8.2 第1课时 一元线性回归模型及其参数的最小2乘估计-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型、最小二乘估计及经验回归方程应用，课堂导入通过回顾散点图与样本相关系数，从相关关系判断自然过渡到建立统计模型，搭建从确定性关系到随机关系的学习支架。 其亮点是以生活实例（如父子身高、促销费用与销售额）驱动，通过数学抽象构建模型，数学运算落实参数求解，数学建模实现预测应用。规律方法与易错点总结系统，助力学生掌握，也为教师提供清晰教学路径。

第一课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 1 1. 结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义 （数学抽象）. 2. 了解最小二乘法的思想，会求经验回归方程（数学运算、数学建模）. 课标要求 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关 系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及 线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量 之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相 关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并 通过模型进行预测.那么如何利用成对样本数据建立模型呢？ 情境导入 知识点一 一元线性回归模型 01 知识点二 最小二乘法和经验回归方程 02 知识点三 利用经验回归方程进行预测 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 一元线性回归模型 01 PART 目 录 问题1　生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高具有正相关的关 系，为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了某所高校14名男大学生 的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 编号 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 174 170 168 178 172 165 182 我们画出散点图（教材P105图8.2－1）并通过计算得到样本相关系数 r≈0.886. 数学·选择性必修第三册 目 录 （1）由样本相关系数可以得到什么结论？ 提示：通过样本相关系数可知儿子的身高与父亲的身高正线性相关，且相 关程度较高. （2）这两个变量之间的关系可以用函数模型来刻画吗？ 提示：不能.因为这两个变量之间不是函数关系，也就不能用函数模型 刻画. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 一元线性回归模型：我们称 为Y关于x的一元 线性回归模型.其中，Y称为 或 ，x称为 ⁠ 或 ； 称为截距参数， 称为斜率参数；e 是 与 之间的随机误差，如果e＝ ，那么Y与x之间 的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 因变量　 响应变量　 自变 量　 解释变量　 a　 b　 Y　 bx＋a　 0　 数学·选择性必修第三册 目 录 【例1】　判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型 刻画？ （1）某公司的销售收入和广告支出； （2）某城市写字楼的出租率和每平方米月租金； （3）航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； （4）某地区的人均消费水平和人均国内生产总值（GDP）； （5）学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； 解：（1） （2）（3）（4）（5）能用回归模型刻画， （6）一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； （7）正方形的面积与周长. 解： （6） （7）能用函数模型刻画. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，模型中的Y也是随机变量，其值虽 然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的和（叠加），前一 部分由x所确定，后一部分是随机的. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练1　（1）在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是 （　C　） A. Y＝bx＋a＋e是一次函数 B. 响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C. 响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响， 这些因素会导致随机误差e的产生 D. 随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e 的产生 C 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不 是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B，响应变量Y不是 由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C，响应变量Y除了受解释变 量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的 产生，所以C正确；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所 以D错误.故选C. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若某地财政收入x与支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e （单位：亿元），其中b＝0.7，a＝3，｜e｜≤0.5，如果今年该地区财 政收入10亿元，年支出预计不会超过（　D　） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 解析： 由题意知Y＝0.7x＋3＋e.当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋ e＝10＋e，又｜e｜≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所 以年支出预计不会超过10.5亿元. D 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点二 最小二乘法和经验回归方程 02 PART 目 录 问题2　在一元线性回归模型中，表达式Y＝bx＋a＋e刻画了变量Y与x 之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，确定参数a和b的原则是什 么？ 提示：使表示成对样本数据的各散点在整体上与一条适当的直线尽可能地 接近. 数学·选择性必修第三册 目 录 【知识梳理】 最小二乘法：我们将 ＝ x＋ 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回 归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程 的方法叫做最小二乘法，求得的 ， 叫做b，a的最小二乘估计，其中， ＝ ＝ ， ＝ － . 　　提醒：（1）经验回归直线不一定过成对样本数据（x1，y1），（x2， y2），…，（xn，yn）中的某一点；（2）经验回归直线一定经过样本点的 中心（ ， ）. 数学·选择性必修第三册 目 录 【例2】　（链接教材P113例）某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩x/分 88 76 73 66 63 物理成绩y/分 78 65 71 64 61 （1）画出散点图； 解： 散点图如图所示. （2）求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程（结果保留三位小数）. 参考公式： ＝ ＝ ， ＝ － . 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 因为 ＝ ×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2， ＝ ×（78＋ 65＋71＋64＋61）＝67.8， xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174， 所以 ＝ ≈0.625， ＝ － ≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 因此y关于x的经验回归方程为 ＝22.05＋0.625x. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 求经验回归方程的基本步骤 （1）画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； （2）计算 ， ， xiyi（或 （xi－ ）（yi－ ））， （或 （xi－ ）2）； （3）代入公式求出 ＝ x＋ 中参数 ， 的值； （4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计. 　　提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实 际意义. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练2　若根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于x的经验回归方 程为 ＝6.5x＋17.5，则表中m的值为（　A　） x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A. 60 B. 55 A 解析：　由表中数据，得 ＝ ×（2＋4＋5＋6＋8）＝5， ＝ ×（30＋ 40＋m＋50＋70）＝38＋ ，因为经验回归直线 ＝6.5x＋17.5过点（5， 38＋ ），所以38＋ ＝6.5×5＋17.5，解得m＝60. C. 50 D. 45 数学·选择性必修第三册 目 录 知识点三 利用经验回归方程进行预测 03 PART 目 录 【例3】　某商场为了迎接暑期旅游旺季，确定暑期营销策略，进行了投 入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下四组数据. 投入促销费用x/万元 2 3 5 6 商场实际销售额y/万元 100 200 300 400 （1）画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较强的线性 相关关系； 解： 散点图如图所示. 从散点图上可以看出两个变量具有较强的线性相关关系. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）求出x，y之间的经验回归方程 ＝ x＋ ； 解： 因为 ＝ ＝4， ＝ ＝250， xiyi＝2×100＋3×200＋5×300＋6×400＝4 700， ＝22＋32＋52＋62＝74， 数学·选择性必修第三册 目 录 所以 ＝ ＝ ＝70， ＝ － ＝250－70×4＝－ 30. 故所求的经验回归方程为 ＝70x－30. 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）若该商场计划实际销售额不低于600万元，则至少要投入多少万元的 促销费用？ 参考公式： ＝ ， ＝ － . 解： 由题意得70x－30≥600，即x≥ ＝9， 所以若该商场计划实际销售额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销 费用. 数学·选择性必修第三册 目 录 【规律方法】 1. 判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图. 2. 求经验回归方程：注意运算的正确性，要根据题目给出的数据选择公式 求 . 3. 根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的 误差. 数学·选择性必修第三册 目 录 训练3　恩格尔系数法是国际上常用的一种测定贫困线的方法，是指居民 家庭年人均食物支出占年人均消费总支出的比重，它随家庭收入的增加而 下降，即恩格尔系数越大，生活越贫困.某调研小组通过调查得到了某地 年人均消费总支出x（万元）与恩格尔系数y的五组数据如下表： x 1 1.5 2 2.5 3 y 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 数学·选择性必修第三册 目 录 （1）请根据表中数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程； 解： 由题意可得 ＝ ×（1＋1.5＋2＋2.5＋3）＝2， ＝ ×（0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2）＝0.52. （xi－ ）（yi－ ）＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×（－0.22）＋ 1×（－0.32）＝－0.9， （xi－ ）2＝1＋0.25＋0.25＋1＝2.5， 则 ＝－ ＝－0.36， ＝ － ＝1.24，故 ＝－0.36x＋1.24. 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）若该地某居民家庭年人均消费总支出为2.6万元，估计该居民家庭的 恩格尔系数. 参考公式：经验回归方程 ＝ x＋ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为 ＝ ＝ ， ＝ － . 解： 当x＝2.6时， ＝－0.36×2.6＋1.24＝0.304， 故估计该居民家庭的恩格尔系数为0.304. 数学·选择性必修第三册 目 录 1. 〔多选〕下列有关经验回归方程 ＝ x＋ 的叙述正确的是（　　） A. 反映 与x之间的函数关系 B. 反映y与x之间的函数关系 C. 表示 与x之间不确定关系 D. 表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 解析： 　 ＝ x＋ 表示 与x之间的函数关系，而不是y与x之间的 函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选A、D. √ √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出 的回归方程作出解释；②收集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；③求线 性回归方程；④根据所搜集的数据绘制散点图.若根据实际情况能够判定 变量x，y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是（　　） A. ①②④③ B. ③②④① C. ②③①④ D. ②④③① 解析： 　根据实际情况能够判定变量x，y具有线性相关性的顺序为：收 集数据（xi，yi），i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图；求 线性回归方程；对所求出的回归方程作出解释.故选D. √ 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数 据，利用最小二乘法得到经验回归方程为 ＝10.5x＋ ，据此模型预测 当x＝20时，y的估计值为（　　） x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 A. 210 B. 210.5 C. 211.5 D. 212.5 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由题意可知， ＝ ＝5， ＝ ＝54. ∵经验回归直线经过样本中心点，∴54＝10.5×5＋ ， ＝1.5，经验回 归方程为 ＝10.5x＋1.5，当x＝20时，y的估计值为10.5×20＋1.5＝ 211.5.故选C. 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 若根据5名儿童的年龄x（岁）和体重y（kg）的数据用最小二乘法得到 用年龄预报体重的经验回归方程是 ＝2x＋18，已知这5名儿童的年龄分 别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是 kg. 解析：由题意得， ＝ ＝4，由于经验回归直线过样本的中心点 （ ， ），所以 ＝2 ＋18＝2×4＋18＝26，则这5名儿童的平均体重是 26 kg. 26 数学·选择性必修第三册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）一元线性回归模型； （2）最小二乘法、经验回归方程的求法； （3）利用经验回归方程进行预测. 2. 应体会 （1）利用公式法求线性回归方程； （2）利用经验回归方程对总体进行预测体现了转化与化归思想. 3. 避易错 利用公式 ＝ 求值时易发生计算错误. 数学·选择性必修第三册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 在有线性相关关系的两个变量建立的经验回归方程 ＝ ＋ x中， （　　） A. 不能小于0 B. 不能大于0 C. 不能等于0 D. 只能小于0 解析： 当 ＝0时，不具有线性相关关系，但 能大于0，也能小于0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·选择性必修第三册 目 录 2. 已知某经验回归方程为 ＝2－3x，则当解释变量增加1个单位时，响应 变量平均（　　） A. 增加3个单位 B. 增加 个单位 C. 减少3个单位 D. 减少 个单位 解析： 　依题意，经验回归方程为 ＝2－3x，所以当解释变量增加1个 单位时，响应变量平均减少3个单位.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 3. 用最小二乘法得到一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）的经 验回归方程为 ＝2x＋3，若 xi＝30，则 yi＝（　　） A. 11 B. 13 C. 63 D. 78 解析： 　依题意，因为 xi＝30，所以 ＝ ＝5，因为经验回归方程 ＝2x＋3一定过点（ ， ），所以 ＝2 ＋3＝2×5＋3＝13，所以 yi＝ 6×13＝78.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 4. 经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y 3 5 6 8 由表中数据，求得经验回归方程为 ＝ x＋ ，若小明同学的记忆能力为 15，则可预测其识图能力为（　　） A. 8 B. 9.6 C. 11.2 D. 11.9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由表中数据可得， ＝ ×（4＋6＋8＋10）＝7， ＝ ×（3＋ 5＋6＋8）＝5.5，又经验回归方程为 ＝ x＋ ，则5.5＝ ×7＋ ，解得 ＝－0.1，故 ＝ x－ ，当x＝15时， ＝ ×15－ ＝11.9.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 5. 〔多选〕数据（x，y）的5组测量值（xi，yi）（i＝1，2，3，4， 5），已知 ＝90， xiyi＝112， xi＝20， yi＝25.若y对x的经 验回归方程记作 ＝ x＋ ，则（　　） A. ＝1.2 B. ＝0.2 C. y与x正相关 D. x＝8时，y的估计值为9 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　由已知的数据可得 ＝ xi＝4， ＝ yi＝5， ＝ ＝ ＝ ＝1.2， ＝ － ＝5－1.2×4 ＝0.2，所以经验回归方程为 ＝1.2x＋0.2.因为 ＝1.2＞0，所以y与x 正相关.当x＝8时， ＝1.2×8＋0.2＝9.8.故A、B、C选项正确，D选项 错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 6. 如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x 之间的经验回归方程为 ＝ x＋1，则 ＝ ⁠. 解析：由题图知 ＝ ＝2， ＝ ＝2.6，将（2，2.6） 代入 ＝ x＋1中，解得 ＝0.8. 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 7. 为了研究某班学生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关 系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间 有线性相关关系，设其经验回归方程为 ＝ x＋ ，已知 xi＝225， yi＝1 600， ＝4.该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高 为 cm. 解析：由题意可知 ＝4x＋ ，又 ＝22.5， ＝160，∴160＝22.5×4＋ ，得 ＝70，因此 ＝4x＋70.当x＝24时， ＝4×24＋70＝96＋70＝ 166. 166 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 8. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千 元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得 xi＝80， yi＝20， xiyi＝184， ＝720. （1）求家庭的月储蓄y与月收入x的经验回归方程 ＝ x＋ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 解： 由题意，知n＝10， ＝ xi＝ ＝8， ＝ yi＝ ＝2， 又 －10 ＝720－10×82＝80， xiyi－10 ＝184－10×8×2＝24，则 ＝ ＝0.3， ＝ － ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求经验回归方程为 ＝0.3x－0.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关； 解： 由于变量y的值随x值的增加而增加（ ＝0.3＞0），故x与y之 间是正相关. （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：经验回归方程 ＝ x＋ 中， ＝ ， ＝ － ，其中 ， 为样本平均值. 解： 将x＝7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 ＝ 0.3×7－0.4＝1.7（千元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 9. 根据以下样本数据 x 1 3 5 7 y 6 4.5 3.5 2.5 得到经验回归方程为 ＝ x＋ .则（　　） A. ＜0， ＜0 B. ＞0， ＞0 C. ＜0， ＞0 D. ＞0， ＜0 解析： 　由表中数据可得随着x的增大，y越来越小，所以 ＜0，又因 为当x＝1时，y＝6，所以当x＝0时，y＞6，所以 ＞0，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 10. 〔多选〕已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行 了10次试验.试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经 验回归方程为 ＝3x＋4.5，且 ＝4，又增加了2次试验，得到2个数据点 （2，11），（6，22），根据这10个数据点重新求得经验回归方程为 ＝ mx＋n（其中m，n∈R），则（　　） A. 变量y与x正相关 B. m＜3 C. n＜4.5 D. 经验回归直线 ＝mx＋n经过点（4，16.5） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 解析： 　设A（2，11），B（6，22），由kAB＝ ＜3，而8个数据点 的经验回归方程中 ＝3，∴0＜m＜3，A、B正确；10个数据点的 '＝ ＝4， '＝ ＝16.5，∴经验回归直线过定点 （4，16.5），则16.5＝4m＋n，n＝16.5－4m，0＜m＜3，0＜4m＜ 12，－12＜－4m＜0，4.5＜16.5－4m＜16.5，即4.5＜n＜16.5，∴D正 确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 11. 〔多选〕月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依 据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y（简称“月出时 间”，单位：小时）与天数x（x为阴历日数，x∈N*，且0≤x≤30）的有 关数据如表，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回归方程为 ＝0.8x ＋ . x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日 0：00）才升起.则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 A. 经验回归直线过点（10，14.4） B. ＝6.8 C. 预测月出时间为16时的那天是阴历13日 D. 预测阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 解析： 　 ＝ ＝10， ＝ ＝ 14.4，故经验回归直线过点（10，14.4），选项A正确；将点（10， 14.4）代入 ＝0.8x＋ ，得 ＝6.4，B错误；∵ ＝0.8x＋6.4，当y＝ 16时，x＝12，∴月出时间为阴历12日，选项C错误；∵阴历27日时，即x ＝27，代入得 ＝0.8×27＋6.4＝28，∴日出时间应该为28日早上4：00， 选项D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 12. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表 记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：h）与当天投篮命中率 y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预 测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ⁠. 0.5 0.53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 解析：小李这5天的平均投篮命中率 ＝ ×（0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋ 0.4）＝0.5， ＝3，计算得 ＝ ＝0.01， ＝ － ＝0.5－0.03＝ 0.47.∴经验回归方程为 ＝0.01x＋0.47，则当x＝6时， ＝0.53.∴预 测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 13. 一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来 的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转 的速率而变化，下表为抽样试验结果： 转速x（转/秒） 16 14 12 8 每小时生产有缺 陷的零件数y（件） 11 9 8 5 （1）画出散点图； 解： 画出散点图，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 （2）如果y与x有线性相关的关系，求经验回归方程； 解： ∵ ＝12.5， ＝8.25， xiyi＝438， ＝660， ∴ ＝ ＝ ≈0.728 6， ＝ － ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 故经验回归方程为 ＝0.728 6x－0.857 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 （3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10 件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（结果保留一位小数） 解： 要使y≤10，则0.728 6x－0.857 5≤10，得x＜14.901 9. 故机器的转速应控制在14.9转/秒及以下. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第三册 目 录 $