以表示为______，从而可得到______． (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？ 勾股定理与网格问题（共3小题） 【例4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【变式2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． (1)应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； (2)延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 勾股定理与折叠问题（共4小题） 【例5】（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 利用勾股定理求线段的平方和/差（共4小题） 【例6】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【变式2】（24-25八年级下·四川·期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则__________． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 勾股定理与实际场景结合（共10小题） 【例7】（24-25八年级下·山东聊城·月考）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【变式2】（25-26八年级上·四川巴中·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【变式3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【变式4】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【变式5】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【变式6】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式7】（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【变式8】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在一条东西方向的铁路南边的处有一所学校，铁路上有、两处观测点，观测点距离学校（即），观测点距离学校（即），且与恰好互余．若火车在行驶过程中会对周围范围内有噪声影响，请你判断火车在从观测点行驶到观测点的过程中对该学校是否会有噪声影响？请说明理由． 【变式9】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 勾股定理与几何图形综合（共3小题） 【例8】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 （1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形． 【特例研究】 （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长． 根据已知条件判断直角三角形（共3小题） 【例9】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【变式1】（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，①若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形；②若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形；③若；则△ABC是直角三角形；④若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形．其中错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 利用勾股定理逆定理求解（共4小题） 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知等腰直角，，，平面内有一点，连接，若，，则的度数为__________． 【变式3】（24-25八年级下·广东肇庆·期中）如图，在中，，，，．E是上一点，，，垂足为． (1)判断的形状并说明理由； (2)求四边形的面积． 网格中判断直角三角形（共4小题） 【例11】（25-26八年级上·全国·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A．B．C．D． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，，，，都是格点，与相交于点，则______． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则______度． 【变式3】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 与勾股定理有关的新定义、规律探究问题（共4小题） 【例12】（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算：_____； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则_____． 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【变式2】（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【变式3】（24-25八年级下·贵州·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； 若三角形的三边长分别是，，，则该三角形___________（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 已知直角三角形的两条边长求第三边（共2小题） 【例1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若一个直角三角形的两边分别为和，则第三边为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一直角三角形的三边分别为8，15，，那么以为边长的正方形的面积为_______． 判断三边能否构成直角三角形（共3小题） 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 折叠问题中忽略对应关系相等（共2小题） 【例3】（21-22八年级上·福建厦门·月考）如图，在 中，，， 是边 上的点，连接 ，，先将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在边 上；再将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在 的延长线上．若 ，，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的个数有 （    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 勾股定理与因式分解综合（共2小题） 【例4】（2020·河北·二模）阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵，　　　　　① ∴．  ② ∴．  ③ ∴是直角三角形．  ④ 请根据上述解题过程回答下列问题： (1)上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请你将正确的解题过程写下来． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）阅读以下解题过程： 已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 错解：，① ，② ，③ 为直角三角形．④ (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______； (2)错误的原因是_______________________________________________________________； (3)本题正确的结论是____________________________________________________________． 勾股数的判断（共3小题） 判断方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为______． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 已知两点坐标求两点距离（共3小题） 解题方法：坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离： 【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）若点，可知，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．2 D．3 【变式2】（25-26八年级上·江西抚州·期中）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，，试求、两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)请直接写出代数式的最小值． 以弦图为背景的计算题（共4小题） 【例3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期末）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 利用勾股定理解决最短路径问题（共4小题） 【例4】（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【变式1】（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 二次根式与勾股定理综合（共2小题） 【例5】（25-26八年级上·福建三明·期中）数学兴趣小组在探究代数式的最小值时，小甜巧妙的运用了“数形结合”的思想解决问题．具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过作，．连接，．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． (1)【探究发现】当，，在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于____； (2)请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值； (3)【拓展迁移】若，为正数，请你用构图的方法试求出以，，为边的三角形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4小题） 【例6】（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【变式1】（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图①，在中，分别以为边，向外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为，，，请解答以下问题： （1），，满足的数量关系是________． （2）现将向上翻折，如图②，若阴影部分的，，，则________． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮在学习完本章知识后，他和星源数学社的其他成员进行了有关知识的探索．请你根据他们的思路完成下列各项内容： 问题解决：如下图中，，分别以其三边向形外作正方形，若，，则______． 变式探究：（1）如下图，若以的三边向形外作等腰直角三角形，，，则、、之间的关系为______． （2）如下图，若分别以三边为直径向形外作半圆，则、、之间的关系为______． 拓展应用：如下图，中，，分别以它的三边向形外作平行四边形，交于P，交于N，且，若平行四边形和平行四边形的面积分别为10和8，则平行四边形的面积为______． 学科网（北京）股份有限公1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $