7.1.2 全概率公式 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．已知事件A，B满足P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则P(B)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意可得P()＝1－P(A)＝， P(B|)＝1－P(|)＝， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 2．设甲乘火车、汽车前往目的地的概率分别为0.4，0.6，火车和汽车正点到达目的地的概率分别为0.8，0.9，则甲正点到达目的地的概率为(　　) A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84 解析：选C．设A＝“甲正点到达目的地”，B＝“甲乘火车到达目的地”，C＝“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.86. 3．现有完全相同的甲、乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B．记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取出黑球”， 则P(A)＝P()＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝， 由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 4．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生有40%的人近视，而该校有20%的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则这名学生近视的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设A1＝“每天玩手机超过1 h”，A2＝“每天玩手机不超过1 h”，B＝“任意调查一名学生，这名学生近视”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥， P(A1)＝20%＝0.2，P(A2)＝80%＝0.8， P(B|A1)＝50%＝0.5，P(B)＝40%＝0.4， 依题意得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝0.2×0.5＋0.8×P(B|A2)＝0.4， 解得P(B|A2)＝， 所以这名学生近视的概率为. 5．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1，2，3，4， 易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝， 事件B表示“y＝2”， 则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝， P(B|A3)＝，P(B|A4)＝， 所以P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×(0＋＋＋)＝. 6．(多选)已知箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝ 解析：选AD．P(A)＝＝，A正确； P(B|A)＝＝＝，C错误； P(B|)＝＝＝，D正确； 由全概率公式可知， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝，B错误． 7．某校男女生人数之比为11∶9，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为________． 解析：由全概率公式可得该校学生的近视率为×0.4＋×0.6＝0.49. 答案：0.49 8．已知盒子中有6个白球，4个黑球，不放回地每次任取1个，连取2次，则第二次取到白球的概率为________． 解析：设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”， 则B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝0.6. 答案：0.6 9．某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一、二、三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是0.8，0.7，0.5，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为________． 解析：设事件Ai表示“选到i级队员(i＝1，2，3)”，事件B表示“任选一名队员通过选拔进入比赛”，A1，A2，A3两两互斥，则P(A1)＝＝0.5，P(A2)＝＝0.25，P(A3)＝＝0.25，P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.5，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.5×0.8＋0.25×0.7＋0.25×0.5＝0.7. 答案：0.7 10．(15分)中国象棋具有悠久的历史，是中华文化博大精深的体现之一．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛．小明作为选手参加，除小明以外的其他参赛选手，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3，0.4和0.5. (1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(7分) (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．(8分) 解：(1)设事件Ai＝“小明与第i(i＝1，2，3)类棋手比赛”，由题意得P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.25，P(A3)＝0.25， 记事件B＝“小明获胜”， 则有P(B|A1)＝0.3， P(B|A2)＝0.4，P(B|A3)＝0.5， 由全概率公式，得小明在比赛中获胜的概率P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.3＋0.25×0.4＋0.25×0.5＝0.375. (2)小明获胜时，与小明比赛的棋手为一类棋手的概率P(A1|B)＝＝＝＝0.4，即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4. 11．(多选)若0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列式子中成立的为(　　) A．P(A|B)＝ B．P(AB)＝P(A)P(B|A) C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) D．P(A|B)＝ 解析：选BCD．由条件概率的计算公式知，A错误；B，C显然正确； D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，　 所以P(A|B)＝＝ ＝，故D正确． 12．中国邮政陆续发行了多款冬奥会纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”“雪容融”等．小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”“雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示事件小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”，小李再随机取出一张邮票，以B表示事件他取出的邮票是“冰墩墩”，则P(B|A2)＝________，P(B)＝________． 解析：依题意，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A2)表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下，小李取到一张“冰墩墩”的概率，则P(B|A2)＝＝. 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝. 答案：　 13．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，假设该中学高一、高二、高三年级学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2，0.25，p(0＜p＜1).已知从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，若该中学高三年级的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一年级的学生阅读完《红楼梦》的概率，则p的取值范围是________． 解析：从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，设事件A1＝“学生来自高一年级”，A2＝“学生来自高二年级”，A3＝“学生来自高三年级”，设事件B＝“学生阅读完《红楼梦》”，则由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×0.2＋×0.25＋×p＝0.155＋0.3p≤0.233，解得p≤0.26.因为该中学高三年级的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一年级的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以p≥0.2，故p的取值范围是[0.2，0.26]. 答案：[0.2，0.26] 14．(17分)某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/个，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/个和800元/个，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/个． (1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；(5分) (2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；(5分) (3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例承担，则它们各自承担的维修费用分别为多少？(7分) 解：(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8－a，由已知可得600a＋800×(0.8－a)＋500×0.2＝640，解得a＝0.5. 所以需要从甲厂订购10×0.5＝5万个配件M，从乙厂订购10×(0.8－0.5)＝3万个配件M. (2)由(1)知该汽车厂需要从甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2， 所以该汽车厂使用的配件M的次品率为0.5×0.04＋0.3×0.02＋0.2×0.01＝0.028， 所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028. (3)设A＝“该轿车使用了次品配件M”，B1＝“配件M来自甲厂”，B2＝“配件M来自乙厂”，B3＝“配件M来自本厂”． 由(2)可知P(A)＝0.028， 所以P(B1|A)＝＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝＝， 所以甲厂承担的费用为14 000×＝10 000(元)，乙厂承担的费用为14 000×＝3 000(元)，本厂承担的费用为14 000×＝1 000(元). 学科网（北京）股份有限公司 $