第17章 一元二次方程及其应用（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级下册

第17章 一元二次方程及其应用（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 2．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 4．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 5．某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（   ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．方程的两个根分别为，，则_____ 12．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 13．如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 14．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.解下列方程： (1)； (2)． 16．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 17．一家水果店以每千克元的价格购进某种水果若干，然后以每千克元的价格出售，每天可售出，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低元，每天可多售出． (1)若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是多少千克用含的代数式表示 (2)销售这种水果要想每天盈利元，且保证每天至少售出，那么水果店需将每千克的售价降低多少元 18．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 20．用同样规格的小正方形瓷砖铺设如图所示的矩形，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖按此规律： (1)第个图，要用______块瓷砖； (2)第个图，要用______块瓷砖； (3)求第几个图要用去块瓷砖． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 22．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 23．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 一元二次方程及其应用（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故选：A． 2．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知， ， ， ， ． 故选：A． 3．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 【答案】B 【详解】∵一元二次方程，其中，，． ∴ ∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根 故选：B ． 4．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 解得 ，， ∵以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形， 则：①若腰为2，底为4，则三边为2、2、4． 此时 ，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），舍去． ②若腰为4，底为2，则三边为4、4、2． 此时 ，，均满足三角形三边关系． ∴符合条件的三角形边长为4、4、2，周长为 ． 故选A 5．某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为． ∵2023年药剂价格为元，经过两年下降到2025年的元，第一年下降后的价格为元，第二年在第一年下降后的价格基础上再下降，价格为元． ∴可列方程． 方程两边同时除以可得：． ∴． 当时，； 当时，(舍去)， 故选：A． 6．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 7．关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 10．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．方程的两个根分别为，，则_____ 【答案】37 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 12．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 13．如图，在一块长、宽的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【详解】解：∵道路的宽为， ∴由题意得，． 14．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ， ， 则， ∴； （2）， ，即， 或， 解得：，． 16．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 17．一家水果店以每千克元的价格购进某种水果若干，然后以每千克元的价格出售，每天可售出，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低元，每天可多售出． (1)若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是多少千克用含的代数式表示 (2)销售这种水果要想每天盈利元，且保证每天至少售出，那么水果店需将每千克的售价降低多少元 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得，； 当时，每天的销售量为，，不满足要求，舍去； 当时，每天的销售量为，，满足要求． 答：水果店需将每千克的售价降低元． 18．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【详解】（1）解：一元二次方程不是“纠缠方程”． 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； （2）证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 20．用同样规格的小正方形瓷砖铺设如图所示的矩形，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖，第个图用了块瓷砖按此规律： (1)第个图，要用______块瓷砖； (2)第个图，要用______块瓷砖； (3)求第几个图要用去块瓷砖． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第个图中瓷砖的块数为：； 第个图中瓷砖的块数为：； 第个图中瓷砖的块数为：； ， 所以第个图中瓷砖的块数为块． 当时， 块， 即第个图中瓷砖的块数为块． （2）解：由（1）知， 第个图中瓷砖的块数为块． （3）解：令， 解得舍负， 即第个图要用去块瓷砖． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 22．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 23．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $