第二章 平面向量及其应用（复习课件）数学北师大版必修第二册

单元复习课件 第二章 平面向量及其应用 北师大版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解向量的概念及零向量、单位向量、共线向量的概念.熟练掌握向量的线性运算、数量积运算. 3.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形，能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用. 2. 理解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 单元学习目标 单元知识图谱 考点一 向量的概念与表示 1.向量的概念 向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量. 大小 方向 2.向量的表示 ①几何表示：向量可以用___________ 来表示，记作________，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的 (或称 )，记作_____. ②字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用___________). 有向线段 向量 长度 模 || ，， 考点串讲 3.零向量与单位向量 考点一 向量的概念与表示 向量名称 定义 方向 零向量 长度为____的向量，记作0 方向任意 单位向量 长度等于____________的向量 平面上任何方向的向量都有一个与其方向相同的单位向量 0 1个单位长度 考点串讲 1.相等向量与共线向量 考点二 向量的基本关系 共线向量 方向___________的_____向量；平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行，记作a∥b. 规定：零向量与_____向量平行,记作0∥b. 相等向量 长度_____且方向_____的向量；向量a与b相等，记作a=b 相同或相反 非零 任意 相等 相同 考点串讲 2.相反向量 考点二 向量的基本关系 1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 . 2.相反向量的性质： (1)零向量的相反向量仍是 . (2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a= . (3)如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b= . 相等 相反 相反 -a 零向量 0 0 考点串讲 3.向量的夹角 考点二 向量的基本关系 1.两向量的夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则 =θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，如图所示. 非零向量 ∠AOB 当θ=0时，a与b ；当θ=π时，a与b . 2.两向量垂直：如果a与b的夹角是___，我们说 a与b垂直，记作 . 规定：零向量与任一向量垂直，即对于任一的向量a，都有 . 同向 反向 a⊥b 0⊥a 考点串讲 考点三 向量的加减法 1.向量的加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.求两个向量和的运算，叫做向量的______. 这种求向量和的方法，称为向量加法的_______法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. 加法 三角形 考点串讲 2.向量加法的平行四边形法则 考点三 向量的加减法 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则.归纳口诀为“共起点、对角线”. 互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a+(-a)=(-a)+a= . 0 考点串讲 3.向量的减法定义及法则 考点三 向量的加减法 （1）向量的减法：向量a减向量b等于向量a加上b的 ，即a-b=a+(-b) （2）已知向量a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量，这就是向量减法的几何意义. 归纳口诀为共起点、连终点、指被减. 终点 终点 考点串讲 考点四 向量的数乘运算 1.数乘运算的定义 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|= . (2)λa(a≠0)的方向： 向量 数乘 λa |λ||a| 当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， （若， 也成立） 考点串讲 2．向量数乘的运算律 考点四 向量的数乘运算 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)= . (2)(λ+μ)a= . (3)λ(a+b)= . a a 3.共线（平行）向量基本定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . b=λa 考点串讲 考点五 平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 2.基：e1，e2 ，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基. 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为 .在正交基下的向量的线性表示称为 . 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 . 不共线 任一 有且只有一对 不共线 1.平面向量基本定理 正交基 正交分解 标准正交基 考点串讲 考点五 平面向量基本定理及坐标表示 2.平面向量的坐标表示 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则如表所示.   符号表示 文字叙述 加法 a+b=(_______，_______) 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 减法 a-b=(_______，_______) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(_______，______) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标 数乘 λa= . 实数乘原来向量的相应坐标 x1+x2 y1+y2 x1-x2 y1-y2 x2-x1 y2-y1 (λx，λy) 考点串讲 3.向量平行的坐标表示 考点五 平面向量基本定理及坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是 . 口诀：交叉相乘差为0. x1y2-x2y1=0 4.向量垂直的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b垂直的充要条件是 . x1x2+y1y2=0 考点串讲 考点六 向量的数量积 1.向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 .  规定：零向量与任一向量的数量积为 . 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 2.数量积的运算律 考点串讲 3.数量积的性质 考点六 向量的数量积 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a∥b时，a·b=特别地，a·a=|a|2或|a|=________. (4)|a·b| |a||b|. ≤ 考点串讲 3.数量积的坐标表示 考点六 向量的数量积 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b= . x1x2+y1y2 若a=(x，y)，则|a|2= 或|a|=___________. x2+y2 若θ是a与b的夹角，则cos θ==___________________. 考点串讲 考点七 正弦定理与余弦定理 1.余弦定理及其推论 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________ 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=________________，b2=________________，c2=_______________ 推论 cos A=__________，cos B=___________，cos C=___________ 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 考点串讲 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等， 即________________=2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 2.正弦定理及其变形公式 考点七 正弦定理与余弦定理 正弦 == 2.正弦定理的变形： (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=_____，sin B=_____，sin C=_____. (3)a∶b∶c=____________________.  (4)=2R. sin A∶sin B∶sin C 考点串讲 题型一 向量的线性运算 C 题型剖析 题型一 向量的线性运算 题型剖析 题型一 向量的线性运算 针对训练 题型一 向量的线性运算 针对训练 (1)向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. (2)向量平行的等价条件 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0. (3)三点共线的等价条件 A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使得=λ成立⇔存在m，n∈R，使得=m+n成立，其中m+n=1. 反 思 感 悟 27 C 题型二 向量的数量积运算 题型剖析 C 题型二 向量的数量积运算 题型剖析 题型二 向量的数量积运算 题型剖析 题型二 向量的数量积运算 题型剖析 反 思 感 悟 (1)向量数量积的两种计算方法 ①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cos θ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量； ②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2. 反 思 感 悟 (2)利用向量数量积可以解决以下问题 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， ①两向量垂直的等价条件 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)； ②求向量的模的问题 |a|=； ③两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ==. 题型三 余弦定理、正弦定理 C 题型剖析 题型三 余弦定理、正弦定理 A 题型剖析 题型三 余弦定理、正弦定理 题型剖析 题型三 余弦定理、正弦定理 题型剖析 题型三 余弦定理、正弦定理 题型剖析 题型三 余弦定理、正弦定理 题型剖析 反 思 感 悟 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2Rsin A，a2+b2-c2=2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A=sin B⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B；sin 2A=sin 2B ⇔A=B或A+B=等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A=，cos A=等，通过代数变换将角的关系化为边的关系. 题型四 平面向量的应用 1.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,该船实际航行方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度. 题型剖析 题型四 平面向量的应用 2.甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东 的方向将球传给机器人乙， 然后机器人乙按南偏东 的方向将球传 给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 给机器人丁，利 用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小. 解： 根据题意画出示意图，如图，用，，， 分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为，故球的最终位移为 ，依题意知为正三角形，故 . 又因为 ，，所以 ， 所以为等腰直角三角形，所以 . 题型剖析 反 思 感 悟 向量在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等. (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形. (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累. ✅ 知识构建：平面向量及其应用 向量的概念及表示→向量的线性运算→向量的数量积→向量的坐标表示→正余弦定理及应用 ✅ 思想方法： 数学运算能力、数形结合、化归与转化、数学建模能力 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! 解：如图,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度, 则∠AOC=30°,||=5 km/h. 因为四边形OACB为矩形, 所以||=||·tan 60°=||·tan 60° =5(km/h), 所以||==10(km/h). 所以水流速度为5 km/h,船实际速度为10 km/h. $