专题02 作图题11大类型专练（举一反三综合训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题02 作图题11大类型专练（举一反三综合训练） 【全国通用】 【类型1 网格作图——与三角形有关10题】 1 【类型2 网格作图——与圆有关10题】 11 【类型3 尺规作图——作线段5题】 23 【类型4 尺规作图——作角5题】 25 【类型5 尺规作图——作三角形5题】 30 【类型6 尺规作图——作四边形5题】 34 【类型7 尺规作图——作圆5题】 38 【类型8 图形的变换——对称变换5题】 45 【类型9 图形的变换——平移变换5题】 51 【类型10 图形的变换——旋转变换5题】 57 【类型11 图形的变换——位似变换5题】 63 【类型1 网格作图——与三角形有关10题】 1．（2026•哈尔滨模拟）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图1中，在线段AB上找到一点E，使； （2）在图2中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cos∠BAC． 【分析】（1）在图①中，找格点M，N，连接MN交AB于点E，使使即可； （2）由，即得出∠BAC＝45°，即画出底角为45°的等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）如图1，点E即为所作． （2）如图，△BAC即为所作． 2．（2025•九台区二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC、△DEF、△GHI的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中△ABC的边AB上确定一点M，使CM⊥AB． （2）在图②中△DEF 的边DE上确定一点N，连结FN，使FN＝DN． （3）在图③中先确定线段GI的中点P，再在△GHI的边GH上确定一点Q，点Q不与点G重合，连结PQ，使PI＝PQ． 【分析】（1）取格点J，连接CJ交AB与点M，点M即为所求； （2）取格点P，Q，连接PQ交DE于点N，连接FN，点N即为所求； （3）CI与网格线的交点P即为所求，取点K，连接IK交GH于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图图②中，点N即为所求； （3）如图③中，点P，点Q，即为所求． 3．（2025•长沙模拟）如图1、图2、图3均是由边长均为1的小正方形组成的4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图1找到一个格点D，连结DA，DC，使四边形ABCD为平行四边形； （2）在图2中，在边AC上确定一点P，使得PA＝PC； （3）在图3中，在边AC上确定一点E，在边BC上确定一点F，连接EF，使EF垂直平分BC． 【分析】（1）根据平行四边形的判定作出图形即可； （2）作矩形AECF，连接EF交AD于P，点P即为所求； （3）根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1所示，四边形ABCD即为所求； （2）如图2所示，点P即为所求； （3）如图所示，EF垂直平分BC． 4．（2025•长春）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可； （2）根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求； （2）如图②中，△ABC即为所求； （3）如图③中，△ABC即为所求． 5．（2025•临川区一模）如图，这是5×5的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在AB上作点D，AC上作点E，连接DE，使得DE∥BC，且； （2）如图2，在AB上作点F，AC上作点G，连接FG，使得FG∥BC，且． 【分析】（1）取AB的中点D，AC的中点E，连接DE，可得DE为△ABC的中位线，进而可知DE为所求． （2）结合相似三角形的判定与性质，取AB与网格线的交点F，使AF，再取格点M，N，使AM：CN＝1：2，且M∥CN，连接MN，交AC于点G，连接FG，则FG即为所求． 【解答】解：（1）如图1，取AB的中点D，AC的中点E，连接DE， 可得DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且， 则DE即为所求． （2）如图2，取AB与网格线的交点F，使AF，再取格点M，N，使AM：CN＝1：2，且M∥CN，连接MN，交AC于点G，连接FG， 此时△AGM∽△CGN， ∴AG：CG＝AM：CN＝1：2， ∴， ∴， ∵∠FAG＝∠BAC， ∴△AFG∽△ABC， ∴FG∥BC，且， 则FG即为所求． 6．（2025•浔阳区校级一模）如图是6×6的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段DE∥BC，点D，E分别在AC，AB上且； （2）如图2，在△ABC的边AC上找一点F，使∠ABF＝45°． 【分析】（1）结合三角形中位线定理，分别取AB，AC的中点E，D，连接ED即可． （2）取AB的中点D，连接CD，取CD的中点E，连接BE并延长，交AC于点F，则点F即为所求． 【解答】解：（1）如图①，分别取AB，AC的中点E，D，连接ED， 则线段DE即为所求． （2）如图②，取AB的中点D，连接CD，取CD的中点E，连接BE并延长，交AC于点F， 此时BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠DBE＝45°， 即∠ABF＝45°， 则点F即为所求． 7．（2025•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出△ABC中AB边上的中线CD； （2）在图②中的AC边上找到一点E，使tan∠EBC＝1； （3）在图③中的BC边上找到一点F，连接AF，使． 【分析】（1）结合网格特征，先找出AB边上的中点D，再连接CD，即可作答． （2）结合网格特征，得∠BCA＝45°，再结合tan∠EBC＝1，即，即可在AC边上找到一点E，使得△BCE是等腰直角三角形，进行作答． （3）结合网格特征，证明△BFP∽△CFQ，故，连接AF，得，即可作答． 【解答】解：（1）AB边上的中线CD如图①： （2）点E如图②： （3）解：点F如图③： 8．（2025•鼓楼区校级二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出BC边上的高AD； （2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4； （3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF． 【分析】（1）取格点G，连接AG，与BC交于点D，则AD即为所求． （2）取格点P，Q，连接PQ，交AC于点E，则△AEP∽△CEQ，可得； （3）取格点M，连接AM，交网格线于点N，此时AM＝AC，∠CAM＝90°，2，即，再连接CN，交AB于点F，可得tan∠ACF＝tan∠ACN． 【解答】解：（1）如图1，高AD即为所求． （2）如图2，点E即为所求． （3）如图3，点F即为所求． 9．（2025•南关区校级模拟）图①，图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点A、B、C和点D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边BC上找一格点E，连接DE，使∠DEB＝∠B； （2）在图②中的△ABC外部找一个格点F，画四边形BFCD，使该四边形对角互补； （3）在图③中的△ABC外部找一个格点G，画四边形ADCG，使该四边形被对角线DG分得的两个三角形均是等腰三角形． 【分析】（1）如图，取格点E，连接DE，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到∠DEB＝∠B； （2）根据网格特征得出∠DBF＝∠DCF＝90°，从而求解； （3）根据网格特征得出，，从而可判断△ADG，△CDG是等腰三角形． 【解答】解：（1）在图①中的边BC上找一格点E，连接DE，使∠DEB＝∠B， 如图①，点E为所求； （2）如图②，四边形BFCD即为所求； 根据网格可知：∠DBF＝∠DCF＝90°， ∴∠BDC+∠BFC＝∠DBF+∠DCF＝180°， ∴四边形BFCD即为所求； （3）如图③，四边形ADCG即为所求， 根据网格可知，，， ∴△ADG，△CDG是等腰三角形， ∴四边形ADCG即为所求． 10．（2025•杭州模拟）网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 【分析】（1）如图3中，根据平行，构造相似比是3：2的两个三角形，取格点M，N连接MN交AB于点Q，点Q即为所求； （2）取格点G，连接AG，取AG的中点T，连接BT，取格点E，使得CE⊥BT，CE交AB于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图3中，点Q即为所求； （2）如图4中，点Q即为所求． 【类型2 网格作图——与圆有关10题】 11．（2025•朝阳区二模）如图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，⊙O的圆心O和弦AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为边画⊙O的内接正方形ABCD． （2）在图②中画圆周角∠AEB＝135°，且点E在格点上． （3）在图②中以点B为切点画⊙O的切线BF，且点F在格点上． 【分析】（1）根据题意，画出正方形ABCD即可； （2）根据题意，作出∠AEB； （3）根据题意，画出切线BF，注意点F有两种情况． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求． 12．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 【分析】（1）利用圆周角定理作出图形； （2）利用圆内接四边形的性质作出图形． 【解答】解：（1）如图①中，点D即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）． 13．（2025•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点O、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，⊙O的半径为，过点P作⊙O的切线； （2）在图②中，⊙O的半径为2，过点P作⊙O的两条切线； （3）在图②中，⊙O的半径为2，过点P作⊙O的两条切线． 【分析】（1）作直线PE⊥OP即可； （2）根据切线的判定作出直线m，n即可； （3）作出切线m，切点为M，连接OP，取格点J，连接MJ，延长MJ交⊙O于点N，作直线PN即可． 【解答】解：（1）如图①中，直线PE即为所求； （2）如图②中，直线m，n即为所求； （3）如图③中，直线m，n即为所求． 14．（2025•朝阳区校级四模）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心O． （2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得DE是圆上最长的弦． （3）在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦PQ，使得PQ＝AM． 【分析】（1）由图可知，∠BAC＝90°，则BC为圆的直径，取BC的中点O，则点O即为所求． （2）连接BC，取BC的中点O，连接DO并延长，与圆相交于点E，则点E即为所求． （3）连接BC，取BC的中点O，连接AO并延长，与圆相交于点P，连接MO并延长，与圆相交于点Q，连接PQ，则弦PQ即为所求． 【解答】解：（1）由图可知，∠BAC＝90°， ∵点A，B，C在圆上， ∴BC为圆的直径． 如图1，连接BC，取BC的中点O， 则点O即为所求． （2）如图2，连接BC，取BC的中点O，连接DO并延长，与圆相交于点E， 此时DE为圆O的直径， 即DE是圆上最长的弦， 则点E即为所求． （3）如图3，连接BC，取BC的中点O，连接AO并延长，与圆相交于点P，连接MO并延长，与圆相交于点Q，连接PQ， 则弦PQ即为所求． 15．（2025•白山模拟）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹； （1）在图1中，在圆上找一点D，使得BD＝AC； （2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧BP的中点． 【分析】（1）根据圆的直径都相等作图； （2）根据网格线的特征和垂径定理作图． 【解答】解：（1）连接BO并延长交圆于点D，点D即为所求； （2）找格点E连接BE交圆于点P，点P即为所求． 16．（2025•南关区校级模拟）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫格点，⊙O经过A、B两个格点．以及格线上的点C，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图． （1）如图1，过点O作AB的垂线； （2）如图2，过点C作弦CD∥AB． 【分析】（1）根据网格，取AB与格线的交点G，作直线OG即可； （2）连接BC，交OG于L，连接AL并延长，交⊙O于D，连接CD即可． 【解答】解：（1）如图1，取AB与格线的交点G，作直线OG，直线OG即为求作的； 理由：取AB与格线的交点G，连接OG，OA，OB， ∵OA＝OB，G是AB的中点， ∴OG⊥AB； （2）如图2，连接BC，交OG于L，连接AL并延长，交⊙O于D，连接CD，CD即为所求作的； 理由：∵直线OG是⊙O的对称轴，点L在OG上， ∴LA＝LB， ∴∠LAB＝∠LBA， 由条件可知∠C＝∠LBA， ∴CD∥AB． 17．（2025•朝阳区校级一模）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出⊙O的内接正六边形ABCDEF，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，⊙O经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作AD的垂线，交⊙O于EF； ②如图3，点B在⊙O上，过点B作弦BC∥AD． 【分析】（1）用半径截圆，把圆六等分即可； （2）①作出线段AD的垂直平分线即可；②连接AB交线段AD的对称轴于点J，连接DJ，延长DJ交⊙O于点C，连接BC即可． 【解答】解：（1）如图1中，正六边形ABCDEF即为所求； （2）①如图2中，直线EF即为所求； ②如图3中，线段BC即为所求． 18．（2025•吉林一模）图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，⊙O经过格点A，B、C． （1）操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画⊙O的切线BE． 步骤三：图2中，点D为⊙O与网格线的交点，在⊙O上画点F，使F是的中点． （2）探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接PQ与⊙O交于点N，连接MN．直接写出MN的长． 【分析】（1）步骤一：在图1、图2、图3中连接BC，则BC中点即为圆心O． 步骤二：取圆心O右边4格的格点E，则，OE＝4，此时∠OBE＝90°，BE即为⊙O的切线． 步骤三：图2中，连接CD，根据C和D竖直方向距离2格得到CD与中间横线的交点即为线段CD中点H，连接OH并延长与⊙O交点即为F，根据垂径定理可得F是的中点． （2）①由图2可得，△POC是等腰直角三角形，则∠POC＝45°，∠DOC＝135°，根据F是的中点得到，再求出半径，即可求出的长度； ②连接BM，则B、C、M三点共线，设CM与PQ交于点G，连接GO，先证明△MGQ为等腰直角三角形，再在Rt△NOG中求出GN，最后在Rt△GMN中求出MN． 【解答】解：（1）圆心O，切线BE，使F是的中点，如图所示： （2）①由图2可得，△POC是等腰直角三角形，则∠POC＝45°， ∴∠DOC＝135°， ∵F是的中点， ∴， ∵半径， ∴的长度为； ②如图3，连接BM，则B、C、M三点共线，设CM与PQ交于点G，连接GO， 由图可得MP＝MQ＝6，，，， ∴CM⊥PQ， ∴， ∴． 19．（2025•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且⊙O经过格点P．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，在⊙O上找一点M，使点M与点A的距离最大； （2）在图②中，在⊙O上找一点N，使点N到AC的距离最小； （3）在图③中，过点B作⊙O的切线BH，点H为切点． 【分析】（1）作射线AO交⊙O于点M，点M即为所求； （2）取格点J，连接OJ交⊙O于点N，点N即为所求； （3）取格点H，作直线BH即可． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图②中，点N即为所求； （3）如图③中，直线BH即为所求． 20．（2025•铁东区校级模拟）图①、图②、图③均是7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上．△ABC内接于⊙O，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，标出△ABC的外接圆圆心O； （2）在图②中，作∠ADC，使得∠ADC与∠ABC互补，且点D为格点； （3）在图③中，过点P作⊙O的切线PE，点E为切点． 【分析】（1）根据网格的特点找到AB，BC的垂直平分线的交点O，即为所求； （2）根据，找到格点D，且D在AC的右侧，即可求解； （3）根据勾股定理分别求得PO，PE，OE，根据勾股定理的逆定理证明△POE是直角三角形，且∠PEO＝90°，即PE⊥EO，即可得出PE是⊙O的切线． 【解答】解：（1）如图所示，点O，即为所求； （2）如图所示，点D即为所求（答案不唯一）； （3）如图所示，PE即为所求； 由勾股定理可得： ，，， ∴PO2＝OE2+PE2， ∴△POE是直角三角形，且∠PEO＝90°，即PE⊥EO， 又OE是半径， ∴PE是⊙O的切线，点E为切点． 【类型3 尺规作图——作线段5题】 21．（2026•碑林区校级一模）如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，请用尺规作图法，在线段AC上求作一点D，使AD＝2CD．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作AB的垂直平分线，交AC于点D，利用线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，再结合含30°角的直角三角形的性质，推导出AD＝2CD． 【解答】解：如图，作AB的垂直平分线，交AC于点D， 如图，点D即为所求． 22．（2026•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，请用尺规作图的方法，在边AD的左侧求作一点P，使得PA＝PD，且PD∥AC．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作AD的垂直平分线MN，以AD为边，点D为顶点，在AD的左侧作∠ADP＝∠DAC，DP交MN于点P，点P即为所求． 【解答】解：在边AD的左侧求作一点P，使得PA＝PD，且PD∥AC，如图，点P即为所求， ． 23．（2026•雁塔区校级二模）如图，在锐角△ABC中，∠B＝45°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点D，使得AD+CD＝AB．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作BC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，则CD＝BD，故可得AB＝AD+BD＝AD+CD． 【解答】解：作BC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，则CD＝BD，如图，点D即为所作，使AD+CD＝AB． 24．（2026•延安一模）如图，有一块五边形模具ABCDE，现要在模具ABCDE内部设计一个孔Q，使得孔Q到AE边、DE边的距离相等，且孔Q到点A的距离与孔Q到点B的距离相等，请你找出孔Q的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】结合线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，作∠AED的平分线和线段AB的垂直平分线，两线相交于点Q，则点Q即为所求． 【解答】解：如图，先作∠AED的平分线，再作线段AB的垂直平分线，两线相交于点Q， 则点Q即为所求． 25．（2026•西安校级一模）如图，点A在⊙O外，求作⊙O的一条直径CD，使AC＝AD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】要作出⊙O的直径CD使AC＝AD，需利用线段垂直平分线的性质，延长AO交⊙O于E，F两点，作线段EF的垂直平分线即可． 【解答】解：延长AO交⊙O于E，F两点，作线段EF的垂直平分线，如图所示直径CD即为所求． 【类型4 尺规作图——作角5题】 26．（2025•浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 【分析】（1）作△ABC外接圆的圆心，则点D满足题意；设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'，则点D'满足题意． （2）延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则点E即为所求． 【解答】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点D，以点D为圆心，AD的长为半径画圆， 此时⊙D为△ABC的外接圆， ∴∠ADB＝2∠C， 则点D满足题意． 设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'， 此时∠AD'B＝∠ADB， 则点D'满足题意． （2）如图2，延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E， 可得∠AEB＝∠CAE， ∴∠ACB＝∠AEB+∠CAE＝2∠AEB， 则点E即为所求（答案不唯一）． 27．（2026•碑林区校级二模）如图，已知∠AOB＝90°，点C为边OB上一点，用尺规在∠AOB内部求作一点P，使得∠POC＝30°，且PO＝PC．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据“作垂直平分线”的尺规作图方法，作OC的垂直平分线EF，再以点O为圆心OC为半径作圆弧交EF于一点D，连接DC，则△OCD为等边三角形，则∠DOC＝60°，再根据角平分线的尺规作图方法，作∠DOC的角平分线，交DE于一点，即为点P． 【解答】解：EF是线段OC的垂直平分线，OD＝OC，OP是∠DOC的角平分线， 如图所示，点P即为所求． 28．（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD是矩形，请在矩形ABCD内找一点P，使PB＝PC，∠PAB＝45°．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作BT平分∠ABC，直线MN交BT于点P，连接PC，点P即为所求． 【解答】解：如图，点P即为所求． 29．（2025•仪征市校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″即可； （2）根据矩形性质和∠PEC＝∠DAP，可以证明△ABP∽△PCE，对应边成比例进而可得BP的长． 【解答】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″， 则点P′和P″即为所求； （2）∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠PEC＝∠DAP， ∴∠APB＝∠PEC， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 设BP′＝x，AB＝4，BC＝5， ∴P′C＝5﹣x， ∴， 解得x1＝1，x2＝4， ∴BP的长为1或4． 30．（2025•雁塔区校级四模）如图，已知在△ABC中，∠B＝40°．请利用尺规在边BC上求作一点P，使得∠BAP＝50°．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据垂线的作图的方法作AP⊥BC即可． 【解答】解：点P如图所示． 【类型5 尺规作图——作三角形5题】 31．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【分析】（1）先分别以O、M点为圆心，以OM长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作∠AOM和∠BOM的平分线OP、OQ，然后以M点为圆心，MO为半径画弧交OP、OQ于点N、N′，则点N、N′满足条件； （2）方法一：先过A点作AH⊥l于H点，再以点A、H为圆心，以AH长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件； 方法二：先过A点作AH⊥l于H点，再作AH得垂直平分线，接着以点A圆心，以AH长为半径画弧交AH得垂直平分线于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件． 【解答】解：（1）如图1，点N、N′为所作； （2）如图2、3，△ABC为所作． 32．（2025•高州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，∠ABC＞90°，点D在AC边上，将△ABD沿着BD折叠得△EBD，连接AE，CE． （1）用尺规作出△EBD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若∠ABD＝30°，CE＝3，连接BE，求∠BEC的度数． 【分析】（1）以D为圆心，AD长为半径画弧，以B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE即可； （2）依据折叠的性质即可得到△ABE是等边三角形，依据勾股定理的逆定理，即可得到△AEC是直角三角形，进而得出∠BEC的度数． 【解答】解：（1）如图所示，△EBD即为所求； （2）由折叠可得，∠ABE＝2∠ABD＝2×30°＝60°，AB＝EB， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， 又∵CE＝3，AB＝4，AC＝5， ∴CE2+AE2＝AC2， ∴△ACE是直角三角形，且∠AEC＝90°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°． 33．（2025•永寿县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．请用尺规作图法，在BC边上作出D，E两点，使得△AED为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】分别作AB，AC的垂直平分线，交BC于D、E，结合垂直平分线的性质根据“三个角相等的三角形是等边三角形”即可求解． 【解答】解：使得△AED为等边三角形的D，E两点，如图即为所求； 理由如下：作AB，AC的垂直平分线，交BC于D、E， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴， ∵D、E分别在AB，AC的垂直平分线上， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B＝30°，∠C＝∠CAE＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，同理：∠AED＝60°， ∴△ADE为等边三角形． 34．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝25°，请用尺规作图法，在AC的左侧找一点D，使得∠DAB＝50°，且△DAB是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】在AC的上方作∠TAC＝∠BAC＝25°，在射线AT上截取线段AD，使得AD＝AB即可． 【解答】解：如图，△ADB即为所求（AD＝AB，∠DAB＝50°）（答案不唯一）． 35．（2025•南京模拟）如图，已知∠α，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作出一个等腰三角形ABC，使其底角＝∠α，底边长＝a； （2）作出一个等腰三角形DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a． 【分析】（1）作∠EBK＝α，在射线BK上截取B，使得BC＝a，在CB的上方作∠FCB＝α，CF交BE一点A，△ABC即为所求； （2）在图1中，作AH平分∠BAC，如图2中，作MN⊥PQ垂足为O，在射线OP上截取OD，使得OD＝a，在OD 的左侧作∠EDO＝∠BAH，DE交OM一点E，在射线ON上截取OF，使得OF＝OE，连接DF，△DEF即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求； （2）如图2中，△DEF即为所求． 【类型6 尺规作图——作四边形5题】 36．（2026•周口模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线． （1）在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形ADCE是矩形． 【分析】（1）①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P； ③作射线AP交BC于点D； ④以点A为圆心，DC长为半径画弧，交AG于点E，则点D，E即为所求． （2）先由AB＝AC得出∠B＝∠ACB，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得AE∥CD，再结合AE＝CD，根据一组对边平行且相等证出四边形ADCE是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，即∠ADC＝90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明． 【解答】（1）解：如图，先利用尺规作角平分线的方法作出∠BAC的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点E，则点D，E即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． ∵AG是△ABC的外角∠FAC的平分线， ∴∠FAG＝∠GAC． ∵∠B+∠ACB＝∠FAG+∠GAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAG＝∠GAC， ∴AE∥CD． ∵AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， 由作图可知AD平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 37．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可； （2）利用勾股定理求出BD，再根据tan∠ADB，求出OE可得结论． 【解答】解：（1）正方形EFGH即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD2， ∴OB＝OD， ∵tan∠ADB， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴OE＝OH，EO⊥OH， ∴EHOE， ∴正方形EFGH的边长为． 38．（2025•郸城县一模）如图，已知△ABC． （1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作BC的垂直平分线PQ，PQ交AC于D； ②在直线PQ找一点E，使四边形DBEC是菱形． （2）若∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，求四边形DBEC的面积． 【分析】（1）①根据作垂直平分线的作图即可；②以点B为圆心，以BD为半径画弧，交PQ于点E即可； （2）由∠ACB的正弦求出BC＝8，再由菱形性质得，由∠ACB的正切求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，所作PQ即为线段BC的垂直平分线， （2）∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4， ∴， ∵四边形DBEC是菱形， ∴， ∴， ∴四边形DBEC的面积． 39．（2025•中山市三模）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）根据菱形的性质作出图形即可； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示； （2）设BD，AC交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝COAC＝3， ∵∠CAB＝30°， ∴BOAO＝3， ∴BD＝2BO＝6， ∴菱形ABCD的面积18． 40．（2026•西安校级二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】先作两条互相垂直的直径，再顺次连接即可． 【解答】解：如图： 正方形ABCD即为所求． 【类型7 尺规作图——作圆5题】 41．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中点． （1）求作⊙O：使圆心O在BC上，且⊙O经过B、D两点，与AB交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接DE，在（1）的条件下，求DE的长度． 【分析】（1）点O一定在线段BD的垂直平分线上，而圆心O在BC上，则点O为BD的中点，据此作线段BD的垂直平分线交BD于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧交AB于点E即可； （2）由（1）可知，BD为⊙O的直径，则∠DEB＝90°；由勾股定理可得AB的长，证明△DEB∽△ACB，得到，据此求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； 点O一定在线段BD的垂直平分线上，而圆心O在BC上，则点O为BD的中点，据此作线段BD的垂直平分线交BD于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧交AB于点E即可； （2）如图所示，连接DE， 由（1）可知，BD为⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°； ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴； ∵D是BC的中点， ∴； ∵∠DEB＝∠C＝90°，∠DBE＝∠ABC， ∴△DEB∽△ACB， ∴，即， ∴． 42．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O经过点B并且与边AC相切；（不写作法，保留痕迹） （2）D是边AB上一点（点D不与点B重合），若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是　 　 ． 【分析】（1）如图，作∠ABC的角平分线，交AC于E，过点E作AC的垂线交AB于O，以O为圆心，OB为半径画圆，则⊙O即为所求； （2）当⊙O1与AC相切时，利用勾股定理求出AB＝5，设O1B＝O1D＝x，根据O1E∥BC得出△AEO1∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出x的值，当点D与点A重合时，根据圆周角定理可得点C在⊙O2，即可得答案． 【解答】解：（1）如图，作∠ABC的角平分线，交AC于E，过点E作AC的垂线交AB于O，以O为圆心，OB为半径画圆，则⊙O即为所求． ∵点O是BE垂直平分线与AB的交点， ∴OB＝OE，点E在⊙O上， ∴∠OBE＝OEB， ∵∠OBE＝∠CBE， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴AC是⊙O的切线． （2）如图所示： 当⊙O1与AC相切时，⊙O1与AC有一个交点， ∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴， 设O1B＝O1D＝x，则BD＝2x， 由（1）可知，O1E∥BC， ∴△AEO1∽△ACB， ∴，即， 解得， ∴， 当点D与点A重合时， ∵∠C＝90°，AB为直径， ∴点C在⊙O2上，⊙O2与AC有两个交点，符合题意， ∴BD长的取值范围是， 故答案为：． 43．（2026•碑林区校级模拟）如图，已知△ABC，点P在BC边上，请用尺规作图法，求作⊙O，使圆心O在AB边上，且⊙O与BC边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】过点P作BC的垂线交AB于点O，再以点O为圆心，OP的长为半径画圆即可． 【解答】解：如图，过点P作BC的垂线交AB于点O，再以点O为圆心，OP的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． 44．（2025•高新区校级三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝5，BD＝2． （1）求证：BD⊥CD； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断AD是否为⊙O的切线，并说明理由． 【分析】（1）根据题意可证明△ABD∽△DBC，可得∠BDC＝∠A＝90°，即BD⊥CD． （2）作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可；连接OD，由题意得∠ABD＝∠CBD，∠OBD＝∠ODB，则∠ABD＝∠ODB，可得AB∥OD，进而可得∠ADO＝90°，从而可知AD是⊙O的切线． 【解答】（1）证明：∵AB＝4，BC＝5，BD， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD∽△DBC， ∴∠BDC＝∠A＝90°， 即BD⊥CD． （2）解：如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆， 则⊙O即为所求． AD是⊙O的切线． 理由：连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴AB∥OD． ∵∠A＝90°， ∴∠ADO＝90°， ∵OD为⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线． 45．（2025•洛江区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90° （1）求作⊙O分别与AC，BC相切，使得圆心O落在AB上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知OA＝1，OB＝2，求tanB的值． 【分析】（1）作∠ACB的平分线，交AB于点O，由角平分线的性质可知，以点O为圆心，OD为半径作圆O，则⊙O即为所求． （2）结合已知条件以及正方形的判定可知四边形CDOE为正方形，则OD＝OE，进而可得△AOD∽△OBE，则，设OD＝OE＝x，可得BE＝2x．在Rt△BOE中，由tanB可得答案． 【解答】解：（1）如图，作∠ACB的平分线，交AB于点O，过点O作AC的垂线OD，以点O为圆心，OD的长为半径画圆，交BC于点E， 此时⊙O分别与AC，BC相切于点D，E， 则圆O即为所求． （2）由（1）知，⊙O分别与AC，BC相切于点D，E， ∴OD＝OE，OD⊥AC，OE⊥BC， ∵∠C＝90°， ∴四边形CDOE为矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形CDOE为正方形， ∴OD＝OE，CD∥OE， ∴∠DAO＝∠EOB， ∵∠ADO＝∠OEB＝90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴， 设OD＝OE＝x， 则， ∴BE＝2x． 在Rt△BOE中，tanB． 【类型8 图形的变换——对称变换5题】 46．（2026•合肥校级三模）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（小正方形顶点称为格点），△ABC的三个顶点均在格点上，且顶点A的坐标为（﹣2，4）． （1）在所给的网格中建立平面直角坐标系，并写出△ABC其他两个顶点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． 【分析】（1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，进而可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示． 由图可得，B（﹣4，2），C（﹣3，0）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 47．（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）若A2（﹣2，﹣4）与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点B2坐标是 　 　 ； （3）求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由题意可知，点A2与点A关于x轴对称，再根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）∵A（﹣2，4），A2（﹣2，﹣4）， ∴点A2与点A关于x轴对称， ∴点B2坐标是（﹣4，﹣2）． 故答案为：（﹣4，﹣2）． （3）△A1B1C1的面积为4． 48．（2025•宁国市二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（﹣2，3），（1，3），（2，0）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）． （2）连接AB1，直接写出△AB1C的面积． （3）在（1）的条件下，在线段AC上找出点D，使得△AB1D的面积是△AB1C的面积的． 【分析】（1）分别作出△ABC关于x轴对称的对应点A1，B1，C1，再顺次连结得到△A1B1C1； （2）利用割补法求解即可； （3）根据三角形中线的意义，找出点D即可． 【解答】解：（1）如图所示，所作△A1B1C1即为所求； （2）S△AB1C； （3）如图，AC与y轴的交点D即为所求． 49．（2025•淮北校级三模）如图，同格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的每个顶点都在格点上． （1）将△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． （2）在平面直角坐标系中，△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A2B2C2． （3）请在x轴上找一点P，使PA+PC的长度最短． 【分析】（1）根据向左平移6个单位可得A1（﹣5，2），B1（﹣2，3），C1（﹣1，1），连接起来即可得解； （2）A，B，C关于原点的对称点为A2（﹣1，﹣2），B2（﹣4，﹣3），C2（﹣5，﹣1），把三点连接起来即可得解； （3）作C点关于x轴的对称点C′，连接AC′交x轴于点P即可． 【解答】解：（1）将△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A2B2C2，如图2即为所求； （3）如图3，作C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，即为所求， 则PC＝PC′， ∴PA+PC＝PA+PC′， ∵P，A，C′三点共线， ∴此时，PA+PC＝PA+PC′最短． 50．（2026•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是（﹣2，5）、（﹣4，2）、（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△A′B′C′； （3）借助网格，用无刻度直尺过点B作BH⊥AC，垂足为H． 【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （3）利用“横纵交换”实现垂直，注意坐标符号． 【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC的中心对称图形△A′B′C′，如图2即为所求； （3）如图所示，BH⊥AC． 【类型9 图形的变换——平移变换5题】 51．（2025•安徽模拟）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，△ABC位置如图所示，且A（﹣4，5），B（﹣6，2）． （1）画出平面直角坐标系xOy，写出点C的坐标； （2）平移△ABC，使点C移动到点F（6，﹣4）． ①画出平移后的△DEF，其中点D与点A对应（不写画法）； ②若点P（m，n）在△ABC内，其平移后的对应点为P′，写出P′的坐标． 【分析】（1）根据点A（﹣4，5），B（﹣6，2）的坐标确定坐标系，由坐标系的特点可写出点C的坐标； （2）①根据图形平移的方法作图即可； ②根据点平移规律“左减右加”即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系； ∴点C的坐标（﹣2，3）； （2）已知点C（﹣2，3），平移到点F（6，﹣4）， ∴右移8个单位，下移7个单位， ①如图所示，△DEF即为所求； ②P′的坐标为（m+8，n﹣7）． 52．（2025•西安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（﹣2，2）．现将△ABC平移，使点A与点A′重合，点B、C的对应点分别是点B′、C′． （1）请画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′的坐标 　 ； （2）点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A′B′C′后，若点P的对应点P′的坐标为（a，b），则点P的坐标为 　 　 ． 【分析】（1）先根据题意求出平移方向，从而求出B′，C′的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A′的坐标是（﹣2，2），点A的坐标是（3，4）， ∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点B的坐标是（1，3），点C的坐标是（4，1）， ∴点B′的坐标是（﹣4，1），点C′的坐标是（﹣1，﹣1）， ∴平移后的△A′B′C′如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点P的对应点P′的坐标为（a，b）， ∴点P的坐标为（a+5，b+2）； 53．（2025•渠县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A'的坐标是（﹣1，2）．现将△ABC平移，使点A与点A'重合，点B、C的对应点分别是点B'，C'． （1）请画出平移后的△A'B'C'，并写出点B'的坐标 　 　 ； （2）若点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A'B'C'后，其对应点P'的坐标为（a，b），则点P的坐标为 　 　 ； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）由题意知，△ABC向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到△A'B'C'， 如图，△A'B'C'即为所求． 由图可得，点B'的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （2）∵△ABC向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，对应点P'的坐标为（a，b）， ∴点P的坐标为（a+2，b+3）． 故答案为：（a+2，b+3）． （3）△ABC的面积为． 54．（2025•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（2，1），C（5，﹣1）．将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形DEF，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． （1）在图中画出三角形DEF； （2）求三角形ABC的面积； （3）若三角形ABC内一点P经过上述平移后的对应点为Q（m，n），直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）平移平移变换的性质判断即可． 【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求； （2）△ABC的面积＝3×51×32×52×3＝5.5； （3）由题意，P（m+5，n+4）． 55．（2025•马鞍山模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，3）． （1）将△ABC各顶点的横、纵坐标都乘﹣1，得到点A1，B1，C1的坐标，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．请直接写出点A1，B1，C1的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出△A1B1C1． （2）将△ABC向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2．请在如图所示的平面直角坐标系中画出△A2B2C2，并直接写出BC边扫过的面积． （3）将△A1B1C1绕点P顺时针旋转180°可以得到△A2B2C2，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据题意可得点A1，B1，C1的坐标，再描点连线即可． （2）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （3）连接A1A2，B1B2，C1C2相交于点P，可知点P为C1C2的中点，进而可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，A1（3，﹣4），B1（4，﹣1），C1（1，﹣3）． 如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． BC边扫过的面积为3×3+2×2＝9+4＝13． （3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点P， 则点P即为所求， 可知点P为C1C2的中点， ∴点P的坐标为（），即（1，）． 【类型10 图形的变换——旋转变换5题】 56．（2026•顺城区一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题： （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标； （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长． 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的定义作出三顶点绕原点O逆时针旋转90°后得到的对应点，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1如图所示： 点C1的坐标为（1，﹣3）． （2）△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2如图所示： ∵OA， ∴点A经过的路径长为π． 57．（2026•柳州一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，在网格中画出旋转后对应的△AB2C2，并求出此过程中线段AC扫过的面积．（结果保留π） 【分析】（1）分别作出三角形关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的图形，再求出扫过的面积． 【解答】解：（1）与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）△ABC绕点A顺时针旋转90°后对应的△AB2C2，如图2即为所求； ∴， ∴． 58．（2026•沁阳市模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）． （1）作出与△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标． （2）画出△A1B1C1绕点（1，0）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，并写出A2的坐标． （3）在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出△A1B1C1，进而写出点C1的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出△A2B2C2，进而写出点A2的坐标即可； （3）利用勾股定理和弧长公式进行求解即可． 【解答】解：（1）△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可知：C1（﹣3，4）； （2）△A1B1C1绕点（1，0）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，如图即为所求； 由图可知：A2（2，3）； （3）由勾股定理得， ∴点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长． 59．（2025•凉州区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1； （2）若P（a，b）是△ABC内部的任意一点，则其在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为 　 　 ； （3）画出△ABC关于点C成中心对称的△A2B2C． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据（1）的结论写出点P1的坐标即可； （3）先找出△ABC的顶点关于点C成中心对称的位置，然后再顺次连接即可得出答案． 【解答】解：（1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，如图1即为所求； （2）若P（a，b）是△ABC内部的任意一点，则其在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为（﹣b，a）； 故答案为：（﹣b，a）； （3）△ABC关于点C成中心对称的△A2B2C，如图2即为所求． 60．（2025•张掖模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向右平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（点A1与点A对应，点B1与点B对应） （2）以点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（点A2与点A对应，点B2与点B对应） （3）求四边形AA1B1B的面积． 【分析】（1）根据平移的性质可作△A1B1C1； （2）根据旋转的性质可作△A2B2C2； （3）利用割补法求解，即用矩形面积减去四个直角三角形的面积求解． 【解答】解：（1）如图，根据平移的性质得△A1B1C1即为所求作； （2）如图，根据旋转的性质可得△A2B2C2即为所求作； （3）． 【类型11 图形的变换——位似变换5题】 61．（2026•罗湖区模拟）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）． （1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1； （3）直接写出△OA1B1的面积． 【分析】（1）按要求把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE即可； （2）按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）△ODE即为所求； （2）△OA1B1即为所求； （3）△OA1B1的面积为． 62．（2025•埇桥区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣1，3），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）以O点为位似中心，在原点O的异侧画出与△A1B1C1位似，且位似比为2的位似图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）若点M（a，b）为△ABC边上的一点，写出经过第（1）、（2）两题的变换后对应点M2的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． （3）结合轴对称的性质、位似的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，点C2的坐标为（﹣4，﹣2）． （3）经过（1）题变换后点M（a，b）的对应点M1的坐标为（﹣a，b）， 经过（2）题变换后点M1的对应点M2的坐标为（2a，﹣2b）． 63．（2025•山亭区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）△ABC外接圆的圆心坐标为 　 　 ，外接圆⊙P的半径是 　 　 ． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为 　 　 ． 【分析】（1）线段AB，BC的垂直平分线的交点即为所求； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可，再利用位似变换的性质求出P1坐标． 【解答】解：（1）如图，⊙P即为△ABC的外接圆，P（0，﹣2），PA2； 故答案为：（0，﹣2），； （2）如图，△A1B1C1即为所求，P1（a，b）． 故答案为： 64．（2025•宣城一模）如图，△ABC是平面直角坐标系xOy中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点A为（2，3）． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）以点O为位似中心，在给定的网格里作△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1位似，其中点A2的坐标为（﹣4，6），并求出△A1B1C1与△A2B2C2的位似比． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；、 （2）利用位似变换的性质求出B1，C1的对应点B2，C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1（2，﹣3），B1（1，﹣2），C1（3，﹣1）； （2）如图，△A2B2C2即为所求，△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为1：2． 65．（2025•新抚区模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OA1B1，使它与△OAB相似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2； （3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可； （2）利用平移变换的性质分别作出O，A，B的对应点O2，A2，B2即可； （3）利用位似变换的定义判断即可． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求； （2）如图，△O2A2B2即为所求； （3）是位似图形，位似中心M的坐标（﹣4，2）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 作图题11大类型专练（举一反三综合训练） 【全国通用】 【类型1 网格作图——与三角形有关10题】 1 【类型2 网格作图——与圆有关10题】 6 【类型3 尺规作图——作线段5题】 10 【类型4 尺规作图——作角5题】 12 【类型5 尺规作图——作三角形5题】 13 【类型6 尺规作图——作四边形5题】 15 【类型7 尺规作图——作圆5题】 16 【类型8 图形的变换——对称变换5题】 18 【类型9 图形的变换——平移变换5题】 20 【类型10 图形的变换——旋转变换5题】 23 【类型11 图形的变换——位似变换5题】 25 【类型1 网格作图——与三角形有关10题】 1．（2026•哈尔滨模拟）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图1中，在线段AB上找到一点E，使； （2）在图2中，画出一个以A、B、C为顶点的三角形，且cos∠BAC． 2．（2025•九台区二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC、△DEF、△GHI的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中△ABC的边AB上确定一点M，使CM⊥AB． （2）在图②中△DEF 的边DE上确定一点N，连结FN，使FN＝DN． （3）在图③中先确定线段GI的中点P，再在△GHI的边GH上确定一点Q，点Q不与点G重合，连结PQ，使PI＝PQ． 3．（2025•长沙模拟）如图1、图2、图3均是由边长均为1的小正方形组成的4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图1找到一个格点D，连结DA，DC，使四边形ABCD为平行四边形； （2）在图2中，在边AC上确定一点P，使得PA＝PC； （3）在图3中，在边AC上确定一点E，在边BC上确定一点F，连接EF，使EF垂直平分BC． 4．（2025•长春）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． 5．（2025•临川区一模）如图，这是5×5的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，在AB上作点D，AC上作点E，连接DE，使得DE∥BC，且； （2）如图2，在AB上作点F，AC上作点G，连接FG，使得FG∥BC，且． 6．（2025•浔阳区校级一模）如图是6×6的正方形网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段DE∥BC，点D，E分别在AC，AB上且； （2）如图2，在△ABC的边AC上找一点F，使∠ABF＝45°． 7．（2025•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出△ABC中AB边上的中线CD； （2）在图②中的AC边上找到一点E，使tan∠EBC＝1； （3）在图③中的BC边上找到一点F，连接AF，使． 8．（2025•鼓楼区校级二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出BC边上的高AD； （2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4； （3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF． 9．（2025•南关区校级模拟）图①，图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点A、B、C和点D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边BC上找一格点E，连接DE，使∠DEB＝∠B； （2）在图②中的△ABC外部找一个格点F，画四边形BFCD，使该四边形对角互补； （3）在图③中的△ABC外部找一个格点G，画四边形ADCG，使该四边形被对角线DG分得的两个三角形均是等腰三角形． 10．（2025•杭州模拟）网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 【类型2 网格作图——与圆有关10题】 11．（2025•朝阳区二模）如图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，⊙O的圆心O和弦AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为边画⊙O的内接正方形ABCD． （2）在图②中画圆周角∠AEB＝135°，且点E在格点上． （3）在图②中以点B为切点画⊙O的切线BF，且点F在格点上． 12．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 13．（2025•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点O、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，⊙O的半径为，过点P作⊙O的切线； （2）在图②中，⊙O的半径为2，过点P作⊙O的两条切线； （3）在图②中，⊙O的半径为2，过点P作⊙O的两条切线． 14．（2025•朝阳区校级四模）如图是由边长为1的小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心O． （2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得DE是圆上最长的弦． （3）在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦PQ，使得PQ＝AM． 15．（2025•白山模拟）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，⊙O经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹； （1）在图1中，在圆上找一点D，使得BD＝AC； （2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧BP的中点． 16．（2025•南关区校级模拟）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫格点，⊙O经过A、B两个格点．以及格线上的点C，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图． （1）如图1，过点O作AB的垂线； （2）如图2，过点C作弦CD∥AB． 17．（2025•朝阳区校级一模）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出⊙O的内接正六边形ABCDEF，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，⊙O经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作AD的垂线，交⊙O于EF； ②如图3，点B在⊙O上，过点B作弦BC∥AD． 18．（2025•吉林一模）图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，⊙O经过格点A，B、C． （1）操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画⊙O的切线BE． 步骤三：图2中，点D为⊙O与网格线的交点，在⊙O上画点F，使F是的中点． （2）探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接PQ与⊙O交于点N，连接MN．直接写出MN的长． 19．（2025•朝阳区校级模拟）图①、图②、图③是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且⊙O经过格点P．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，在⊙O上找一点M，使点M与点A的距离最大； （2）在图②中，在⊙O上找一点N，使点N到AC的距离最小； （3）在图③中，过点B作⊙O的切线BH，点H为切点． 20．（2025•铁东区校级模拟）图①、图②、图③均是7×7的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上．△ABC内接于⊙O，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，标出△ABC的外接圆圆心O； （2）在图②中，作∠ADC，使得∠ADC与∠ABC互补，且点D为格点； （3）在图③中，过点P作⊙O的切线PE，点E为切点． 【类型3 尺规作图——作线段5题】 21．（2026•碑林区校级一模）如图，已知△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，请用尺规作图法，在线段AC上求作一点D，使AD＝2CD．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（2026•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，请用尺规作图的方法，在边AD的左侧求作一点P，使得PA＝PD，且PD∥AC．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（2026•雁塔区校级二模）如图，在锐角△ABC中，∠B＝45°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点D，使得AD+CD＝AB．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（2026•延安一模）如图，有一块五边形模具ABCDE，现要在模具ABCDE内部设计一个孔Q，使得孔Q到AE边、DE边的距离相等，且孔Q到点A的距离与孔Q到点B的距离相等，请你找出孔Q的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 25．（2026•西安校级一模）如图，点A在⊙O外，求作⊙O的一条直径CD，使AC＝AD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【类型4 尺规作图——作角5题】 26．（2025•浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 27．（2026•碑林区校级二模）如图，已知∠AOB＝90°，点C为边OB上一点，用尺规在∠AOB内部求作一点P，使得∠POC＝30°，且PO＝PC．（保留作图痕迹，不写作法） 28．（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD是矩形，请在矩形ABCD内找一点P，使PB＝PC，∠PAB＝45°．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 29．（2025•仪征市校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 30．（2025•雁塔区校级四模）如图，已知在△ABC中，∠B＝40°．请利用尺规在边BC上求作一点P，使得∠BAP＝50°．（保留作图痕迹，不写作法） 【类型5 尺规作图——作三角形5题】 31．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 32．（2025•高州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，∠ABC＞90°，点D在AC边上，将△ABD沿着BD折叠得△EBD，连接AE，CE． （1）用尺规作出△EBD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若∠ABD＝30°，CE＝3，连接BE，求∠BEC的度数． 33．（2025•永寿县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°．请用尺规作图法，在BC边上作出D，E两点，使得△AED为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 34．（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝25°，请用尺规作图法，在AC的左侧找一点D，使得∠DAB＝50°，且△DAB是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 35．（2025•南京模拟）如图，已知∠α，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作出一个等腰三角形ABC，使其底角＝∠α，底边长＝a； （2）作出一个等腰三角形DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a． 【类型6 尺规作图——作四边形5题】 36．（2026•周口模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线． （1）在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形ADCE是矩形． 37．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 38．（2025•郸城县一模）如图，已知△ABC． （1）按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作BC的垂直平分线PQ，PQ交AC于D； ②在直线PQ找一点E，使四边形DBEC是菱形． （2）若∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，求四边形DBEC的面积． 39．（2025•中山市三模）如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，点B在射线AE上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，∠CAB＝30°，求菱形ABCD的面积． 40．（2026•西安校级二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【类型7 尺规作图——作圆5题】 41．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中点． （1）求作⊙O：使圆心O在BC上，且⊙O经过B、D两点，与AB交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接DE，在（1）的条件下，求DE的长度． 42．（2026•南京一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O经过点B并且与边AC相切；（不写作法，保留痕迹） （2）D是边AB上一点（点D不与点B重合），若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是　 　 ． 43．（2026•碑林区校级模拟）如图，已知△ABC，点P在BC边上，请用尺规作图法，求作⊙O，使圆心O在AB边上，且⊙O与BC边相切于点P．（保留作图痕迹，不写作法） 44．（2025•高新区校级三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝5，BD＝2． （1）求证：BD⊥CD； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断AD是否为⊙O的切线，并说明理由． 45．（2025•洛江区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90° （1）求作⊙O分别与AC，BC相切，使得圆心O落在AB上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知OA＝1，OB＝2，求tanB的值． 【类型8 图形的变换——对称变换5题】 46．（2026•合肥校级三模）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（小正方形顶点称为格点），△ABC的三个顶点均在格点上，且顶点A的坐标为（﹣2，4）． （1）在所给的网格中建立平面直角坐标系，并写出△ABC其他两个顶点的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． 47．（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）若A2（﹣2，﹣4）与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点B2坐标是 　 　 ； （3）求△A1B1C1的面积． 48．（2025•宁国市二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（﹣2，3），（1，3），（2，0）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）． （2）连接AB1，直接写出△AB1C的面积． （3）在（1）的条件下，在线段AC上找出点D，使得△AB1D的面积是△AB1C的面积的． 49．（2025•淮北校级三模）如图，同格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的每个顶点都在格点上． （1）将△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． （2）在平面直角坐标系中，△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A2B2C2． （3）请在x轴上找一点P，使PA+PC的长度最短． 50．（2026•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是（﹣2，5）、（﹣4，2）、（﹣1，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△A′B′C′； （3）借助网格，用无刻度直尺过点B作BH⊥AC，垂足为H． 【类型9 图形的变换——平移变换5题】 51．（2025•安徽模拟）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，△ABC位置如图所示，且A（﹣4，5），B（﹣6，2）． （1）画出平面直角坐标系xOy，写出点C的坐标； （2）平移△ABC，使点C移动到点F（6，﹣4）． ①画出平移后的△DEF，其中点D与点A对应（不写画法）； ②若点P（m，n）在△ABC内，其平移后的对应点为P′，写出P′的坐标． 52．（2025•西安模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（﹣2，2）．现将△ABC平移，使点A与点A′重合，点B、C的对应点分别是点B′、C′． （1）请画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′的坐标 　 ； （2）点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A′B′C′后，若点P的对应点P′的坐标为（a，b），则点P的坐标为 　 　 ． 53．（2025•渠县校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A'的坐标是（﹣1，2）．现将△ABC平移，使点A与点A'重合，点B、C的对应点分别是点B'，C'． （1）请画出平移后的△A'B'C'，并写出点B'的坐标 　 　 ； （2）若点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A'B'C'后，其对应点P'的坐标为（a，b），则点P的坐标为 　 　 ； （3）求△ABC的面积． 54．（2025•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（3，4），B（2，1），C（5，﹣1）．将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形DEF，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． （1）在图中画出三角形DEF； （2）求三角形ABC的面积； （3）若三角形ABC内一点P经过上述平移后的对应点为Q（m，n），直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）． 55．（2025•马鞍山模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，3）． （1）将△ABC各顶点的横、纵坐标都乘﹣1，得到点A1，B1，C1的坐标，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．请直接写出点A1，B1，C1的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出△A1B1C1． （2）将△ABC向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2．请在如图所示的平面直角坐标系中画出△A2B2C2，并直接写出BC边扫过的面积． （3）将△A1B1C1绕点P顺时针旋转180°可以得到△A2B2C2，请直接写出点P的坐标． 【类型10 图形的变换——旋转变换5题】 56．（2026•顺城区一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题： （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标； （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长． 57．（2026•柳州一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，在网格中画出旋转后对应的△AB2C2，并求出此过程中线段AC扫过的面积．（结果保留π） 58．（2026•沁阳市模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）． （1）作出与△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标． （2）画出△A1B1C1绕点（1，0）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，并写出A2的坐标． （3）在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 59．（2025•凉州区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1； （2）若P（a，b）是△ABC内部的任意一点，则其在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为 　 　 ； （3）画出△ABC关于点C成中心对称的△A2B2C． 60．（2025•张掖模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向右平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（点A1与点A对应，点B1与点B对应） （2）以点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（点A2与点A对应，点B2与点B对应） （3）求四边形AA1B1B的面积． 【类型11 图形的变换——位似变换5题】 61．（2026•罗湖区模拟）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为（3，0），（2，2）． （1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1； （3）直接写出△OA1B1的面积． 62．（2025•埇桥区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（﹣1，3），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）以O点为位似中心，在原点O的异侧画出与△A1B1C1位似，且位似比为2的位似图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）若点M（a，b）为△ABC边上的一点，写出经过第（1）、（2）两题的变换后对应点M2的坐标． 63．（2025•山亭区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）△ABC外接圆的圆心坐标为 　 　 ，外接圆⊙P的半径是 　 　 ． （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的得到△A1B1C1，请在y轴左侧画出△A1B1C1；点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为 　 　 ． 64．（2025•宣城一模）如图，△ABC是平面直角坐标系xOy中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点A为（2，3）． （1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）以点O为位似中心，在给定的网格里作△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1位似，其中点A2的坐标为（﹣4，6），并求出△A1B1C1与△A2B2C2的位似比． 65．（2025•新抚区模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OA1B1，使它与△OAB相似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2； （3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标；若不是，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $