7.3.1 离散型随机变量的均值 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

7.3.1　离散型随机变量的均值 [课时跟踪检测] 1.若随机变量X的分布列如下（k为常数），则E（X）= （　　） X 0 1 2 P k 6k 0.3 A.0.6 B.0.9 C.1 D.1.2 解析：选D　由分布列的性质，得k+6k+0.3=1，解得k=0.1，∴E（X）=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.故选D. 2.掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1，2，3，4），则底面掷出点数的数学期望为 （　　） A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 解析：选B　设底面掷出的点数为X，则X的可能取值为1，2，3，4，且底面掷出每种点数的概率均为，则E（X）=（1+2+3+4）×=2.5，故选B. 3.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0<t<4），且甲、乙、丙都打中的概率是，用ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的数学期望是 （　　） A. B. C.1 D. 解析：选D　依题意，甲、乙、丙都打中的概率P=××=，解得t=3（负值舍去），所以乙打中的概率为.由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，且P（ξ=0）=×=，P（ξ=1）=×+×=，P（ξ=2）=×=，所以E（ξ）=0×+1×+2×=.故选D. 4.甲、乙两名工人在同样的条件下生产某产品，两人的日产量相等，每天出废品的情况如表所示： 工人 甲 乙 废品数 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 则下列结论正确的是 （　　） A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些 B.乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些 C.两人生产的产品质量一样好 D.无法判断谁生产的产品质量好一些 解析：选B　由题知，甲生产的废品数的期望是0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙生产的废品数的期望是0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9，因为甲生产的废品数的期望大于乙生产的废品数的期望，所以乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些.故选B. 5.[多选]随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且E（Y）=34，若X的分布列如表： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是 （　　） A.E（X）=12 B.E（X）= C.m= D.n= 解析：选BCD　根据分布列可知m+n=1--=①，因为Y=12X+7，所以E（Y）=12E（X）+7=34，解得E（X）=，又由分布列可得1×+2×m+3×n+4×=，整理得2m+3n=②，①②联立解得m=，n=. 6.[多选]已知随机变量ξ的分布列如表： ξ -1 0 1 P a b 记“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，则下列结论正确的有 （　　） A.E（ξ）=-2a B.E（ξ2）= C.P（A）= D.P（A）= 解析：选ABD　由随机变量ξ的分布列知，E（ξ）=-a+b，E（ξ2）=a+b=1-=，所以E（ξ）=-2a，因为“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，ξ的所有取值为-1，0，1，满足事件A的ξ的可能取值为-1，1，所以P（A）=.故选ABD. 7.[多选]设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的有 （　　） ξ 0 1 2 P p-p2 p2 1-p A.E（ξ）随着p的增大而增大 B.E（ξ）随着p的增大而减小 C.P（ξ=0）<P（ξ=2） D.P（ξ=2）的值最大 解析：选BC　因为E（ξ）=p2+2-2p，0<p<1，所以E（ξ）随着p的增大而减小，故A错误，B正确；因为0<p<1，所以P（ξ=0）-P（ξ=2）=p-p2-1+p=-p2+2p-1<0，所以P（ξ=0）<P（ξ=2），故C正确；因为0<p<1，所以当<p<1时，P（ξ=1）-P（ξ=2）=p2+p-1>0，故当<p<1时，P（ξ=1）>P（ξ=2），故D错误.故选BC. 8.（5分）已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=0.4，设ξ=2X-3，那么E（ξ）=　　　　.  解析：E（X）=1×0.4+0×（1-0.4）=0.4，E（ξ）=2E（X）-3=-2.2. 答案：-2.2 9.（5分）随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1，则P（X=1）=　　　　.  解析：设P（X=1）=p，因为P（X=0）=，E（X）=1，故0×+1×p+2×=1，所以p+-2p=1，解得p=. 答案： 10.（5分）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X（束）的统计（如表），若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是　　　　元.  X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E（X）=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340（束）.设利润为Y，则Y=5X+1.6×（500-X）-500×2.5=3.4X-450，所以E（Y）=3.4E（X）-450=3.4×340-450=706（元）. 答案：706 11.（5分）（2025·全国Ⅰ卷）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E（X）=　　　　.  解析：依题意，X的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为53=125，其中X=1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P（X=1）==；X=2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60种，故P（X=2）==；X=3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情况有5×4×3=60种，故P（X=3）==，所以E（X）=1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）=1×+2×+3×=. 答案： 12.（15分）（2025·北京高考）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P；（3分） （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；（7分） （3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小.（5分） 解：（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P==. （2）设A为“从甲校抽取1人做对”，B为“从乙校抽取1人做对”，则P（A）=0.8，P（）=0.2，P（B）=0.75，P（）=0.25， 设C为“恰有1人做对”，故P（C）=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.35. 依题可知，X可取0，1，2， P（X=0）=P（）=0.05，P（X=1）=0.35， P（X=2）=0.8×0.75=0.6， 故X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E（X）=1×0.35+2×0.6=1.55. （3）设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故P（D）+[1-P（D）]=0.8，即p1+×（1-p1）=0.8，故p1=， 同理有，0.85p2+×（1-p2）=0.75，故p2=，故p1<p2. 13.（15分）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道.学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3. （1）若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望；（7分） （2）如何选择方案，能使得该学生的得分更高?（8分） 解：（1）由题意知，随机变量X的取值可能是0，20，40，60，可得P（X=0）=0.2×0.2×0.2=0.008， P（X=20）=0.8×0.2×0.2+0.2×0.8×0.2+0.2×0.2×0.8=0.096， P（X=40）=0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.384， P（X=60）=0.8×0.8×0.8=0.512，则变量X的分布列如下表所示： X 0 20 40 60 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E（X）=0×0.008+20×0.096+40×0.384+60×0.512=48. （2）若该学生选择方案二，记得分为变量Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，40，50，70， 可得P（Y=0）=0.3×0.2×0.2=0.012， P（Y=10）=0.3×0.2×0.2=0.012， P（Y=20）=0.3×0.8×0.2×2=0.096， P（Y=30）=0.3×0.8×0.2×2+0.4×0.2×0.2=0.112， P（Y=40）=0.3×0.8×0.8=0.192， P（Y=50）=0.3×0.8×0.8+0.4×0.8×0.2×2=0.32， P（Y=70）=0.4×0.8×0.8=0.256，则变量Y的分布列为 Y 0 10 20 30 40 50 70 P 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以E（Y）=0×0.012+10×0.012+20×0.096+30×0.112+40×0.192+50×0.32+70×0.256=47.结合（1）知E（X）>E（Y），所以选择方案一，能使得该生的得分更高. 学科网（北京）股份有限公司 $