7.3.4 正切函数的性质与图象 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)＝tan x的最小正周期为(　　) A．16 B．8 C．16π D．8π 解析：选B.f(x)的最小正周期为＝8. 2．函数y＝tan (sin x)的值域是(　　) A． B． C．[－tan 1，tan 1] D．[－1，1] 解析：选C.因为－1≤sin x≤1，所以－＜－1≤sin x≤1＜.又y＝tan x在(－，)上单调递增，所以函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]. 3．与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 解析：选C.由正切函数图象及性质得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，结合选项得直线x＝为函数y＝tan (2x＋)的图象的一条渐近线，即直线x＝与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交． 4．比较tan 48°，tan(－22°)，tan 114°的大小关系(　　) A．tan 114°＞tan 48°＞tan(－22°) B．tan(－22°)＞tan 114°＞tan 48° C．tan(－22°)＞tan 48°＞tan 114° D．tan 48°＞tan(－22°)＞tan 114° 解析：选D.tan 114°＝tan(180°－66°)＝tan(－66°)，因为当－90°<x<90°时，函数y＝tan x单调递增，且－90°<－66°＜－22°＜48°＜90°，所以tan(－66°)＜tan(－22°)＜tan 48°，即tan 48°＞tan(－22°)＞tan 114°. 5．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B． C． D． 解析：选B.正切函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)(k∈Z). 由点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心， 可知a－＝(k∈Z)， 即a＝＋(k∈Z). 由a＞0可得，当k＝0时，a取得最小值.故选B. 6．(多选)已知函数f(x)＝－，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)有最小值 D．f(x)在(，)上单调递增 解析：选BD.对于A，由f(x＋)＝f(x)，得f(x)的一个周期为，所以A错误； 对于B，由题意得 即解得x≠，k∈Z， 所以f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，所以B正确；对于C，由x≠，k∈Z，得tan 2x≠0，可得f(x)＝－∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以C错误；对于D，由x∈(，)，得2x∈(，π)，则函数y＝tan 2x单调递增，所以f(x)在(，)上也单调递增，所以D正确． 7．已知函数y＝2tan x＋a在上的最大值为4，则实数a的值为________． 解析：函数y＝2tan x＋a在上单调递增， 则当x＝时，ymax＝2tan＋a＝2＋a＝4，解得a＝2. 答案：2 8．若函数f(x)＝tan (ωx－)(ω＞0)的最小正周期为1，则f(x)在上的值域为________． 解析： 因为函数f(x)＝tan (ωx－)(ω＞0)的最小正周期为1，所以T＝＝1，解得ω＝π，所以f(x)＝tan (πx－)， 因为0＜x≤，所以－＜πx－≤， 则－＜tan (πx－)≤. 答案： 9．已知函数f(x)＝x2＋2x tan θ－1，θ∈(－，)，若函数f(x)在上单调递减，则θ的取值范围为________． 解析：f(x)＝x2＋2xtan θ－1＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ，函数f(x)的图象为开口向上，对称轴为直线x＝－tan θ的抛物线，若函数f(x)在上单调递减，则－tan θ≥，即tan θ≤－，又θ∈，所以θ∈. 答案： 10．(13分)已知函数f(x)＝3tan (x－).求： (1)函数f(x)的定义域及最小正周期；(6分) (2)函数f(x)的单调区间．(7分) 解：(1)由x－≠kπ＋，k∈Z得x≠2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2kπ＋，k∈Z}， 又T＝＝＝2π， 所以函数f(x)的最小正周期是2π. (2)由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z， 得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，无单调递减区间． 11．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　) A．(2，)　　　　 B． C．(，) D． 解析：选A.设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，作出y＝f(x)的简图，如图，不妨设a＜b＜c，由正弦函数的对称性可知a＋b＝1，由图可知0＜f(c)＜1，即0＜tan πc＜1，解得1＜c＜， 所以a＋b＋c的取值范围是(2，). 12．(多选)关于函数f(x)＝tan |x|＋|tan x|，下述四个结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间(0，)上单调递增 C．f(x)在[－π，π]，x≠±上有3个零点 D．f(x)的最小正周期为π 解析：选AB.f(x)＝tan |x|＋|tan x|的定义域为，关于原点对称，f(－x)＝tan |－x|＋|tan (－x)|＝tan |x|＋|tan x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；当0＜x＜时，f(x)＝tan x＋tan x＝2tan x单调递增，B正确；当＜x≤π时，f(x)＝tan x－tan x＝0，所以f(x)在(，π]上有无数个零点，则C错误；f(－)＝tan＋tan＝2，f(－＋π)＝f()＝tan＋＝－1＋1＝0，所以π不是f(x)的最小正周期，D错误． 13．(13分)已知函数f(x)＝2tan (ωx＋)，ω＞0. (1)若ω＝，求函数f(x)的定义域及最小正周期；(6分) (2)若函数f(x)在区间(0，)上单调递增，求ω的取值范围．(7分) 解：(1)当ω＝时，f(x)＝2tan (x＋)，则函数f(x)的最小正周期T＝＝3π.由x＋≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋3kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为. (2)由x∈(0，)，得ωx＋∈(，ω＋)， 由函数f(x)在区间(0，)上单调递增， 得ω＋≤，解得ω≤，又ω＞0， 所以ω的取值范围为. 14．(15分)对于函数f(x)，若f(x)的图象上存在关于原点对称的点，则称f(x)为定义域上的“G函数”． (1)试判断f(x)＝|cos x|(x≠0)是否为“G函数”，简要说明理由；(5分) (2)若f(x)＝log2(tan x＋m)＋1是定义在区间[－，0)∪(0，]上的“G函数”，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)根据题意，f(－)＝0＝f()， 可得f(－)＋f()＝0， 故f(x)＝|cos x|(x≠0)是“G函数”． (2)因为f(x)为“G函数”， 所以存在x∈[－，0)∪(0，]， 使f(x)＋f(－x)＝0， 即log2(tan x＋m)＋1＋log2(－tan x＋m)＋1＝0， 即m2－tan2x＝在[－，0)∪(0，]上有解． 因为tanx∈[－，0)∪(0，]， 所以m2＝tan2x＋∈(，]， 可得＜|m|≤， 结合tanx＋m＞0在[－，0)∪(0，]上恒成立， 可得m＞(－tan x)max＝，－tan x＋m>0在∪上恒成立， 可得m>(tan x)max＝， 综上所述，＜m≤，即实数m的取值范围是(，]. 15．函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)经过点(，－1)，图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则f()＝________． 解析：由题图可知T×3＝6π， 即×3＝6π，解得ω＝， 则f(x)＝tan (x＋φ)， 依题意，f()＝tan (＋φ)＝－1， 由于－＜φ＜，－＜＋φ＜， 所以＋φ＝－，φ＝－， 所以f(x)＝tan (x－). 则f()＝tan (－) ＝tan ＝tan ＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $