6.2.3 6.2.4 第1课时 组合与组合数-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

数学选择性必修第三册课堂学案 【例题3】书架上某一层有5本不同的书，新买了 [名师点评]上述方法一称为“整体法”，“整体 3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺 法”是解决定序问题的基本方法，解决此类问 序不变，则不同的插法种数为 ) 题时要先分清元素特征，再进行排列. A.60 B.120 C.336 D.504 【练习3】(1)某中学为迎接新年到来，筹备“唱响 [解析]方法一新买3本书后，书架上共8 时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺 本书，这8本书的不同排法有A种，而原有 晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学 的5本书对应的不同排法有A种，所以不同 生节目中增加2个教师节目，若保持原来5 的指法种载为=泥=36，故造C须 个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节 目有 种不同的排法（用数字作答） 方法二将新买的3本书逐一插进去：第1 (2)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮 本书插入5本书形成的6个空隙中的1个， 各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到 有6种插法：第2本书插入6本书形成的7个 右，女生从矮到高排列，有 种排法 空隙中的1个，有7种指法：最后1本书插入 7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插 法，根据分步乘法计数原理，不同的插法种数 为6×7×8=336.故选C项. [答案]C 随堂检测学以致用 答案见P 1.从6名同学中选出正，副组长各1名，不同的 3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大 选法有 ( 会》的现场录制，5人坐一排，则小明的父母都与 A.11种 B.15种 他相邻的排法共有 种（用数字作答）. C.30种 D.36种 4.排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合 2.用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位 数，其中偶数的个数为 ( 唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合 A.120 B.72 条件的排法共有 种（用数字作答）. C.60 D.48 提示完成P课时作业（四） 6.2.3组 合 6.2.4组合数 课标要求 学法指导 1.通过实例，理解1.学会区分“排列问题”和“组合问题”.取出若干元素后，“需要按照一定的顺 组合的概念 序排成一列”的是排列问题，“不需要考虑顺序合成一组”的是组合问题。 2.能利用计数原2.对组合数的两个性质重在会解释，并运用于计算之中 理推导组合数3.通过学习组合的概念、组合数公式，以及解决有限制条件的组合问题，发展 公式 数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养 ·18· 第六章计数原理 第1课时 组合与组合数 必备知识基础落实 答案见P 口问题导入 >思考：(1)组合对元素有何要求？ (2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘. 问题1：所得商和积的个数相同吗？ 问题2：它们是排列吗？ 要点二 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 定义 的所有 的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数 表示法 组合数 乘积式 G- 问题3：任取两个数相乘如何理解？ 公式 阶乘式 G- 性质 C=C*C=C+C 备注 ①n,m∈N且m≤≤n,②规定：C=1 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需 准备多少种车票是组合问题 口微梳理 (2)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有 多少种分工方法是排列问题。 () 要点一 组合 (3)把3本相同的书分给5个学生，每人最多 1.定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤ 得1本，有几种分配方法是组合问题.() n)个元素作为 ,叫做从n个不同元素 (4)由于组合数的两个公式都是分式，所以结 中取出m个元素的一个组合. 果不一定是整数 () 2.相同组合：只要两个组合的 ,不论元 (5)区别组合与排列的关键是看元素是否与顺 素的顺序如何，都是相同的组合 序有关 () ·19 数学选择性必修第三册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 组合的有关概念 【变式1】（多选）下列说法是组合问题的是 【例题1】判断下列各事件是排列问题还是组合 问题 A.由1,2,3,4构成的含3个元素的集合 (1)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个， B.从7名班委中选2人担任班长和团支书 组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ C.从数学组的10名教师中选3人去参加市 (2)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个， 里的新课程研讨会 组成一个集合，这样的集合有多少个？ D.由1,2,3,4组成无重复数字的两位数 (3)10支球队进行单循环赛（每两队比赛一 次)，共需进行多少场次的比赛？ (4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情 况共有多少种？ 探究二 组合数的计算公式及其性质 【例题2】(1)计算：C。-CA. 2尼知号+g-g求m 规律总结 判断是否为组合问题的方法 分析问题 选出一个结果 交换站米中任邀两个元素的位翼 南必有 钻果 是6清教无州 排列列题 麒合问题 ·20· 第六章。计数原理 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑 规律总结 球，有多少种取法？ (1)组合数公式形式的选择规律 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， ①公式C-尖-n-1D6-26rr+1D 有多少种取法？ Ac 72l 般用于求值、计算： ②公式C”= ml(n二m月，m∈N,且m≤ n! n),一般用于化简、证明. (2)根据题目特点合理选用组合数的两个性 质：C”=C"m,C”+t=Cm十C”-1能起到简化 运算的作用，需熟练掌握 【变式2】(1)下列计算结果为21的是 A.A￥+C号 B.C C.A D.C号 (2)解方程或不等式. ①C浴'=C%3:②C>C. 规律总结 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它 是不是组合问题，组合问题与排列问题的根 本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序 有关，而组合问题与取出元素的顺序无关 (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与 分步的灵活运用。 [注意]在分类和分步时，一定要注意有无重 复或遗漏 【变式3】(1)(2023·全国乙)甲、乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2种，则这两人选读 探究三简单的组合应用问题 的课外读物中恰有1种相同的选法共有 【例题3】一个口袋内装有大小相同的4个白球 和1个黑球 A.30种 B.60种 (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ C.120种 D.240种 ·21· 数学选择性必修第三册课堂学案 (2)集合{0,1,2,3}中含有3个元素的子集个 【练习1】已知C=C8,则x的值为() 数是 A.6 B.8 C.12 D.8或12 性质2：C01=C”十C”1 证明C+C= m!Gr m)!(m-D)!n-GmD! _n!(n-m+1)+n!m_(n-m+1+m)n! m!(n-m十1)！ m!(n-m十1)1 微专题 (十1)！ m!n-m干1D1-C所以C1=C+C. 组合数性质的证明与拓展 性质1：Cg=C%" [说明](1)等式特，点：下标相同而上标差1的 [证明]方法一C= 两个组合数之和，等于下标比原下标多1，而 m!(n-m)川 上标与大的数相同的一个组合数 n! (n-m)!tm (n-m)!-C". (2)公式作用：颜用（将一个组合数拆成两 方法二一般地，从n个不同元素中取出m个 个)、逆用（合二为一）、恒等变形（如C= 元素后，必然剩下(n一m)个元素，因此从n个不 C+1一C),简化运算 同元素中取出m个元素的组合，与剩下的(n 【练习2】C+C十C+C+C%+C= m)个元素的组合一一对应，因此从n个不同的 A.Cio B.Cio C.Co D.Ch 元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个 不同的元素中取出(n一m)个元素的组合数，即 公式拓展 C增=Cm. 常见组合数恒等式 [说明](1)等式特点：等式两边下标相同，上 a)C=”=m+1C;(2)C=n 标之和等于下标。 (2)公式作用：①C=Cx=y或x十y=: C1:(3)C=”C,(4)C+C+1+…+ ②当m>号时，计算C可变为计算C,能够 C-1+C=C|:(5)CCW+C。1C+…+ 使运算简化。 C”Cn=C+: 随堂检测学以致用 答案见P 1.从2,3,5,7,11,13,17,19这八个数中任取两 A.A种 B.C种 个，则下列问题是组合问题的为 C.720种 D.120种 A.相加，可以得到多少个不同的和 3.已知6C=A,则正整数= B.相乘，可以得到多少个不同的积 A.3 B.4 C.相减，可以得到多少个不同的差 C.5 D.6 D.相除，可以得到多少个不同的商 4.从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个，列出 2.(多选)把三张游园票分给10个人中的3人， 所有组合为 分法有 ( 提示完成P课时作业（五） ·22·边，有A号种撸法，再安排其余5人，有A种排法，根据分步 A种排法：第二步，排其余的3个独唱节目，然后把3个合 乘法计数原理，共有A3A=240(种)排法. 唱节目插入到3个独唱节目产生的4个空位中，有AA好种 ②位置分析法：分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲 排法。根据分步乘法计数原理，符合条件的排法共有 外的6人中选3人排列，有A种排法，然后再排其他位置， AAA=2880(种). 有A种排法，所以共有AA=2880(种)排法. 答案2880 [练习1门解析(1)根据题意，完成这件事可分三步：第一步，将 6.2.3组合 甲、乙两本书摆放在两端，有A号种摆法：第二步，将丙、丁两 6.2.4组合数 本书看成一个整体，考虑两本书的顺序有A号种摆法：第三 步，将丙、丁这个整体与另外2本书全排列，摆放在中间的3 第1课时组合与组合数 个位置，有A种摆法.根据分步乘法计数原理，共有 必备知识·基础落实 A1AA=2×2×6=24(种)不同的摆放方法.故选A项. [问题1]提示不相同. (2)首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考 [问题2]提示从1,3,5,7中任取两个效相除是排列，而相乘不 虑B,C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以 是排列. 互换，利用相绑法可得4A好种，接下来，考虑其余三人的情 [问题3]提示理解为任取两个数组合在一起. 况，其余位置可以互换，可得A种，最后根据分步乘法计数 要点一 原理，得4×A号×A=48(种).故选B项. 1.一组 答系(1)A(2)B 2.元素相同 [练习2]解析(1)排除甲、乙外的3人值班有A种方法，在4 [思考]提示(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个无 个空隙中取2个空隙插入甲、乙有A种方法，所以甲、乙两 素也是不同的 名民警不能相邻值班的排法有AA一72（种）.故选C项. (2)无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地 (2)根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖的学生 抽取。 全排列，有A=24(种)站法，站好后有5个空位，在其中选 要点二 三个空位，安排指导教师，有A=60(种)情况.根据分步乘 不同组合C n(n-1)(n-2)…(n-m十1) 法计数原理，共有24×60=1440（种）符合题意的站法 m! 答室(1)C(2)1440 n! m!(n-m)1 [练习3]解析(1)在5个学生节目中增加2个教师节目，共有7 [辨析]解析(1)错误.因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是 个节目，把7个节日看成有顺序的7个位置，将这7个位置 不同的，故是排列问题 挑出2个位置安排给2个教师节目，共有A号=42（种）安排 (2)正确.因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种， 方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来 按一定次序分给3个人去千，所以是排列问题. 5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共 (3)正确.因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人， 有42×1=42（种）不同的排法. 都不需考虑他们的顺序，故是组合问题 (2)方法一7名学生的排列方法共有A种，其中女生的 (4)错误.C”是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故 排列方法有A意种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其 C一定是正整数 中的一种，故不同的排法共有 =A=840(种). (5)正确.组合与排列的不同之处是组合选出的元素没有顺 方法二设想有7把椅子让4名男生去坐，共有A时种方 序，而排列有顺序 法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的 答(1)×(2)√(3)/(4)×(5)/ 排列只有一种，故不同的坐法共有A:=840(种). 关键能力·素养提升 答率(1)42(2)840 [例题1门解析(1)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变 随堂检测·学以致用 这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数 1,C解析从6名同学中选出正，剔组长各1名，不同的选法 (2)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3 有A=30(种).故选C项. 个数字的顺序，其构成的集合都不变 2.B解析由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在2,4， (3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先 6中任选一个数，有3种选择，其他数位任意排列，根据分步乘 谁后，没有顺序的区别. 法计数原理，所求偶数的个数为3八=3X24=72.故选B项. (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚 3解折小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 军、乙队得冠军是不一样的情况，是有顺序区别的. 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A=2(种)排法，将 [变式1门AC解析A项中选出的元素构成集合，是组合问题： 这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A=6(种)排法，此时共 B项中2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列 有2×6=12（种）不同的捧法 问题；C项中选出的3人去参加研讨会，是组合问题；D项 答系12 中2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问 4.解析第一步，先排两头，从5个独唱节目中选2个排两头，有 题.故选AC项. ·166· [例题2]解扬1)原式=C。-A=10X9X8X7-7X6X5= 4X3×2×1 3.C照面由6C=A得6×ug)=n(m-1D(m-2)(≥ 2×1 210-210=0. 3),解得n=5.故选C项. 4! 51 1 4解析要想列出所有组合，做到不重不漏，就要先将元素按照 一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地 61 m6m1,整理得㎡-13m十22=0，解得m=2或m=11, 标示出来，如图所示.故所有组合为ab,ac,ad,ae,c,d,be, 由题意得0≤m≤4，m∈N°，所以m=2. cd,ce.de. [变式2匀服霸1G--21.故选D项 答率D ab,ac,ad,ae,be.bd,be,cd.ce,de (2)①由原方程得x十1=2x一3或x+1+2.x一3=13，解得 第2课时组合数的综合应用 0x+1≤13， 关键能力·素养提升 x=4或x=5.由02-313，得2<r8且rN. [例题1]解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种 x∈N, 数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，则共 故原方程的解为x=4或x=5. 有C。=45(种)不同的选法. n ②由C>C得4！(n-4)I61(m-61 (2)可把问题分两步：第一步，从6名男教师中选2名，有C% 种选法：第二步，从4名女教师中选2名，有C种选法.根 n≥6， 所以m-9m-10<0. 据分步乘法计数原理，共有CC=15×6=90(种)不同的 1-1<<10, 即 选法」 n≥6， n≥6. (3)方法一至少有1名男教师可分两类：1男1女，有 又n∈N,所以该不等式的解集为{6,7,8,9. CC种选法；2男0女，有C种选法，根据分类加法计数原 [例题3]解析(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数 理，共有CC十C=39(种)不同的选法， 是Cg=10. 方法二选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师，也 (2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是需要从4 就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数 个白球中取出2个，取法种数是C碍=6. 减去2名都是女牧师的选法种数，即C一C=39(种). (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球 [变式1门解析(1)符合题意的组队方案可分为两类：一男两女， 中取出3个，取法种数是C=4 有CC=5×6=30(种)：两男一女，有CC=10×4=40 [变式3]解析(1)甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C= (种).所以不同的组队方案共有30十40=70（种）.故选 6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的 D项. 读物，有CC=20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共 答系D 有6×20=120（种）选法.故选C项. (2)①可把问题分两类： (2)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的 第一类，选出的2名是男教师，有C种选法： 子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一 第二类，选出的2名是女教师，有C?种选法。 个组合问题，组合数是C=4. 根据分类加法计数原理，共有C+C=15十6=21（种）不同的 答霸(1)C(2)4 选法 [练习1门D解析由C=C8得2x一8=x或2x一8十x= ②2名教师中恰有1名男教师，即选出1男1女，有CC= 28,解得x=8或x=12.故选D项. 6×4=24(种)不同的选法. [练习2]B解折因为C十C+=C,所以C十C十C十 ③方法一至多有1名男教师包括两类：1男1女，有CC C+C+C=C+C+C+C+C+C=C+C+C+ 种选法：0男2女，有C种选法.根据分类加法计数原理，共 C+C=C+C特+Cg+C=C+C十C=C8+C=Co. 有CC十C号=30（种）不同的选法. 故选B项. 方法二选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师，也 随堂检测·学以致用 就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数 1.B解析判断一个问题是否为组合问题，关键是看该问题是 减去2名都是男教师的选法种数，即C一C=30(种). 否与顺序有关，由于诚法与除法不满足交换律，取出的两个 [例题2]解橱方法一以从共线的4个，点中取，点的多少作为 数就与顺序有关，因此不是组合问题：加法与乘法满足交换 分类的标准， 律，与取出的两个数的排序无关.但是由于5+11=3+13， 第1类：共线的4个，点中有2个点为三角形的顶点，共有 11十19=13十17等，故相加，可以得到多少个不同的和，这 CC=48(个)不同的三角形： 个问题不是纯粹的组合问题，只有相乘，可以得到多少个不 第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有 同的积，这个问题是组合问题.故选B项 CC得=112（个）不同的三角形： 2.BD解析三张票没区别，从10个人中选3人即可，即分法 第3类：共线的4个，点中没有点为三角形的顶点，共有C= 有C=120(种).故选BD项. 56(个)不同的三角形. ·167·