模块综合检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

模块综合检测 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 解析：选D.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32(种). 2．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.记事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，则P(AB)＝，P(A)＝，所以P(B|A)＝＝. 3．已知随机变量X～N(μ，σ2)，其正态曲线如图所示，若P(10＜X＜30)＝m，则P(X≥30)＝(　　) A．1－m B． C． D． 解析：选D.由题图知μ＝20，而P(10＜X＜30)＝m， 所以P(X≥30)＝[1－P(10＜X＜30)]＝. 4．(x－2)5的展开式中x的系数是(　　) A．－32 B．152 C．88 D．－272 解析：选C.因为(x－2)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5-k(－2)k，所以(x－2)5的展开式中x的系数是(－2)5＋3×C·(－2)2＝88. 5．一试验田中某种作物一株上生长的果实个数Y服从正态分布N(90，σ2)，且P(Y＜70)＝0.2，从该试验田中随机抽取10株该种作物，其中果实个数在[90，110]内的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 解析：选B.因为Y～N(90，σ2)，且P(Y＜70)＝0.2，所以P(Y＞110)＝0.2，所以P(90≤Y≤110)＝0.5－0.2＝0.3，所以X～B(10，0.3)， 所以D(X)＝10×0.3×(1－0.3)＝2.1. 6．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　) A．24个 B．30个 C．36个 D．42个 解析：选B.计算偶数个数分为两类： ①若个位数字是0，十位和百位从另外4个数字中选两个进行排列有A＝12种结果； ②若个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另外3个数字中选一个作百位，再从余下3个数字中选一个作十位，共有AAA＝18种结果， 由分类加法计数原理得，偶数共有12＋18＝30(个). 7．已知二项式(x＋)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数是整数的项的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 解析：选D.由题意知＋1＝11，解得n＝20，所以的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20-k·＝()20-k·C·x20-，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，所以k＝0，3，6，9，12，15，18，所以x的指数是整数的项共有7项． 8．蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝c1ec2x(其中e为自然底数)拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程＝0.2x＋，则当x＝40时，蝗虫的产卵量y的预测值为(　　) A．e3 B．e6 C．3 D．6 解析：选B.由题表数据知，＝×(20＋23＋25＋27＋30)＝25，＝×(2＋2.4＋3＋3＋4.6)＝3，将(25，3)代入＝0.2x＋，得＝3－0.2×25＝－2，所以＝0.2x－2，即ln ＝0.2x－2，所以＝e0.2x-2，所以当x＝40时，＝e6. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校一同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数y(单位：人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程＝2.6x＋，则(　　) A．样本点的中心为(8，25) B．＝4.2 C．当x＝5时，残差为－0.2 D．若去掉样本点(8，25)，则样本相关系数r增大 解析：选ABC.对于A，＝＝8， ＝＝25， 故样本点的中心为(8，25)，故A正确； 对于B，将(8，25)代入经验回归方程＝2.6x＋，解得＝4.2，故B正确； 对于C，当x＝5时观测值为17，预测值为＝2.6×5＋4.2＝17.2，故残差为－0.2，故C正确； 对于D，因为样本点的中心为(8，25)，所以去掉样本点(8，25)，则样本相关系数r不变，故D不正确． 10．设(x－3)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，则结论正确的是(　　) A．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36 B．a1＋a3＋a5＝ C．a2＋a3＝100 D．a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最小的是a1 解析：选ABD.对于A，令x＝0，则36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，①故A正确； 对于B，令x＝2，则1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，② 则②－①可得2(a1＋a3＋a5)＝1－36，则a1＋a3＋a5＝，故B正确； 对于C，(x－3)6＝[－2＋(x－1)]6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x－1)r(－2)6-r，令r＝2，则a2＝C(－2)4＝240，令r＝3，则a3＝C(－2)3＝－160，所以a2＋a3＝80，故C错误； 对于D，(x－3)6＝[－2＋(x－1)]6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x－1)r(－2)6-r，所以当r＝1，3，5时，即a1，a3，a5＜0，而a0，a2，a4，a6＞0，又a1＝C(－2)5＝－192，a3＝C(－2)3＝－160，a5＝C(－2)1＝－12， 故a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最小的是a1，故D正确． 11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字》中说：“弈，围棋也．”因此，“对弈”在当时特指下围棋．现甲与乙对弈三盘，甲每盘赢棋的概率是p1，0<p1<1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，甲每盘赢棋的概率是p2，0<p2<1，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P(A)和P(B)，则以下结论正确的是(　　) A. 0 <p2<<p1<1 B．当p1＋p2＝1时，P(A)>P(B) C．对∀p2∈，∃p1∈(0，1)，有P(A)>P(B) D．当P(A)＝P(B)时，p＋p1p2＋p> 解析：选ABC.对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为Cp1(1－p1)2，只赢两盘的概率为Cp(1－p1)，则Cp1(1－p1)2<Cp(1－p1)，解得p1>，故<p1<1，甲与丙对弈只赢一盘的概率为Cp2(1－p2)2，只赢两盘的概率为Cp(1－p2)，则Cp2(1－p2)2>Cp(1－p2)，解得p2<，故0<p2<，故0<p2<<p1<1，则A正确；对于B，由p1＋p2＝1得p1＝1－p2，则P(A)＝C(1－p2)2p2＝Cp(1－p2)·，即P(A)＝P(B)·(－1)，又0<p2<，所以－1>1，所以P(A)>P(B)，故B正确；对于C，对∀p2∈，∃p1∈(0，1)，结合B分析，只要满足p1＋p2＝1，有P(A)>P(B)，故C正确；对于D，令P(A)＝P(B)，则Cp(1－p1)＝Cp(1－p2)，化简为p－p＝p－p，故(p1＋p2)·(p1－p2)＝(p1－p2)(p＋p1p2＋p)，即p1＋p2＝p＋p1p2＋p，又因为0<p2<<p1<1，则<p1＋p2<，即<p＋p1p2＋p<，故D错误．故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中间，则不同的站法种数为________． 解析：先排前排，有A＝20种站法，后排3人中身高最高的站中间，则两边的人有A＝2种站法，则有20×2＝40种站法． 答案：40 13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝xi＋＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei＝0，则R2＝________． 解析：由ei＝0，知yi＝i，则yi－i＝0，故R2＝1－＝1－0＝1. 答案：1 14．有3台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为6%，第2，3台车床加工的次品率均为5%；若加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________，若取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为________． 解析：记事件Ai为“零件为第i(i＝1，2，3)台车床加工”，事件B为“任取一个零件为次品”， 则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， 所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5， 所以P(A3|B)＝＝＝. 答案：0.052 5　 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知(2x＋)n的展开式中，所有二项式系数的和为32. (1)求n的值；(6分) (2)若展开式中的系数为－1，求a的值．(7分) 解：(1)因为所有二项式系数的和为32，所以2n＝32, 所以n＝5. (2)二项式(2x＋)5展开式的通项为 Tr＋1＝C(2x)5-r()r＝C25-rarx5-2r， 令5－2r＝－5，得r＝5， 所以展开式中的系数为C20a5， 所以a5＝－1，解得a＝－1. 16．(本小题满分15分)某城市通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2025年1月1日至5日，该地国际机场接待外地游客数量如下， x/日 1 2 3 4 5 y/万人 45 50 60 65 80 (1)根据表中数据可知x，y具有线性相关关系，计算x，y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的线性相关程度很强；(7分) (2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程．(8分) 参考公式：＝＝，＝－，r＝，参考数据：≈1.732. 解：(1)因为＝＝3， ＝＝60， 所以(xi－)(yi－)＝85， (xi－)2＝10，(yi－)2＝750， 所以(xi－)2(yi－)2＝7 500， 所以r＝＝ ≈≈0.98， 由此可以认为日期与游客人数的线性相关程度很强． (2)由(1)知(xi－)(yi－)＝85， (xi－)2＝10， 所以＝＝＝8.5， 因为＝－＝60－8.5×3＝34.5， 所以经验回归方程为＝8.5x＋34.5. 17．(本小题满分15分)某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别进行分层随机抽样，抽取了150名学生进行答题，其中男生占60%，记录他们的性别和答题情况，得到如图所示的等高堆积条形图． (1)若该校有3 000人，试估计该校对二十四节气的测试活动中全部答对的学生人数；(6分) (2)完成下面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析答题情况是否与性别有关．(9分) 单位：人 性别 答题情况 合计 全部答对 部分答对 男 女 合计 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解：(1)由题意得，该校男生有3 000×60%＝1 800(人)，其中全部答对的人数为1 800×0.5＝900. 该校女生有3 000－1 800＝1 200(人)，其中全部答对的人数为1 200×0.7＝840. 故该校对二十四节气的测试活动中全部答对的学生人数约为900＋840＝1 740. (2)按照性别分层随机抽样抽取出的男生人数为150×60%＝90，则抽取的女生人数为150－90＝60. 抽取的女生中全部答对的人数为60×0.7＝42，部分答对的人数为60－42＝18. 抽取的男生中全部答对的人数为90×0.5＝45，部分答对的人数为90－45＝45. 完成2×2列联表为， 单位：人 性别 答题情况 合计 全部答对 部分答对 男 45 45 90 女 42 18 60 合计 87 63 150 零假设为H0：答题情况与性别无关． 根据列联表中的数据，得χ2＝≈5.911＞3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为答题情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 18．(本小题满分17分)在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定每人均从8个问题中随机抽取3个问题作答，假设甲能答对的题目有6道，乙每道题目能答对的概率为. (1)求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；(7分) (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大？(10分) 解：(1)设“甲第一次答错”为事件A，“第二次和第三次均答对”为事件B， P(A)＝＝，P(AB)＝××＝， 故P(B|A)＝＝＝. (2)设甲答对的题数为X，则X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，X的分布列为 X 1 2 3 P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝×＋×＋×＝， 设乙答对的题数为Y，则Y～B，则E(Y)＝3×＝，D(Y)＝3××＝， 综上所述，E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，故甲被录用的可能性更大． 19．(本小题满分17分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀． 分数 69 73 74 75 77 78 79 80 82 83 85 87 89 93 95 合计 人数 2 4 4 2 3 4 6 3 3 4 4 5 2 3 1 50 经计算样本的平均值μ≈81，标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏，从中任取一人，记其成绩为X，并根据以下不等式进行评判． ①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≥0.682 7； ②P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≥0.954 5； ③P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≥0.997 3. 评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷． (1)试判断该份试卷被评为哪种等级；(7分) (2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和均值．(10分) 解：(1)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝P(74.8＜X＜87.2)＝＝0.68＜0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(68.6＜X＜93.4)＝＝0.98＞0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝P(62.4＜X＜99.6)＝1＞0.997 3，因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷． (2)由题表可知，75分以下的人数为10；大于等于75分小于85分的人数为25；85分及以上的人数为15. 按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，则应分别抽取人数为2，5，3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，则ξ的取值可能为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $