7.1.2 全概率公式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7.1.2　全概率公式 1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.已知事件A，B满足P（A）＝，P（B｜A）＝，P（｜）＝，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 3.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（　　） A. B. C. D. 4.甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（　　） A. B. C. D. 5.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有（　　） A.P（A｜B）＝ B.P（AB）＝P（A）P（B｜A） C.P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） D.P（A｜B）＝ 7.〔多选〕现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件Ci表示“球取自i号盒子”，则（　　） A.P（A）＝ B.P（B）＝ C.P（C1｜A）＝ D.P（C2｜B）＝ 8.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为　　　　. 9.某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是　　　　　. 10.李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率. 11.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（　　） A. B. C. D. 12.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知某个小孩说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（　　） A. B. C. D. 13.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票价格将上涨的概率为　　　　. 14.甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞碟被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率. 15.某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响，且它们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9.已知若三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；若有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；若有两个部件不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.6；若三个部件都不是优质品，则组装后的仪器的不合格率为0.9. （1）求仪器的不合格率； （2）若已发现一台仪器不合格，则它有几个部件不是优质品的概率最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2　全概率公式 1.B　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝. 2.C　由题意可得：P（）＝1－P（A）＝，P（B｜）＝1－P（｜）＝，所以P（B）＝P（B｜A）·P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝.故选C. 3.D　设A＝“先取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个地区的报名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝P（Bi）·P（A｜Bi）＝×＋×＋×＝. 4.D　用事件A，B分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则，分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是P（A）＝0.6，P（｜A）＝0.7，P（B｜）＝0.9，P（）＝0.4，P（｜）＝0.1，因此P（）＝P（｜A）·P（A）＋P（｜）P（）＝0.7×0.6＋0.1×0.4＝0.46，所以P（A｜）＝＝＝＝.故选D. 5.B　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P（A）＝P（Bk）·P（A｜Bk）＝×＋×＋×＝.P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 6.BCD　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜），故D正确.故选B、C、D. 7.BCD　由题意可得：P（C1）＝P（C2）＝P（C3）＝，P（A｜C1）＝，P（A｜C2）＝，P（A｜C3）＝1，对于A：由全概率公式可得P（A）＝P（C1）P（A｜C1）＋P（C2）P（A｜C2）＋P（C3）P（A｜C3）＝×＋×＋×1＝，故A错误；对于B：P（B）＝1－P（A）＝，故B正确；对于C、D：P（C1｜A）＝＝＝＝，故C正确；P（C2｜B）＝＝＝＝，故D正确.故选B、C、D. 8.　解析：设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的1道题”为事件D，则P（B）＝，P（C）＝＝，P（D）＝，由全概率公式可得P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＋P（D）P（A｜D）＝×1＋×＋×＝. 9.70%　解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%，解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 10.解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出租车迟到的概率，P（B｜）是骑自行车迟到的概率. 根据题意P（A）＝0.01，P（B｜）＝0.05，P（B｜A）＝0.50. 因为A，互斥，所以AB，B互斥. 所以P（B）＝P（AB∪B）＝P（AB）＋P（B）. 因为P（A）＞0，P（）＞0，由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.01×0.50＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5. 11.B　设A＝“发送的信号为0”， B＝“接收到的信号为0”，则＝“发送的信号为1”， ＝ “接收到的信号为1”.由题意得P（A）＝P（）＝0.5，P（B｜A）＝0.9，P（｜A）＝0.1，P（B｜）＝0.05，P（｜）＝0.95，P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）·P（B｜）＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，P（｜B）＝＝＝.故选B. 12.D　设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，则P（B｜A）＝0.1，P（B｜）＝0.5，P（A）＝0.9，P（）＝0.1，则P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝0.9×0.1＝0.09，P（B）＝P（）P（B｜）＝0.1×0.5＝0.05，故P（B）＝P（AB）＋P（B）＝0.14，故P（A｜B）＝＝＝.故选D. 13.64%　解析：设A＝“利率下调”，＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”.依题意知P（A）＝60%，P（）＝40%，P（B｜A）＝80%，P（B｜）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 14.解：设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B， 依题意，得P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝1. 由全概率公式P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）， 设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3， 则P（A1）＝P（H1＋H2＋H3）， P（A2）＝P（H1H2＋H1H3＋H2H3），P（A3）＝P（H1H2H3）， 又P（H1）＝0.4，P（H2）＝0.5， P（H3）＝0.7， 所以P（A1）＝0.36，P（A2）＝0.41， P（A3）＝0.14， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3） ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 故飞蝶被击落的概率为0.458. 15.解：记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质品”，i＝0，1，2，3，显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组， P（B｜A0）＝0，P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝0.9， P（A0）＝0.8×0.7×0.9＝0.504， P（A1）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398， P（A3）＝0.2×0.3×0.1＝0.006， P（A2）＝1－P（A0）－P（A1）－P（A3）＝0.092. （1）应用全概率公式，有：P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.504×0＋0.398×0.2＋0.092×0.6＋0.006×0.9＝0.140 2. （2）应用贝叶斯公式，有：P（A0｜B）＝0， P（A1｜B）＝＝， P（A2｜B）＝＝， P（A3｜B）＝＝. 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $