7.2.2 单位圆与三角函数线（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“单位圆与三角函数线”核心知识点，承接三角函数的比值定义，通过单位圆构建从数到形的桥梁，系统梳理单位圆概念、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的意义及与sinα、cosα、tanα的关系，形成知识学习支架。 资料以水车转动的现实情境导入，培养学生用数学眼光观察世界，通过思考问题引导抽象与推理发展数学思维，借助单位圆图形直观呈现三角函数线强化数学语言表达。课中例题与跟踪训练助力理解应用，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

7．2.2　单位圆与三角函数线 新课导入 学习目标 在江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．水车的形状给我们以圆的形象，把它放入平面直角坐标系中，可以帮助我们更深入地了解三角函数．对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，那么正弦、余弦、正切函数能否用图形表示出来呢？带着这一问题来开启这一节课的学习吧！ 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 一　单位圆与三角函数线 思考1　设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？ 提示：x2＋y2＝1，P(cos α，sin α). 思考2　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？ 提示：MP，OM，AT三条线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|. [知识梳理] 1．单位圆 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆． 因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos_α，sin_α)． 2．三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线． 点拨　三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长度，其正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值． [例1] (对接教材例1)在单位圆中，作出角－的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出角－的正弦、余弦和正切值． 【解】　如图，作角－的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，点M为垂足．直线x＝1过点A(1，0)且与角－的终边所在直线交于点T. 所以角－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 依题意∠POM＝， 所以MP＝，OM＝，AT＝， 所以点P坐标为(－，－)， 所以sin (－)＝－， cos (－)＝－， tan (－)＝. 　 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从坐标为(1，0)的点A引单位圆的切线与角的终边交于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． [跟踪训练1] 角和角有相同的(　　) A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．以上都不对 解析：选C.与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线． 二　利用三角函数线比较三角函数值的大小 [例2] 比较大小： sin 与sin ；tan 与tan . 【解】　 如图所示，在单位圆中作出对应的正弦线、正切线分别为和. 作出对应的正弦线、正切线分别为和. 由图可知||>||，||>||. 又tan 与tan 均取负值， 故sin >sin ，tan <tan . 　 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 (1)角的位置要“对号入座”； (2)比较三角函数线的长度； (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负． [跟踪训练2] 若－<α<－，则sin α，cos α，tan α 的大小关系为______________．(用“<”连接) 解析： 如图，在单位圆中，作出满足－<α<－的一个角及其余弦线、正弦线、正切线. 由图知，||<||<||， 所以－||<－||<||， 即sin α<cos α<tan α. 答案：sin α<cos α<tan α 三　利用三角函数线解不等式（组） [例3] 在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥；(2)cos α≥. 【解】　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB之间的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． (2)作直线x＝交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD之间的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z}． 　 利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤 (1)作出使得等号成立的角的终边； (2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； (3)将图中的范围用不等式表示出来． [跟踪训练3] 求y＝lg (1－cos x)的定义域． 解：因为1－cos x＞0， 所以cos x＜，所以 2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)， 如图所示． 所以函数y的定义域为(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z). 1．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(－，)，则cos α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.由三角函数的定义可得cos α＝－.故选B. 2．(多选)(教材P21T1改编)已知角α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选AC.由题意知，角α的终边为第一、三象限的角平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或α＝. 3．已知<θ<，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，，，则||，||，||的大小关系为_____________．(用“>”连接) 解析：如图，可知||>||>||. 答案：||>||>|| 4．不等式sin x≤的解集为_______________________________． 解析：如图，作出满足sin x＝的角的正弦线和，∠M2OP2＝，∠M2OP1＝. 当角的终边位于图中阴影部分(包括边界)时满足sin x≤，因此不等式sin x≤的解集为 . 答案： 　 1．已学习：单位圆；三角函数线． 2．须贯通：利用三角函数线比较三角函数的大小，注意数形结合思想的应用． 3．应注意：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负． 学科网（北京）股份有限公司 $