第8章 章末综合检测(三)成对数据的统计分析（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

章末综合检测(三) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下表是样本中变量y随x变化的一组数据，由此判断它最可能是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 14 18 19 20 23 25 28 A.线性函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 解析：选A.画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型． 2．为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才，某学校在不加重学生负担的前提下提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高堆积条形图，根据条形图，下列结论正确的是(　　) A．样本中不愿意选该门课的人数较多 B．样本中男生人数多于女生人数 C．样本中女生人数多于男生人数 D．无法确定样本中男生人数是否多于女生人数 解析：选B.对于A，由题图乙可知，样本中男生、女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误； 对于B，C，D，由题图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，C，D错误． 3．已知两个变量x，y有相关关系，由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则该组观测数据中y关于x的回归方程可能是(　　) A．＝2ln x＋5 B．＝ex－0.5 C．＝－3x2＋4x＋0.5 D．＝x3－x＋0.5 解析：选D.根据选项中函数的单调性，应用排除法即可求解．由散点图可知，所求回归方程先减后增，选项A，B中的函数均为定义域上的增函数，不符合题意； 选项C中的函数图象为开口向下的抛物线，先增后减，不符合题意． 4．已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的经验回归方程为＝4x＋，若样本点(m，2)与(2，n)的残差相等，则(　　) A．m＋4n＝4 B．4m＋n＝4 C．4m＋n＝10 D．m＋4n＝10 解析：选C.样本点(m，2)的残差为2－(4m＋)，样本点(2，n)的残差为n－(8＋)，由题意可得，2－(4m＋)＝n－(8＋)，所以4m＋n＝10. 5．根据分类变量X与Y的观测数据，计算得到χ2＝2.974，依据表中给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，其中正确的是(　　) α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为变量X与Y有关 B．依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为变量X与Y有关 C．变量X与Y无关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量X与Y有关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 解析：选D.因为χ2＝2.974＞2.706＝x0.1，所以变量X与Y有关，这个结论犯错误的概率不超过0.1. 6．为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1 600，＝4，该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高约为(　　) A．162 cm B．166 cm C．170 cm D．174 cm 解析：选B.根据题意，得＝i＝×225＝22.5，＝i＝×1 600＝160，＝4.由点(22.5，160)在直线＝x＋上，得160＝4×22.5＋，即＝70，故＝4x＋70，令x＝24，得＝4×24＋70＝166，即该学生的身高约为166 cm. 7．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表： 单位：人 吸烟量 年龄 合计 不超过40岁 超过40岁 不多于20支/天 50 15 65 多于20支/天 10 25 35 合计 60 40 100 则认为吸烟量与年龄有关所依据的小概率值最小为(　　) A．0.001 B．0.01 C．0.05 D．0.005 解析：选A.利用题中列联表，代入公式计算得， χ2＝≈22.16＞10.828， 所以认为吸烟量与年龄有关所依据的小概率值最小为0.001. 8．某种细胞的存活率y(单位：%)与存放温度x(单位：℃)之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示： 存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 －5 －10 存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63 计算得＝5，＝35，iyi＝－175，＝875，并求得经验回归方程为＝－2x＋45，但实验人员发现表中数据x＝－5的对应值y＝60录入有误，更正为y＝53.则更正后的经验回归方程为(　　) A．＝－1.9x＋43.5 B．＝1.9x＋43.5 C．＝1.2x＋40 D．＝－1.2x＋32 解析：选A.依题意，设更正后的经验回归方程为＝x＋，更正后＝5， ＝×(35×7－60＋53)＝34， iyi＝－175＋5×60－5×53＝－140， ＝875，＝＝＝－1.9， ＝－＝34－(－1.9)×5＝43.5， 所以更正后的经验回归方程为 ＝－1.9x＋43.5. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．变量x与y的成对数据的散点图如图所示，并由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为＝1x＋1，样本相关系数为r1，决定系数为R.经过残差分析确定第二个点B为离群点(对应残差过大)，把点B去掉后，再用剩下的7组数据计算得到经验回归直线l2的方程为＝2x＋2，样本相关系数为r2，决定系数为R.则以下结论中正确的是(　　) A．1＜2 B．1＜2 C．r1＞r2 D．R＜R 解析：选BD.因为共有8个点，离群点B的横坐标较小，而纵坐标相对过大，所以去掉离群点B后经验回归直线的斜率变大，而截距变小，故A错误，B正确；去掉离群点B后线性相关程度变强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以r1＜r2，R＜R，故C错误，D正确． 10．下列说法中，正确的是(　　) A．决定系数R2越接近1，表明回归的效果越好 B．对于经验回归方程＝3－5x，变量x每增加1个单位长度，平均增加5个单位长度 C．残差图中，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合程度越好 D．在一个2×2列联表中，若χ2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为这两个变量之间有关系 解析：选ACD.决定系数R2越接近1，残差平方和越小，回归效果越好，A正确； 对于经验回归方程＝3－5x，变量x每增加1个单位长度，平均减少5个单位长度，B错误； 易知C正确； 若χ2＝13.079＞10.828＝x0.001，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为两个变量之间有关系，D正确． 11．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计，得到如图所示的表格，则下列说法正确的是(　　) 单位：名 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B．女生中喜爱物理学科的频率为 C．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 解析：选AC.对于A，喜爱物理学科的学生共有60＋20＝80(名)，故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为＝，A正确； 对于B，女生共有100名，喜爱物理学科的女生有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为＝，B错误； 对于C，D，χ2＝≈33.333＞10.828，故依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001，C正确，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．下面是一个2×2列联表： X Y 合计 Y1 Y2 X1 a 21 70 X2 5 c 30 合计 b d 100 则b－d＝________． 解析：由题中2×2列联表得 a＝49，b＝54，c＝25，d＝46.所以b－d＝54－46＝8. 答案：8 13．关于(x，y)的一组样本数据(1，0)，(2，－1)，(3，－2)，(5，－4)，…，(30，－29)的散点图中，所有样本点均在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数r为________． 解析：因为所有样本点均在直线上，故|r|＝1.又y＝－x＋1，故r＝－1. 答案：－1 14．已知某种商品的广告支出费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下表对应数据： x 1 3 4 5 7 y 15 20 30 40 45 根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为＝5.5x＋，则当x＝7时，残差为________． 解析：＝×(1＋3＋4＋5＋7)＝4，＝×(15＋20＋30＋40＋45)＝30， 因为经验回归直线过点(4，30)，代入＝5.5x＋，可得30＝5.5×4＋，解得＝8，当x＝7时，＝5.5×7＋8＝38.5＋8＝46.5，所以残差为45－46.5＝－1.5. 答案：－1.5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人． (1)根据以上数据列出2×2列联表；(6分) (2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？(7分) 解：(1)由已知可列2×2列联表： 单位：人 生活 胃病 合计 患病 未患病 规律 20 200 220 不规律 60 260 320 合计 80 460 540 (2)零假设为H0：40岁以上的人患胃病与否和生活规律无关． 根据(1)中列联表中的数据，计算得 χ2＝≈9.638＞6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 16．(本小题满分15分)某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化． 天数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 (1)观察表格数据可知，天数x与作物高度y之间具有线性相关关系，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的经验回归方程＝x＋(其中，用分数表示)；(10分) (2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3 cm，请根据(1)中的结果预测第22天该作物的高度的残差．(5分) 参考公式：参考数据：∑10,i＝1xiyi＝710. 解：(1)依题意，得 ＝＝5.5， ＝10＋＝12， 故 ＝＝， ＝12－×5.5＝， 故所求经验回归方程为＝x＋. (2)由(1)可知，当x＝22时，＝×22＋＝22，故所求残差为21.3－22＝－0.7(cm). 17．(本小题满分15分)某加工工厂加工产品A，现根据市场调研收集到需加工量x(单位：千件)与加工单价y(单位：元/件)的四组数据如表所示， x 6 8 10 12 y 12 m 6 4 根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程为＝x＋20.6，其中m－＝11.4. (1)若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂的加工费用；(7分) (2)通过计算样本相关系数，判断y与x的线性相关程度．(8分) 参考公式：r＝，当|r|＞0.9时，两个相关变量之间的线性相关程度很强． 解：(1)因为＝×(6＋8＋10＋12)＝9， ＝×(12＋m＋6＋4)＝， 所以＝9＋20.6. 又因为m－＝11.4，所以＝－1.4，m＝10，所以＝－1.4x＋20.6. 因为1.1万件＝11千件，所以当x＝11时， ＝－1.4×11＋20.6＝5.2(元/件)， 所以5.2×11 000＝57 200(元)，则估计该公司需要给该加工工厂57 200元加工费． (2)由(1)知，＝9，m＝10，＝＝＝8. 所以(xi－)(yi－)＝(6－9)×(12－8)＋(8－9)×(10－8)＋(10－9)×(6－8)＋(12－9)×(4－8)＝－28， (xi－)2(yi－)2＝[(－3)2＋(－1)2＋12＋32]×[42＋22＋(－2)2＋(－4)2]＝20×40＝800， ＝＝20， 所以r＝ ＝－≈－0.99，所以|r|≈0.99＞0.9，故y与x线性相关程度很强． 18．(本小题满分17分)某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，统计结果如表所示： 生产线 合格品 优等品 甲 250 250 乙 300 200 (1)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为产品的品质与生产线有关？(7分) (2)用频率近似概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X，求随机变量X的分布列与均值．(10分) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)由题中数据得，2×2列联表为， 单位：件 生产线 产品品质 合计 合格品 优等品 甲 250 250 500 乙 300 200 500 合计 550 450 1 000 零假设为H0：产品的品质与生产线无关． 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈10.101<10.828， 所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为产品的品质与生产线无关． (2)由题可知甲、乙两条生产线生产的产品中优等品的频率分别为，. 所以可估计从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取1件产品，其为优等品的概率分别为，. X的所有可能取值为0，1，2，3，4， P(X＝0)＝()2×()2＝， P(X＝1)＝C×()2×()2＋()2×C××＝， P(X＝2)＝()2×()2＋C×()2×C××＋()2×()2＝， P(X＝3)＝C×()2×()2＋()2×C××＝， P(X＝4)＝()2×()2＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 19．(本小题满分17分)某个远洋运输公司出口营业额增长数据如下表： 月份 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代码x 1 2 3 4 新增出口营业额y/亿元 2.4 2.8 3.6 5.1 月份 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月 月份代码x 5 6 7 8 新增出口营业额y/亿元 7.1 9.1 11.7 14.2 某位同学分别用两种模型：①y＝bx2＋a，②y＝cx＋d进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，残差图如图所示． 这位同学在进行拟合时，对数据作了初步处理，得到一些统计量的值：(xi－)(yi－) ＝72.8，(xi－)2＝42，(ti－)(yi－)＝686.8，(ti－)2＝3 570.其中ti＝x，＝i. (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由．(7分) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测该远洋运输公司2025年10月新增出口营业额．(精确到0.01)(10分) 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 解：(1)选择模型①. 理由如下：根据题图可以看出，模型①残差所分布的带状区域较窄，模型②残差更分散，带状区域更宽，所以模型①的拟合效果相对较好． (2)由(1)，可知y关于x的经验回归方程为＝x2＋，令t＝x2，则＝t＋. 由所给数据可得 ＝×(1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64)＝25.5. ＝×(2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋14.2)＝7. 所以＝＝≈0.19. ＝－＝7－0.19×25.5≈2.16. 所以y关于x的非线性经验回归方程为＝0.19x2＋2.16. 所以预测该远洋运输公司2025年10月新增出口营业额约为＝0.19×102＋2.16＝21.16(亿元). 学科网（北京）股份有限公司 $