专题03 图形的平移和旋转（期中复习讲义，10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题03 图形的平移和旋转（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 图形的平移与中心对称图形的识别 题型02 利用平移的性质求解 题型03 点在平面直角坐标系中的平移 题型04 求关于原点的对称点的坐标 题型05 找旋转中心、旋转角 题型06 求某点旋转后的坐标 题型07 坐标与旋转规律问题 题型08 平面直角坐标系中平移和旋转作图 题型09 几何图形中的平移综合问题 题型10 几何图形中的旋转综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 图形的平移 1. 理解平移的定义，掌握平移的两要素（方向、距离）；2. 能根据条件画出平移后的图形，会用坐标表示平移；3. 掌握平移的性质：对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 基础必考点，选择、填空、作图题均有涉及；2. 坐标平移是高频考点，易与平面直角坐标系结合考查。 图形的旋转 1. 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）；2. 能根据条件画出旋转后的图形，会确定旋转中心和旋转角；3. 掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 中考核心考点，常与全等三角形、特殊四边形结合考查；2. 旋转作图和性质应用是解答题高频题型，易出现在几何综合题中。 中心对称与中心对称图形 1. 区分中心对称和中心对称图形的概念；2. 掌握中心对称的性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分；3. 能识别常见的中心对称图形（如平行四边形、圆）。 1. 高频易错点，选择题常考查概念辨析；2. 常与轴对称图形对比考查，易混淆两者性质。 平移与旋转的综合应用 1. 能综合运用平移、旋转的性质解决几何证明与计算问题；2. 能利用图形变换进行图案设计，解决最短路径等实际问题；3. 体会图形变换的转化思想，提升几何直观能力 1. 压轴题常考点，多与三角形、四边形综合考查；2. 侧重考查逻辑推理和空间想象能力，是区分度较高的题型。 知识点01 图形的平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移。 2. 两要素：平移方向、平移距离。 3. 性质 - 平移前后图形的形状、大小不变，位置改变。 - 对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等。 - 对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等。 示例：将△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A'B'C'，则 AA'∥BB'，且 AA'=BB'=3个单位水平距离。 易错点：把“对应点连线”当成“对应线段”，混淆长度。 - 平移时方向或距离数错格子，作图不准。 - 认为平移会改变图形大小或角度。 知识点02 平移与平面直角坐标系 点的平移坐标变化规律： - 左右平移：横坐标变，纵坐标不变 右加左减 - 上下平移：纵坐标变，横坐标不变 上加下减 示例：点A(2,3) 向右平移4个单位 → A'(6,3) 点 A(2,3) 向下平移5个单位 → A'(2,-2) 易错点：左右平移动纵坐标、上下平移动横坐标。 - 符号搞反：向左/向下记成加。 知识点03 图形的旋转 1. 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，叫做旋转。 2. 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 3. 性质 - 旋转前后图形形状、大小不变。 - 对应点到旋转中心的距离相等。 - 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 示例：将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，则 OA=OA'，∠AOA'=90°。 易错点：旋转方向（顺/逆）看错。 - 旋转角找错：把图形夹角当成旋转角。 - 忘记“对应点到旋转中心距离相等”，作图不准。 知识点04 中心对称 1. 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，称这两个图形关于这点成中心对称。 2. 性质 - 对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 - 对应线段平行（或共线）且相等。 示例：点A(x,y) 关于原点对称的点 A'(-x,-y)。 易错点：与轴对称混淆：中心对称是旋转180°，轴对称是翻折。 - 求中心对称点坐标时符号漏变。 知识点05 中心对称图形 1. 定义：一个图形绕自身某一点旋转180°后能与自身重合，叫中心对称图形。 2. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段等。 示例：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 易错点：把等边三角形、等腰梯形当成中心对称图形。 - 与轴对称图形概念混淆。 知识点06 轴对称与中心对称的对比 轴对称：沿一条直线对折重合。 中心对称：绕一点旋转180°重合。 示例：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 易错点：判断图形对称性时漏一种。 - 概念混用，描述不规范。 知识点07 平移、旋转的作图 1. 平移作图：找关键点→按方向距离平移→顺次连接。 2. 旋转作图：找关键点→连旋转中心→按角度旋转→顺次连接。 示例：将线段AB绕点O逆时针旋转60°，先连OA、OB，再分别作60°角，截取等长得到对应点。 易错点：关键点找不全，图形变形。 - 旋转角度量错，方向画反。 - 作图痕迹不保留，被扣分。 知识点08 平移与旋转的综合应用 利用平移、旋转将分散的线段、角集中，构造全等三角形、特殊三角形，解决长度、角度、面积问题。 示例：正方形中旋转三角形，可证明线段相等或求夹角。 易错点：不会构造辅助旋转，找不到全等关系。 - 旋转后对应边、对应角找错。 - 忽略旋转带来的等腰、等边结构。 知识点09 图案设计与欣赏 利用平移、旋转、轴对称进行简单图案设计，识别变换方式。 示例：地砖花纹可看作基本图形平移得到。 易错点：分不清图案是平移、旋转还是轴对称得到。 - 描述变换过程不完整。 题型一 图形的平移与中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 平移看方向、距离不变，形状大小全等，对应点连线平行且相等；中心对称绕点旋转180°重合，找对应点连线过对称中心且被平分，灵活利用对称性简化图形分析。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； B、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； C、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； D、选项中的甲骨文能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·广东中山·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断． 【详解】解： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 题型二 利用平移的性质求解 解｜题｜技｜巧 平移前后对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；常将分散条件通过平移集中到同一图形中，构造平行四边形或全等三角形，利用等量代换建立关系求解。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键． 根据平移的性质结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵将向左平移得到， ∴，， 则， ∵的周长是， ∴的周长是， 即cm， ∵四边形的周长， ∴， 即平移的距离是； 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，②号“鱼”可以由①号“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，平移的性质，先理解题意，再根据勾股定理列式计算，即可得出平移的距离． 【详解】解：如图所示： 依题意，平移的距离为 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，则阴影部分的面积为_________ 【答案】11 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，根据平移的性质得，再根据可得答案. 【详解】解：根据平移的性质得， ∴. . 故答案为：11. 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为_______． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．根据的平移过程，分点在上和点在的延长线上两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故答案为：或或． 题型三 点在平面直角坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 左右平移横坐标加减，上下平移纵坐标加减，平移方向与坐标变化一致；可结合图形逆向平移，或将点与图形整体平移后求新坐标，注意已知平移前后坐标求平移量。 【典例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为___． 【答案】7 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后得到点， 所以． 故答案为：7． 【典例2】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解∶∵点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B． ∴点B的坐标为，即， 故答案为∶ ． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知，作点A关y轴的对称点，再将向下平移4个单位长度得到，则的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据平移的性质求点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征和平移的性质． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出点的坐标，再根据平移的性质进行解答即可． 【详解】解：由题知， 因为点A坐标为，且点A和点关于y轴对称， 所以点A1的坐标为， 则将向下平移4个单位长度得到的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 题型四 求关于原点的对称点的坐标 解｜题｜技｜巧 关于原点对称，横纵坐标均取相反数，即点(x,y)对称后为(-x,-y)；可先分别求关于x轴、y轴对称再组合，或利用中心对称性质，注意与关于坐标轴对称的区别。 【典例1】（25-26九年级上·广东·期中）点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均互为相反数，即可得出结果，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求出m、n的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）直线上有一点，则点P关于原点的对称点为____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和关于原点对称的点的坐标关系，熟知一次函数图象上点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 先根据点P在直线上求出n的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出对称点的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点P关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知和关于原点对称，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：∵和关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型五 找旋转中心、旋转角 解｜题｜技｜巧 找两组对应点，作它们连线的中垂线，交点即为旋转中心；旋转角为对应点与中心连线夹角；可利用全等或特殊角（如90°、60°）快速判断，注意旋转方向与角度范围。 【典例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【答案】 90 左 【分析】此题考查了旋转以及平移的定义，只要熟悉游戏和旋转以及平移的定义，即可根据图形作出正确解答． 根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】解：小方块可先逆时针旋转90度，再向左平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形，达到所有方格都消失的特效． 故答案为：90，左． 【典例2】（25-26九年级上·广东广州·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转角度． 根据图形的旋转性质，可知顺时针旋转得到，点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 题型六 求某点旋转后的坐标 解｜题｜技｜巧 常将旋转转化为全等或利用直角三角形，构造“K型”全等求坐标；绕原点旋转90°可用坐标互换并定符号，一般情况可设参数列方程，或借助复数与三角函数，但初中多用几何构造法。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·重庆忠县·期中）在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明，根据全等三角形的性质和点A的坐标可得，则． 【详解】解：如图所示，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∵点的坐标是， ∴， 由旋转的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，    ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 题型七 坐标与旋转规律问题 解｜题｜技｜巧 先确定旋转中心、方向和角度，观察坐标变化规律，如绕原点每次90°可归纳周期变化；一般情况可作辅助线构造全等三角形，用线段相等与垂直关系列方程求坐标。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、规律型：点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置，根据，可知第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同，结合旋转的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置， ， 第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同． 如图， 由图可得，， 顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、、…，在x轴上，，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：由图象知点、、、…，在x轴上， ∵， ∴， ∴，，，…， 即点、、、…，中相邻两点间的距离均为6， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．作轴于M．在中，求出即可解决问题． 【详解】解：过点D作轴于M， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 由面积知， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为 ∴； 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点绕原点逆时针旋转得到点；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于点M，过点作轴于点N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故答案为：． 题型八 平面直角坐标系中平移和旋转作图 解｜题｜技｜巧 平移按方向距离移动各点再连线；旋转先找旋转中心与方向，作关键点与中心的连线，按角度旋转后取等长线段得对应点，最后顺次连接，注意保留作图痕迹与字母标注。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)作点关于原点O的对称点A； (2)连接得，将绕点A逆时针旋转得，画出旋转后的； (3)在（2）的条件下，点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可得答案． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，点A即为所求． （2）如图，即为所求． （3）由图可得，点的坐标是． 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，，点的坐标分别是，，． (1)将向右平移两个单位长度得．请在网格内画出； (2)将绕着点旋转得．请在网格内画出； (3)的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了作图−−旋转变换，作图−−平移变换，写出点的坐标． （1）根据平移性质，找到这三个点，再依次连接； （2）根据旋转性质，找到这三个点，再依次连接； （3）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求 （3）的坐标是，的坐标是 故答案为：，． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知如图所示（顶点、、都在格点上）． (1)请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． (2)请画出与关于原点对称的． (3)在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】本题考查了旋转，中心对称，轴对称，掌握相关知识并按要求画出对应的图形是解题的关键． （1）根据网格特点和旋转的性质得到点绕点C 逆时针旋转后的对应点，依次连接即可． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出，依次连接即可． （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则最小，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图， （3）如图， 先过x轴作的对称点，连接，与x轴相交于点P，连接， 根据图形可知此时三点共线，的值最小，点P坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)类比轴对称的作图方法，画出关于原点的中心对称图形； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的；可以经过向左、向上两次平移得到，请写出边在平移过程中扫过的面积________；也可以沿着的方向经过一次平移直接得到，请写出边在平移过程中扫过的面积________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7，7 【分析】本题主要考查平移，旋转； （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质画图即可； （3）根据点的变化画出平移图形，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，即为所求： 向左平移扫过的面积为：， 向上平移扫过的面积为：， ∴边在平移过程中扫过的面积为：； 也可以沿着的方向经过一次平移直接得到，边在平移过程中扫过的面积仍为7． 题型九 几何图形中的平移综合问题 解｜题｜技｜巧 利用平移前后对应线段平行且相等，将分散条件集中，构造平行四边形或全等三角形；常通过平移一条边或对角线，将问题转化为三角形问题，结合勾股定理或面积法求解。 【典例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 【变式1】（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键． （1）设直线解析式为，点坐标为，∴点A坐标为， 结合在直线上可得，即可求出直线解析式为； （2）①先求出，再求出，根据平移性质得到C的纵坐标为3，，设，列方程，求出或，从而得到或， 即可求出或； ②设点P平移的距离为，则，根据两点间距离公式即可得到，，，再分，，三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 题型十 几何图形中的旋转综合问题 解｜题｜技｜巧 旋转带来全等，将分散边角集中；常构造共顶点旋转，出现等腰或等边三角形；利用旋转角相等、对应边相等，结合“手拉手”模型，通过全等与勾股定理建立等量关系。 【典例1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    (1)求证：为等边三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合旋转得，故，，运用等边三角形的性质得，即，证明为等边三角形； （2）根据，得，因为为等边三角形，得，结合，得，在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴， ∵，为等边三角形； ∴， ∵， ∴， 在中，． 【典例2】（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得； （2）同（1）求解即可； （3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有， ∴， ∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动； 如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ，； 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 【答案】(1)①，②的长为或 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握相关概念． （1）①当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大 ②由可得，不可能为斜边，故可分两种情况利用勾股定理求解：、是直角边；是直角边，是斜边． （2）结合旋转性质和等腰直角三角形性质即可利用“边角边”证明全等，从而根据全等三角形性质证明 【详解】（1）当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大， ，， 最大距离为：． 故答案为． ②，， 即， 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，也有两种可能： 、是直角边，此时； 是直角边，是斜边，此时． 故当，，三点为同一直角三角形的顶点时，或． （2），理由如下： 根据旋转性质可得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·全国·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断． 【详解】解： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，由已知可得，，进而得到线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段，即得到，，再代入代数式计算即可求解，由对应点坐标的变化得出平移的方式是解题的关键． 【详解】解：∵点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，， ∴，， ∵将线段平移至，点，的坐标分别为，， ∴线段先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位得到的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移变换，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．让P的横坐标减4，纵坐标加3即为移动后点P的坐标． 【详解】解：由点平移规律可知：点P的横坐标为；纵坐标为， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； (3)若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了中心对称图形、平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）找到三角形三个顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据图象即可解题． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图： 由图可知，． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数，若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中分别和对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形的旋转变化，根据分别与对应，所以和垂直平分线交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别与对应， ∴和垂直平分线交点即为旋转中心，即点， ∴点， 故选：． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 3．（25-26九年级上·四川德阳·期中）点关于坐标原点对称的点坐标为，则的值为_____． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了坐标原点对称的点坐标特征． 根据关于坐标原点对称的点坐标特征，横纵坐标均互为相反数，求出和的值，再代入计算． 【详解】解：点关于坐标原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即，， 则． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 6．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (4)在、、中， 与 成轴对称，其对称轴是 ； 与 成中心对称，其对称中心的坐标是 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)，，y轴，，， 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平移变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （4）利用轴对称变换，中心对称变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：即为所求； （4）解：如图，在、、中，与成轴对称，其对称轴是y轴；与成中心对称，其对称中心的坐标是． 故答案为：，，y轴，，，． 7．（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得； （2）同（1）求解即可； （3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有， ∴， ∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动； 如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ，； 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的平移和旋转（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 图形的平移与中心对称图形的识别 题型02 利用平移的性质求解 题型03 点在平面直角坐标系中的平移 题型04 求关于原点的对称点的坐标 题型05 找旋转中心、旋转角 题型06 求某点旋转后的坐标 题型07 坐标与旋转规律问题 题型08 平面直角坐标系中平移和旋转作图 题型09 几何图形中的平移综合问题 题型10 几何图形中的旋转综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 图形的平移 1. 理解平移的定义，掌握平移的两要素（方向、距离）；2. 能根据条件画出平移后的图形，会用坐标表示平移；3. 掌握平移的性质：对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 基础必考点，选择、填空、作图题均有涉及；2. 坐标平移是高频考点，易与平面直角坐标系结合考查。 图形的旋转 1. 理解旋转的定义，掌握旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）；2. 能根据条件画出旋转后的图形，会确定旋转中心和旋转角；3. 掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，图形形状大小不变。 1. 中考核心考点，常与全等三角形、特殊四边形结合考查；2. 旋转作图和性质应用是解答题高频题型，易出现在几何综合题中。 中心对称与中心对称图形 1. 区分中心对称和中心对称图形的概念；2. 掌握中心对称的性质：对称点连线经过对称中心且被对称中心平分；3. 能识别常见的中心对称图形（如平行四边形、圆）。 1. 高频易错点，选择题常考查概念辨析；2. 常与轴对称图形对比考查，易混淆两者性质。 平移与旋转的综合应用 1. 能综合运用平移、旋转的性质解决几何证明与计算问题；2. 能利用图形变换进行图案设计，解决最短路径等实际问题；3. 体会图形变换的转化思想，提升几何直观能力 1. 压轴题常考点，多与三角形、四边形综合考查；2. 侧重考查逻辑推理和空间想象能力，是区分度较高的题型。 知识点01 图形的平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫做平移。 2. 两要素：平移方向、平移距离。 3. 性质 - 平移前后图形的形状、大小不变，位置改变。 - 对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等。 - 对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等。 示例：将△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A'B'C'，则 AA'∥BB'，且 AA'=BB'=3个单位水平距离。 易错点：把“对应点连线”当成“对应线段”，混淆长度。 - 平移时方向或距离数错格子，作图不准。 - 认为平移会改变图形大小或角度。 知识点02 平移与平面直角坐标系 点的平移坐标变化规律： - 左右平移：横坐标变，纵坐标不变 右加左减 - 上下平移：纵坐标变，横坐标不变 上加下减 示例：点A(2,3) 向右平移4个单位 → A'(6,3) 点 A(2,3) 向下平移5个单位 → A'(2,-2) 易错点：左右平移动纵坐标、上下平移动横坐标。 - 符号搞反：向左/向下记成加。 知识点03 图形的旋转 1. 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，叫做旋转。 2. 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 3. 性质 - 旋转前后图形形状、大小不变。 - 对应点到旋转中心的距离相等。 - 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 示例：将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，则 OA=OA'，∠AOA'=90°。 易错点：旋转方向（顺/逆）看错。 - 旋转角找错：把图形夹角当成旋转角。 - 忘记“对应点到旋转中心距离相等”，作图不准。 知识点04 中心对称 1. 定义：把一个图形绕某一点旋转180°，能与另一个图形重合，称这两个图形关于这点成中心对称。 2. 性质 - 对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 - 对应线段平行（或共线）且相等。 示例：点A(x,y) 关于原点对称的点 A'(-x,-y)。 易错点：与轴对称混淆：中心对称是旋转180°，轴对称是翻折。 - 求中心对称点坐标时符号漏变。 知识点05 中心对称图形 1. 定义：一个图形绕自身某一点旋转180°后能与自身重合，叫中心对称图形。 2. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段等。 示例：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。 易错点：把等边三角形、等腰梯形当成中心对称图形。 - 与轴对称图形概念混淆。 知识点06 轴对称与中心对称的对比 轴对称：沿一条直线对折重合。 中心对称：绕一点旋转180°重合。 示例：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 易错点：判断图形对称性时漏一种。 - 概念混用，描述不规范。 知识点07 平移、旋转的作图 1. 平移作图：找关键点→按方向距离平移→顺次连接。 2. 旋转作图：找关键点→连旋转中心→按角度旋转→顺次连接。 示例：将线段AB绕点O逆时针旋转60°，先连OA、OB，再分别作60°角，截取等长得到对应点。 易错点：关键点找不全，图形变形。 - 旋转角度量错，方向画反。 - 作图痕迹不保留，被扣分。 知识点08 平移与旋转的综合应用 利用平移、旋转将分散的线段、角集中，构造全等三角形、特殊三角形，解决长度、角度、面积问题。 示例：正方形中旋转三角形，可证明线段相等或求夹角。 易错点：不会构造辅助旋转，找不到全等关系。 - 旋转后对应边、对应角找错。 - 忽略旋转带来的等腰、等边结构。 知识点09 图案设计与欣赏 利用平移、旋转、轴对称进行简单图案设计，识别变换方式。 示例：地砖花纹可看作基本图形平移得到。 易错点：分不清图案是平移、旋转还是轴对称得到。 - 描述变换过程不完整。 题型一 图形的平移与中心对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 平移看方向、距离不变，形状大小全等，对应点连线平行且相等；中心对称绕点旋转180°重合，找对应点连线过对称中心且被平分，灵活利用对称性简化图形分析。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列古文字中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·广东中山·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用平移的性质求解 解｜题｜技｜巧 平移前后对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等；常将分散条件通过平移集中到同一图形中，构造平行四边形或全等三角形，利用等量代换建立关系求解。 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是________． 【典例2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，②号“鱼”可以由①号“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为______． 【变式1】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点H，，则阴影部分的面积为_________ 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为_______． 题型三 点在平面直角坐标系中的平移 解｜题｜技｜巧 左右平移横坐标加减，上下平移纵坐标加减，平移方向与坐标变化一致；可结合图形逆向平移，或将点与图形整体平移后求新坐标，注意已知平移前后坐标求平移量。 【典例1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为___． 【典例2】（24-25七年级下·广东中山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点B．则点B的坐标为_________． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知，作点A关y轴的对称点，再将向下平移4个单位长度得到，则的坐标是_________． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为_____． 题型四 求关于原点的对称点的坐标 解｜题｜技｜巧 关于原点对称，横纵坐标均取相反数，即点(x,y)对称后为(-x,-y)；可先分别求关于x轴、y轴对称再组合，或利用中心对称性质，注意与关于坐标轴对称的区别。 【典例1】（25-26九年级上·广东·期中）点关于原点对称的点的坐标是_______． 【典例2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期中）直线上有一点，则点P关于原点的对称点为____． 【变式2】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知和关于原点对称，则_______ ． 题型五 找旋转中心、旋转角 解｜题｜技｜巧 找两组对应点，作它们连线的中垂线，交点即为旋转中心；旋转角为对应点与中心连线夹角；可利用全等或特殊角（如90°、60°）快速判断，注意旋转方向与角度范围。 【典例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【典例2】（25-26九年级上·广东广州·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 【变式1】（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 题型六 求某点旋转后的坐标 解｜题｜技｜巧 常将旋转转化为全等或利用直角三角形，构造“K型”全等求坐标；绕原点旋转90°可用坐标互换并定符号，一般情况可设参数列方程，或借助复数与三角函数，但初中多用几何构造法。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【典例2】（24-25九年级上·重庆忠县·期中）在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是______． 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 题型七 坐标与旋转规律问题 解｜题｜技｜巧 先确定旋转中心、方向和角度，观察坐标变化规律，如绕原点每次90°可归纳周期变化；一般情况可作辅助线构造全等三角形，用线段相等与垂直关系列方程求坐标。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是__________． 【典例2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 【变式1】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为_______． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点绕原点逆时针旋转得到点；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是________． 题型八 平面直角坐标系中平移和旋转作图 解｜题｜技｜巧 平移按方向距离移动各点再连线；旋转先找旋转中心与方向，作关键点与中心的连线，按角度旋转后取等长线段得对应点，最后顺次连接，注意保留作图痕迹与字母标注。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)作点关于原点O的对称点A； (2)连接得，将绕点A逆时针旋转得，画出旋转后的； (3)在（2）的条件下，点的坐标是______． 【典例2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若，，点的坐标分别是，，． (1)将向右平移两个单位长度得．请在网格内画出； (2)将绕着点旋转得．请在网格内画出； (3)的坐标是 ，的坐标是 ． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知如图所示（顶点、、都在格点上）． (1)请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． (2)请画出与关于原点对称的． (3)在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)类比轴对称的作图方法，画出关于原点的中心对称图形； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的；可以经过向左、向上两次平移得到，请写出边在平移过程中扫过的面积________；也可以沿着的方向经过一次平移直接得到，请写出边在平移过程中扫过的面积________． 题型九 几何图形中的平移综合问题 解｜题｜技｜巧 利用平移前后对应线段平行且相等，将分散条件集中，构造平行四边形或全等三角形；常通过平移一条边或对角线，将问题转化为三角形问题，结合勾股定理或面积法求解。 【典例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【典例2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【变式1】（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 题型十 几何图形中的旋转综合问题 解｜题｜技｜巧 旋转带来全等，将分散边角集中；常构造共顶点旋转，出现等腰或等边三角形；利用旋转角相等、对应边相等，结合“手拉手”模型，通过全等与勾股定理建立等量关系。 【典例1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    (1)求证：为等边三角形； (2)求线段的长． 【典例2】（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级下·全国·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位得到的点的坐标是______． 4．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是________． 5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； (3)若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的横、纵坐标都是整数，若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中分别和对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26九年级上·四川德阳·期中）点关于坐标原点对称的点坐标为，则的值为_____． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 6．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (4)在、、中， 与 成轴对称，其对称轴是 ； 与 成中心对称，其对称中心的坐标是 ． 7．（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $