第8章 阶段小测(五)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

阶段小测(五) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是(　　) A．三维柱形图 B．二维条形图 C．等高堆积条形图 D．独立性检验 解析：选D.前三种方法只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．故选D. 2．已知y关于x的非线性经验回归方程为＝20.2x-1，则当x＝50时，y的预测值为(　　) A．0 B．29 C．210 D．1 解析：选B.y关于x的非线性经验回归方程为＝20.2x-1，令x＝50，得＝29，所以当x＝50时，y的预测值为29，故选B. 3．经统计，用于数学学习的时间x(单位：小时)与数学成绩y(单位：分)近似有线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行调查，得到数据如下表， x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中样本数据求得经验回归方程为＝x＋，则点(，)与直线x＋18y＝110的位置关系是(　　) A．点在直线左侧 B．点在直线右侧 C．点在直线上 D．无法确定 解析：选C.由题表数据得，＝＝18，＝＝110，代入经验回归方程得18＋＝110，所以点(，)在直线x＋18y＝110上． 4．变量x与y相对应的一组样本数据为(1，1.4)，(2，2.2)，(3，3)，(4，3.8)，由上述样本数据得到y关于x的经验回归方程，则决定系数R2＝(　　) 附：R2＝1－. A． B． C．1 D． 解析：选C.由题易得y关于x的经验回归方程为＝0.8x＋0.6，且点(1，1.4)，(2，2.2)，(3，3)，(4，3.8)都在经验回归直线＝0.8x＋0.6上，所以yi＝i(i＝1，2，3，4)，所以R2＝1－＝1. 5．在研究变量x与y之间的关系时，进行试验后得到了一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x5，y5)，(6，28)，(0，28).利用此样本数据求得的经验回归方程为＝x＋，现发现数据(6，28)和(0，28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为＝4x＋m，且i＝140，则m＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 解析：选C.设剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，剔除两对数据后的x，y的平均数分别为′，′.因为i＝140，所以，′＝i＝28，则′＝＝.因为剔除的两对数据为(6，28)和(0，28)，所以＝×(140＋56)＝28，所以＝(7－166)＝3，所以′＝＝3＝，解得m＝16. 6．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对学生的生活和学习造成了一定的影响．某校为研究使用手机对学习成绩的影响，随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下列联表，则下列说法正确的是(　　) 单位：名 手机使 用情况 学习成绩 合计 优秀 不优秀 不用手机 40 10 50 使用手机 5 45 50 合计 45 55 100 (参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.1＝2.706，x0.01＝6.635，x0.001＝10.828) A．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为使用手机与学习成绩无关 B．依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为使用手机与学习成绩无关 C．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关 D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为使用手机与学习成绩无关 解析：选C.零假设为H0：使用手机与学习成绩无关．由题表中的数据，计算得χ2＝≈49.49>10.828>6.635>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关，故A，B，D错误，C正确． 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．有一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，由这组样本数据得到的经验回归方程为＝x＋，则(　　) A．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强；反之，线性相关程度越弱 B．经验回归直线＝x＋必经过点(，) C．若样本数据(x1，y1)的残差为1，则样本中必有数据(xi，yi)(2≤i≤n)的残差为－1 D．当样本相关系数r＝1时，样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在直线＝x＋上 解析：选BD.对于A，|r|越接近1，则y和x之间的线性相关程度越强，反之越弱，故A错误；根据残差的定义知C错误；易知B，D均正确． 8．为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生是否喜欢登山与性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，得到如图所示的等高堆积条形图，则下列说法中正确的有(　　) 附：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 xα 3.841 6.635 A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多 B．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多 C．若被调查的男、女生人数均为100，则根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否喜欢登山与性别有关 D．无论被调查的男、女生人数为多少，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，都可以认为是否喜欢登山与性别有关 解析：选AC.对于A，因为被调查的男、女生人数相同，所以由题中等高堆积条形图可知被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多，所以A正确；对于B，由题中等高堆积条形图可知，被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数少，所以B错误；对于C，根据题中数据，得到2×2列联表为， 单位：人 登山 性别 合计 男 女 喜欢 80 30 110 不喜欢 20 70 90 合计 100 100 200 零假设为H0：是否喜欢登山与性别无关，由列联表中数据， 得χ2＝≈50.505＞6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为是否喜欢登山与性别有关，所以C正确；对于D，当被调查的男、女生人数均为10时，2×2列联表为， 单位：人 登山 性别 合计 男 女 喜欢 8 3 11 不喜欢 2 7 9 合计 10 10 20 零假设为H0：是否喜欢登山与性别无关，由表中数据知χ2＝≈5.051＜6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为是否喜欢登山与性别无关，所以D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)得到的经验回归方程为＝x＋，已知i＝12，i＝22，则实数的值为________． 解析：由题意得＝2.4，＝4.4，代入经验回归方程，解得＝2.4. 答案：2.4 10．已知变量x和y的统计数据如下表： x －2 －1 0 1 2 y 5 ？ 2 2 1 如果由表中的数据得到y关于x的经验回归方程为＝－0.9x＋2.6，那么当x＝－1时，残差为________． 解析：设x＝－1时的观测值为m，则＝＝0，＝＝，将点的坐标代入＝－0.9x＋2.6，可得＝2.6，解得m＝3.把x＝－1代入＝－0.9x＋2.6，得＝3.5，所以当x＝－1时，残差为3－3.5＝－0.5. 答案：－0.5 11．针对“中学生追星问题”，某校团委对“中学生追星和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判定中学生追星与学生性别有关，则男生至少有______人．(参考数据：x0.05＝3.841) 解析：设男生人数为x(x∈N*)，依题意可得列联表为， 单位：人 性别 是否追星 合计 追星 不追星 男 x 女 合计 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判定中学生追星与学生性别有关，则χ2≥3.841， 由χ2＝＝x≥3.841，解得x≥26，x∈N*，由题知x应为6的整数倍，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，若判定中学生追星与性别有关，则男生至少有30人． 答案：30 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验．若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效．在已经接种疫苗的群体中随机抽取100个样本，其中有60个接种了 Ⅰ 号疫苗，剩余40个接种了 Ⅱ 号疫苗．根据样本数据绘制等高堆积条形图(如图所示)，其中两个深色条的高分别表示接种 Ⅰ 号疫苗和 Ⅱ 号疫苗样本中抗体呈阳性的频率．现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了 Ⅰ 号疫苗后抗体呈阳性”发生的概率为0.54. (1)求等高堆积条形图中a的值；(5分) (2)请完成如下2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异？(8分) 单位：人 抗体 疫苗 合计 Ⅰ号疫苗 Ⅱ号疫苗 抗体为阳性 抗体为阴性 合计 60 40 100 参考公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d.　　 α 0.15 0.1 0.01 xα 2.072 2.706 6.635 解：(1)依题意“样本接种了Ⅰ号疫苗后抗体呈阳性”发生的概率为0.54， 所以×a＝0.54，解得a＝0.9. (2)由题意及(1)得，接种Ⅰ号疫苗后抗体为阳性的共有60×0.9＝54(人)，接种Ⅱ号疫苗后抗体为阳性的共有40×0.85＝34(人). 所以补全题中2×2列联表如下： 单位：人 抗体 疫苗 合计 Ⅰ号疫苗 Ⅱ号疫苗 抗体为阳性 54 34 88 抗体为阴性 6 6 12 合计 60 40 100 零假设为H0：两种疫苗的预防效果无差异． 根据2×2列联表中数据，得 χ2＝≈0.568＜2.706＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疫苗的预防效果没有差异． 13．(本小题满分15分)当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表． x 1 2 3 4 5 6 y 0.5 1 1.5 3 6 12 z＝ln y －0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 (1)该公司拟分别用①y＝bx＋a和②y＝enx＋m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程(结果保留到小数点后一位)；(7分) (2)根据下表数据，用决定系数R2(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的年销售量是多少？(8分) 经验回归方程 ＝x＋ ＝enx＋m 残差平方和(yi－i)2 18.29 0.65 参考公式及数据：＝，＝－，R2＝1－，iyi＝121，＝91，izi＝28.9，＝0.85，e2.8≈16.4. 解：(1)＝＝3.5， 方案①：＝＝4， 所以＝＝≈2.1， ＝4－×3.5＝－3.4， 所以＝2.1x－3.4. 方案②：由y＝enx＋m两边取以e为底的对数得ln y＝nx＋m， 即z＝nx＋m， ＝＝≈0.6， ＝0.85－×3.5＝－1.36≈－1.4， 所以z＝0.6x－1.4，所以＝e0.6x-1.4. (2)(yi－)2＝(0.5－4)2＋(1－4)2＋(1.5－4)2＋(3－4)2＋(6－4)2＋(12－4)2＝96.5， 对于＝2.1x－3.4，R＝1－； 对于＝e0.6x-1.4，R＝1－， 因为|R1|<|R2|<1，所以②的拟合效果更好．当x＝7时，＝e0.6×7-1.4＝e2.8≈16.4(千件).所以预测年投入额为7百万元时，产品的年销售量为16.4千件． 14．(本小题满分15分)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参与活动情况，随机调查了100名学生在一个月(30天)中完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25] (25，30] 人数 4 15 33 31 11 6 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼的天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据用区间的中间值代替)，σ＝6.1，若全校有3 000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；(结果保留整数)(7分) (2)据调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15，30]内的学生中有30名男生，天数在[0，15]内的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号，请填写下面列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断学生获得“运动达人”称号是否与性别有关，若有关，请解释它们之间如何相互影响．(8分) 单位：人 性别 参加活动的天数 合计 [0，15] (15，30] 男 女 合计 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，x0.05＝3.841. 解：(1)由题中频数分布表知， μ＝×(4×2.5＋15×7.5＋33×12.5＋31×17.5＋11×22.5＋6×27.5)＝14.9， 则X～N(14.9，6.12). 因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， 所以P(X＞21)＝P(X＞14.9＋6.1)≈＝0.158 65， 所以3 000×0.158 65＝475.95≈476(人)， 所以参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476. (2)由频数分布表知，参加活动的天数在[0，15]内的人数为4＋15＋33＝52， 因为参加活动的天数在[0，15]内的学生中有20名男生， 所以参加活动的天数在[0，15]内的学生中女生人数为52－20＝32. 参加活动的天数在(15，30]内的人数为31＋11＋6＝48， 因为参加活动的天数在(15，30]内的学生中有30名男生， 所以参加活动的天数在(15，30]内的学生中女生人数为48－30＝18. 列联表如下： 单位：人 性别 参加活动的天数 合计 [0，15] (15，30] 男 20 30 50 女 32 18 50 合计 52 48 100 零假设为H0：学生获得“运动达人”称号与性别无关． 根据列联表中数据，经计算得到χ2＝≈5.769＞3.841＝x0.05， 依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生获得“运动达人”称号与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为＝0.6和＝0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”称号的频率的≈1.67倍，于是我们可以认为男生获得“运动达人”称号的概率大于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号． 学科网（北京）股份有限公司 $