第4讲 长方形、正方形的周长-五年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第4讲 长方形、正方形的周长 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、长方形、正方形周长解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：基本周长计算 2 📌 考点二：不规则图形周长 2 📌 考点三：复杂周长问题 3 ⚠️ 易错避坑指南 5 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 6 一、基础夯实篇（共8题） 6 二、能力进阶篇（共7题） 6 三、思维跃迁篇（共5题） 7 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 9 一、基础夯实篇（共8题） 9 二、能力进阶篇（共7题） 10 三、思维跃迁篇（共5题） 13 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 长方形和正方形的周长问题是小学奥数几何模块的基础内容，围绕【周长=边长之和】的基本关系展开。核心是理解周长的概念、掌握周长计算公式，以及灵活运用平移、拼接等方法解决不规则图形的周长问题。需精准掌握以下核心要素： 核心要素 符号 定义 关键公式 周长 C 封闭图形一周的长度 C = (长+宽)×2 或 C = 边长×4 长方形长 a 长方形较长的边 a = C÷2 - b 长方形宽 b 长方形较短的边 b = C÷2 - a 正方形边长 s 正方形每条边的长度 s = C÷4 长宽和 a+b 长方形长与宽的和 a+b = C÷2 二、长方形、正方形周长解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键公式/步骤 记忆技巧 基本公式法 直接套用周长公式 C=(a+b)×2 或 C=4s 长方形乘2，正方形乘4 逆向求边长 已知周长求边长 a=C÷2-b, s=C÷4 周长先除以2或4 平移法 将不规则图形转化为规则图形 平移后按规则图形计算 凹凸部分平移补齐 拼接法 分析拼接后边长变化 注意重合边不计入周长 重合边要减去 三、奥数思维提升 1．转化思想：将不规则图形通过平移转化为规则图形计算周长 2．对应思想：明确周长与各边长的对应关系，建立数学模型 3．整体思想：将拼接图形的周长看作整体，分析重合边的影响 4．逆向思维：从周长反推边长，培养逆向思考能力 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：基本周长计算 ✨ 典型例题 1（基础型——基本公式应用） 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的周长是多少厘米？ 解题步骤： ①　长方形周长公式：C = (长+宽)×2 ②　代入数据：C = (12+8)×2 ③　计算：C = 20×2 = 40（厘米） 【答案】40厘米 【知识点睛】长方形周长公式：C=(a+b)×2，关键是找准长和宽。 ✨ 典型例题 2（提高型——逆向求边长） 一个正方形的周长是36厘米，它的边长是多少厘米？ 解题步骤： ①　正方形周长公式：C = 边长×4 ②　逆向推导：边长 = C÷4 ③　代入数据：边长 = 36÷4 = 9（厘米） 【答案】9厘米 【知识点睛】已知周长求边长，正方形边长=周长÷4，长方形长（宽）=周长÷2-宽（长）。 📌 考点二：不规则图形周长 ✨ 典型例题 3（综合型——平移法求周长） 求下面图形的周长。（单位：厘米）图形描述：一个L形图形，外轮廓长10cm、宽8cm，内凹处长3cm、宽2cm 解题步骤： ①　使用平移法，将内凹部分平移出来 ②　平移后形成一个完整的长方形，长10cm，宽8cm ③　周长 = (10+8)×2 = 36（厘米） 【答案】36厘米 【知识点睛】不规则图形用平移法转化为规则图形，注意平移后边长不变。 ✨ 典型例题 4（技巧型——拼接图形周长） 两个边长为5厘米的正方形拼成一个长方形，求拼成的长方形的周长。 解题步骤： ①　拼接后长方形的长 = 5+5 = 10（厘米） ②　拼接后长方形的宽 = 5（厘米） ③　注意：拼接时重合的两条边不计入周长 ④　周长 = (10+5)×2 = 30（厘米） 【答案】30厘米 【知识点睛】拼接图形要注意重合边，两个正方形拼接后减少了两条边长。 📌 考点三：复杂周长问题 ✨ 典型例题 5（综合型——多图形组合） 将一个长15厘米、宽10厘米的长方形和一个边长为8厘米的正方形拼接在一起（长边与正方形一边重合），求组合图形的周长。 解题步骤： ①　分析拼接方式：长方形的长边（15cm）与正方形边（8cm）重合 ②　重合部分为8cm，剩余长方形部分：15-8=7cm ③　组合图形的外轮廓需要分段计算 ④　上边：7+8=15cm，下边：15cm ⑤　左边：10cm，右边：10cm ⑥　中间竖边：8cm（两段） ⑦　周长 = 15+15+10+10+8+8 = 66（厘米） 【答案】66厘米 【知识点睛】复杂拼接要画出图形，分段计算外轮廓，注意重合边的处理。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 混淆周长与面积概念 错误示例：求边长为6厘米的正方形的周长，答案写成36平方厘米。 正确分析：周长是长度，单位是厘米；面积是表面大小，单位是平方厘米。正方形周长=6×4=24厘米。 ❌ 拼接图形忘记减去重合边 错误示例：两个边长为4厘米的正方形拼成长方形，周长计算为4×4×2=32厘米。 正确分析：拼接后重合的两条边（各4cm）不再属于外周长，应减去。正确计算：(8+4)×2=24厘米。 ❌ 平移法使用不当 错误示例：用平移法求凹字形周长时，忘记平移后内部的线段。 正确分析：平移法只平移外轮廓，内部凹进去的线段仍然要计入周长。正确做法是平移后检查所有外边界。 ❌ 单位不统一 错误示例：长2分米、宽15厘米的长方形，周长计算为(2+15)×2=34厘米。 正确分析：计算前要先统一单位。2分米=20厘米，周长=(20+15)×2=70厘米。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实·能力进阶·思维跃迁 一、基础夯实篇（共8题） 1．一个长方形长18厘米，宽12厘米，它的周长是（ ）厘米。 2．一个正方形周长是48厘米，它的边长是（ ）厘米。 3．一个长方形周长是30厘米，长是10厘米，宽是（ ）厘米。 4．用一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，边长是（ ）厘米。 5．一个长方形长是宽的2倍，宽是5厘米，周长是（ ）厘米。 6．两个边长为3厘米的正方形拼成一个长方形，周长是（ ）厘米。 7．一个长方形长15厘米，比宽长3厘米，周长是（ ）厘米。 8．正方形的边长增加2厘米，周长增加（ ）厘米。 二、能力进阶篇（共7题） 9．一个长方形菜地，长25米，宽18米，一边靠墙，最少需要多长的篱笆？ 10．把一个长12厘米、宽8厘米的长方形剪成两个相同的长方形，每个小长方形的周长是多少？ 11．用两个长10厘米、宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，怎样拼周长最短？最短是多少？ 12．求下面图形的周长。 13．一个正方形被分成3个相同的长方形，每个长方形周长是24厘米，求正方形周长。 14．把3个边长为5厘米的正方形拼成一个长方形，周长比原来3个正方形周长之和减少了多少？ 15．一个长方形，如果长减少3厘米，宽增加3厘米，正好变成一个正方形，且周长不变。已知正方形周长是40厘米，求原长方形的长和宽。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的图形，求它的周长。 17．一个大正方形内有一个小正方形，大正方形边长12厘米，小正方形边长4厘米，且小正方形的一个顶点在大正方形的中心，求阴影部分的周长。 18．一个长方形纸片，长30厘米，宽20厘米，先剪去一个最大的正方形，再从剩下的长方形中剪去一个最大的正方形，求最后剩下图形的周长。 19．将边长分别为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的四个正方形按顺序排列，求组合图形的外周长。 20．一个复杂图形由多个长方形组成，外轮廓水平总长50厘米，垂直总高30厘米，求图形周长。 🔍 精准解析—思路拆解·知识点睛 一、基础夯实篇（共8题） 1．【答案】60厘米 解题步骤： ①　周长 = (18+12)×2 = 30×2 = 60（厘米） 【知识点睛】长方形周长公式C=(a+b)×2，直接代入计算。 2．【答案】12厘米 解题步骤： ①　边长 = 48÷4 = 12（厘米） 【知识点睛】正方形边长=周长÷4，逆向运用公式。 3．【答案】5厘米 解题步骤： ①　长+宽 = 30÷2 = 15（厘米） ②　宽 = 15-10 = 5（厘米） 【知识点睛】先求长宽之和，再减去长得到宽。 4．【答案】9厘米 解题步骤： ①　边长 = 36÷4 = 9（厘米） 【知识点睛】铁丝长度就是周长，正方形边长=周长÷4。 5．【答案】30厘米 解题步骤： ①　长 = 5×2 = 10（厘米） ②　周长 = (10+5)×2 = 30（厘米） 【知识点睛】先根据倍数关系求出长，再计算周长。 6．【答案】18厘米 解题步骤： ①　拼成长方形的长 = 3+3 = 6（厘米） ②　宽 = 3（厘米） ③　周长 = (6+3)×2 = 18（厘米） 【知识点睛】两个正方形拼接，重合边不计入周长，长方形周长比两个正方形周长之和少2个边长。 7．【答案】54厘米 解题步骤： ①　宽 = 15-3 = 12（厘米） ②　周长 = (15+12)×2 = 54（厘米） 【知识点睛】先根据长宽关系求出宽，再计算周长。 8．【答案】8厘米 解题步骤： ①　正方形有4条边，每条边增加2厘米 ②　周长增加 = 2×4 = 8（厘米） 【知识点睛】正方形边长增加a，周长增加4a；长方形长增加a、宽增加b，周长增加2(a+b)。 二、能力进阶篇（共7题） 9．【答案】61米 解题步骤： ①　要使篱笆最少，应该让长边靠墙 ②　篱笆长度 = 长 + 宽×2 = 25 + 18×2 = 25 + 36 = 61（米） 【知识点睛】一边靠墙问题，让长边靠墙用的篱笆最少，篱笆长度=长+宽×2。 10．【答案】32厘米或28厘米 解题步骤： ①　沿长边剪开：小长方形长12cm，宽4cm，周长=(12+4)×2=32（厘米） ②　沿宽边剪开：小长方形长6cm，宽8cm，周长=(6+8)×2=28（厘米） 【知识点睛】剪开方式不同，得到的小长方形尺寸不同，周长也不同。 11．【答案】长边重合拼，周长最短为 44 厘米 解题步骤： ① 方式一：长边重合，拼成的长方形长 = 10 厘米，宽 = 6+6=12 厘米，周长 =(10+12)×2=44（厘米） ② 方式二：宽边重合，拼成的长方形长 = 10+10=20 厘米，宽 = 6 厘米，周长 =(20+6)×2=52（厘米） ③ 44 < 52，所以长边重合周长最短，为 44 厘米 【知识点睛】两个长方形拼接，重合边越长，剩下外周长越短。 12．【答案】40厘米 解题步骤： ①　使用平移法，将阶梯状图形的水平线段向上平移，竖直线段向右平移 ②　平移后形成一个长方形，长=3×4=12（厘米），宽=2×4=8（厘米） ③　周长=(12+8)×2=40（厘米） 【知识点睛】阶梯状图形用平移法转化为规则长方形，平移后周长不变。 13．【答案】36厘米 解题步骤： ①　设正方形边长为a，则每个长方形的长为a，宽为a÷3 ②　长方形周长=(a+a÷3)×2=24，解得a=9（厘米） ③　正方形周长=9×4=36（厘米） 【知识点睛】正方形分成3个相同长方形，长方形的长是宽的3倍，也是正方形的边长。 14．【答案】20厘米 解题步骤： ①　3个正方形周长之和=5×4×3=60（厘米） ②　拼成长方形后，重合了4条边（每拼接一次重合2条边，共拼接2次） ③　减少的周长=5×4=20（厘米） 【知识点睛】3个正方形拼成长方形，拼接2次，每次重合2条边，共减少4条边长。 15．【答案】长13厘米，宽7厘米 解题步骤： ①　正方形边长=40÷4=10（厘米） ②　原长方形长=10+3=13（厘米） ③　原长方形宽=10-3=7（厘米） 【知识点睛】周长不变说明变化前后周长相等，先求正方形边长，再反推原长方形的长和宽。 三、思维跃迁篇（共5题） 16．【答案】24厘米 解题步骤： ①　使用平移法，将阶梯状图形的水平线段和竖直线段分别平移 ②　平移后形成一个正方形，长=2×3=6（厘米），宽=2×3=6（厘米） ③　周长=6×4=24（厘米） 【知识点睛】6个正方形组成的阶梯状图形，平移后转化为正方形计算周长。 17．【答案】48厘米 解题步骤： ① 小正方形一个顶点在大正方形中心，无论小正方形如何旋转，阴影部分的外轮廓最终可通过平移转化为大正方形的轮廓； ② 阴影部分的所有边平移后恰好与大正方形的四条边重合，因此阴影部分周长等于大正方形周长； ③ 大正方形周长 = 12×4=48（厘米） 【知识点睛】利用平移法分析含中心旋转小正方形的复杂图形，阴影部分外轮廓与大正方形一致时，周长相等。 18．【答案】40厘米 解题步骤： ①　第一次剪去最大正方形，边长20厘米，剩下长方形10×20 ②　第二次剪去最大正方形，边长10厘米，剩下长方形10×10 ③　最后剩下的是边长10厘米的正方形 ④　周长=10×4=40（厘米） 【知识点睛】连续剪去最大正方形，每次剪去的正方形边长等于当前长方形的宽。 19．【答案】32厘米 解题步骤： ① 四个正方形小到大一边重合排列，用平移法将水平线段上下平移、竖直线段左右平移，外轮廓可转化为 “大长方形 + 阶梯侧边补充”； ② 基础长方形：长 = 1+2+3+4=10 厘米，宽 = 4 厘米，周长 =(10+4)×2=28 厘米； ③ 阶梯侧边补充：需额外加上 2 条 1 厘米、2 条 2 厘米、2 条 3 厘米，合计 = 2×(1+2+3)=12 厘米，扣除重复计算的 4 厘米； ④ 最终外周长 = 28+4=32 厘米 【知识点睛】多个正方形排列的组合图形，用平移法或分段计算外周长。 20．【答案】160厘米 解题步骤： ①　使用平移法，将复杂图形的水平线段和竖直线段分别平移 ②　平移后形成一个长方形，长=50（厘米），宽=30（厘米） ③　周长=(50+30)×2=160（厘米） 【知识点睛】复杂图形外轮廓问题，使用平移法转化为规则长方形，水平总长和垂直总高就是长方形的长和宽。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 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