7.4 专题 突破卫星运行问题中的“四个难点” 导学案 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

突破卫星运行问题中的“四个难点”答案 【例1】解析：选BD。由G＝m得v＝，因为r3>r1，所以v3<v1，A错误；由G＝mω2r得ω＝，因为r3>r1，所以ω3<ω1，B正确；卫星在轨道1上经Q点时的加速度为地球引力产生的，在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故应相等。同理，卫星在轨道2上经P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，C错误，D正确。 【针对训练1】解析：选CD。11.2 km/s是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，而同步卫星仍然绕地球运动，选项A错误；7.9 km/s(第一宇宙速度)是近地卫星的环绕速度，也是卫星最大的环绕速度，同步卫星运动的线速度一定小于第一宇宙速度，选项B错误；椭圆轨道Ⅰ上，P是近地点，故卫星在P点的速度大于在Q点的速度；卫星在轨道Ⅰ上的Q点做近心运动，只有加速后才能沿轨道Ⅱ运动，选项C、D正确。 【例2】解析：选AD设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，选项D正确。 【针对训练2】解析：选D。赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1＜F2，F2＞F3，加速度a1＜a2，a2＝g，a3＜a2；线速度v1＝ω1R，v3＝ω3(R＋h)，其中ω1＝ω3，因此v1＜v3，而v2＞v3；角速度ω＝，故有ω1＝ω3＜ω2，故选项D正确。 【例3】解析：选B。经分析可知，解得 【针对训练3】（1）8T （2） 解析：（1）由开普勒第三定律可知 又，， 联立可得 （2）设两卫星第一次相距最远所用时间为t，则有 且， 则 【例4】[解析]　(1)令A星的轨道半径为R，B星的轨道半径为r，则由题意有L＝r＋R 两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有 G＝mR G＝Mr 可得＝ 又因为L＝R＋r 所以可以解得R＝L，r＝L； (2)根据(1)可以得到G＝mR R＝L 两式联立解得 T＝ ＝2π ； (3)根据R＝L 知M变大，R变大 根据T＝ ＝2π ，知周期不变。 【例5】解析：选A。运动的甲与丙都是在其余两颗星的引力作用下围绕乙做圆周运动的，所受合力F＝＋＝，A正确；乙星在甲与丙的作用下保持静止，合力为零，B错误；由于甲与丙二者的连线始终通过圆心时才能保证合力充当向心力，故二者必在任意时刻都处于同一直径的端点，即角速度相同、线速度与加速度的大小相等、方向相反，C、D错误。 【习题巩固】 1.解析：选AD。根据开普勒定律知探测器在椭圆轨道上运动时，在离火星最近的P点速度大于最远的Q点的速度，A正确；探测器从轨道Ⅰ上变轨到轨道Ⅱ上，需要在P点加速，所以在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，B错误；不管在哪个轨道上，探测器在P点受到的万有引力是相等的，所以加速度相等，C错误；根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道Ⅱ上运动时的周期小于在轨道Ⅲ上运动时所具有的周期，D正确。 2.解析：选D。因a在地球上，c为地球同步卫星，所以a、c角速度相同，由可知c的线速度比a的线速度大，因此在相同时间内，c转过的弧长一定比a转过的弧长更长，A错误； 根据牛顿第二定律可得，b是近地轨道卫星，d是高空探测卫星，b的向心加速度大于d的向心加速度，B错误；c为地球同步卫星，内转过的角度为，则内转过的角度为，C错误；由开普勒第三定律可知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期（24h），则d的运动周期可能是，D正确。 3.答案：选D。 4.解析：选AC。由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，故有mArAω2＝mBrBω2，解得＝＝，故A、C正确；由于二者由万有引力提供向心力，故二者圆周运动的向心力之比为1∶1，故B错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为1∶n，故D错误。 5.解析：选C。以其中一颗恒星为对象，根据牛顿第二定律可得 其中每颗恒星运动的轨道半径为，解得每颗恒星的角速度为，故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $新物理课堂--第七章 《万有引力与宇宙航行》新授课学案 突破卫星运行问题中的“四个难点” 拓展点一　卫星的变轨问题 变轨过程各物理量分析 (1)线速度比较： 两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ； 同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大； 两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ。 所以，有vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB。 (2)周期比较： 不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律＝k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期。图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。 (3)加速度比较： 由a＝知卫星运动到不同位置的加速度大小由该点到地心的距离r决定；例如卫星经过A点的加速度大于经过B点的加速度，两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。 【例1】(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　) A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 【针对训练1】(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　) A.该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s B.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s C.在椭圆轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 拓展点二　近地卫星、同步卫星、赤道上物体物理量的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 1.相同点 (1)都以地心为圆心做匀速圆周运动。 (2)同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度。 2.三者比较 比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 [试题案例] 【例2】(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【针对训练2】地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　) A.F1＝F2＞F3 B.a1＝a2＝g＞a3 C.v1＝v2＝v＞v3 D.ω1＝ω3＜ω2 拓展点三　天体中的追及、相遇问题 对于天体中的追及、相遇问题的处理思路 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1。 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝。 [试题案例] 【例3】如图所示，地球同步轨道上的卫星A与较低轨道上的卫星B都在赤道所在平面内绕地球做匀速圆周运动，且运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转的周期为T，某时刻两卫星距离最近，再经过时间t，两卫星再次相距最近，则卫星B的周期为（　　） A． B． C． D． 【针对训练3】如图所示有A、B两颗卫星绕地球在同一个平面内做顺时针匀速圆周运动，周期分别为和，其中，地球半径为R，A、B到地球表面的高度分别为，，引力常量为G，不考虑地球自转，求： (1)卫星B绕地球做圆周运动的周期； (2)若从图示时刻（A、B两卫星与地心连线相互垂直）开始，经多长时间t两卫星第一次相距最远。 拓展点四 双星或多星模型 1．双星模型 (1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。 ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1＋r2＝L。 思考　(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？ (2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？ 【例4】如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)求A星球做圆周运动的半径R和B星球做圆周运动的半径r； (2)求两星球做圆周运动的周期； (3)如果把星球A质量的一半搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L。则组成新的稳定双星后星球A半径和周期如何变化？ 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 【例5】如图，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则(　　) A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为 C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的加速度相同 【习题巩固】 1.（多选）假设中国火星探测器探测火星，经历如图所示的变轨过程，下列说法正确的是(　　) A．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度 B．探测器在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于探测器在轨道Ⅱ上经过P点时的速度 C．探测器在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于探测器在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．探测器在轨道Ⅱ上运动时的周期大于在轨道Ⅲ上运动时所具有的周期 2.有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示。下列说法正确的是（　　） A．在相同时间内，c转过的弧长最短 B．b的向心加速度小于d的向心加速度 C．c在内转过的角度是 D．d的运动周期可能是 3.设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r<5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为(地球同步卫星轨道半径约为6.6R)(　　) A.2π B. C.2π D. 4.(多选)图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示，双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比mA∶mB＝n∶1，则(　　) A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1∶1 B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1 C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶n D．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为1∶n2 5．三颗质量均为M的恒星组成等边三角形，边长为L，绕共同中心做圆周运动。引力常量为G，每颗恒星的角速度为（　　） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $