8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计，课堂导入以父子身高相关的生活实例引出回归分析，搭建生活现象与数学知识的桥梁，引导学生从具体关联抽象出线性回归模型，形成从实际到理论的知识脉络。 其亮点在于通过散点图观察（数学眼光）、最小二乘公式推导（数学思维）、实际问题预测（数学语言），如商场促销数据建模、奥运会成绩预测等实例，培养模型意识与数据观念。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助清晰步骤和丰富实例提高教学效率。

8．2　一元线性回归模型及其应用 1 第1课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 2 新课导入 学习目标 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关．一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析．本节我们将学习一元线性回归模型参数的最小二乘估计及其在社会生活中的应用． 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计，会使用相关的统计软件． 2．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测，能用残差及决定系数R2对拟合效果进行分析． 3．在一元线性回归模型的基础上解决非线性回归问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　一元线性回归模型 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数据的散点图如图所示． 返回导航 思考1　依据上面的散点图，推断西红柿亩产量的增加量y与液体肥料每亩使用量x之间有没有关系？ 提示：有关系． 思考2　y与x的相关程度如何？两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ 提示：线性相关程度很强．不能，增加量y除了与液体肥料使用量x有关外，还与阳光、温度等有关系，y与x之间不是函数关系． 思考3　用什么模型来刻画y与x之间的关系？ 提示：从散点图看，散点大致分布在一条直线附近，可以用一元线性回归模型来刻画． 返回导航 因变量 响应变量 解释变量 随机误差 返回导航 √ [即时练] 1．关于一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，下列说法正确的是(　　) A．Y＝bx＋a＋e是一次函数 B．因变量Y是由自变量x唯一确定的 C．因变量Y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确产生的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 返回导航 解析：对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e表示的不是函数关系，因此不是一次函数，故A错误； 对于B，因变量Y不是由自变量x唯一确定的，故B错误； 对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不可能没有误差，故D错误．故选C. 返回导航 √ 2．若某制造企业年收入x与年支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该制造企业年收入为10亿元，则年支出预计不会超过(　　) A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 解析：由题意得，Y＝0.7x＋3＋e. 当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D. 返回导航 二　经验回归方程与最小二乘法 返回导航 返回导航 返回导航 [例1] 某商场为了迎接暑期旅游旺季，确定暑期营销策略，进行了投入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下四组数据． 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 返回导航 (1)画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较强的线性相关关系； 【解】画出散点图如图所示．从散点图可以看出两个变量具有较强的线性相关关系． 返回导航 故所求的经验回归方程为＝70x－30. 返回导航 返回导航 [跟踪训练1] 某研究机构对某校高二年级全体学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据． x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)根据上表数据，画出散点图； 解：散点图如图所示． 返回导航 (2)根据表中提供的数据及最小二乘法，求出y关于x的经验回归方程． 返回导航 应用点　利用经验回归方程进行预测 [例2] (2025·上海卷节选)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 返回导航 故预测2028年冠军队的成绩为204.56. 返回导航 由经验回归方程求预报值的注意点 (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体． (2)所建立的经验回归方程一般都有时效性． (3)样本的取值范围会影响经验回归方程的适用范围． (4)不能期望由经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值．事实上，它是响应变量的可能取值的平均值． 返回导航 [跟踪训练2] (1)(多选)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(单位：次/分钟)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程＝0.25x＋k，则下列说法正确的是(　　) √ x 20 30 40 50 60 y 25 27.5 29 32.5 36 A．k的值是20 B．变量x，y呈正相关关系 C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25 D．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时气温的预测值为33.5 ℃ √ √ 返回导航 返回导航 (2)中医是中华民族五千年传统文化的瑰宝，是千百年医疗实践的结晶，也是世界优秀文化的精华．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(单位：亿元)与产品收益 y(单位：亿元)的数据统计如下表： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 产品收益y/亿元 3 7 9 10 11 36.9亿元 返回导航 因此，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益预测值为36.9亿元． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 解析：由经验回归方程知，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加0.81 cm. 0.81 cm 返回导航 返回导航 返回导航 (2)判断y与x之间是正相关还是负相关． 返回导航 1．已学习：(1)一元线性回归模型的概念；(2)由最小二乘法求经验回归方程；(3)利用经验回归方程进行预测． 2．须贯通：求经验回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程． 3．应注意：(1)不判断变量间是否具有线性相关关系；(2)盲目求解经验回归方程致误． 返回导航 $