6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理，通过青岛到北京交通方式等生活实例导入，结合座位编号、公园路线等问题引导学生抽象原理，辅以例题与跟踪训练，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过原理推导与实例分析发展数学思维，以集合、椭圆等问题训练数学语言表达。帮助学生理解原理本质，教师可高效开展教学。

第六章　计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 第1课时　两个计数原理 及其简单应用 2 新课导入 学习目标 假期从青岛前往北京旅游，有两类交通方式可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁．假如飞机有3个航班可选，高铁有4个班次可选． 那么从青岛到北京共可以选择多少种走法？今天我们这节课来解决此问题！ 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　分类加法计数原理 思考1　用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的座号？ 提示：因为英文字母共26个，阿拉伯数字共10个，所以总共可以编出26＋10＝36种不同的座号． 返回导航 思考2　你能说一说这个问题的特征吗？ 提示：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”，其次，是“或”字的出现，一个座位编号可用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字表示． 因为大写的英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用大写的英文字母编出的座号与用阿拉伯数字编出的座号也互不相同． 这两类座号数相加就得到不同座号的总数． 返回导航 [知识梳理] 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法． m＋n 返回导航 提醒　(1)分类加法计数原理中每类方案都能独立完成这件事，它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事． (2)推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 返回导航 √ 返回导航 【解析】　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1，2，3； 当m＝3时，n＝1，2； 当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 返回导航 √ 解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以m>0，n>0，当m＝1时，n＝1，2，3，4；当m＝2时，n＝1，2，3，4；当m＝3时，n＝1，2，3，4；当m＝4时，n＝1，2，3，4，即所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个). 返回导航 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 提醒　确定分类标准时，一方面要做到分类“不重不漏”，另一方面要确保每一类都能独立地完成这件事． 返回导航 √ [跟踪训练1] (1)一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有(　　) A．3种 B．1 848种 C．37种 D．6种 解析：根据题意，分3类情况讨论：若取出的书为语文类读物，有12种取法；若取出的书为政治类读物，有14种取法；若取出的书为英语类读物，有11种取法，则共有12＋14＋11＝37种取法． 返回导航 √ (2)将1，3，5，7中的任意一个数作为分子，2，4，8，9中的任意一个数作为分母，则可构成真分数的个数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 返回导航 返回导航 二　分步乘法计数原理 已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有三条不同的路，从景点A到东门共有两条不同的路． 返回导航 思考1　若你从公园的西门进入公园，从东门出公园需要经历几个步骤？ 提示：两个步骤：先从西门到景点A，再从景点A到东门． 思考2　完成每一步各有几条路线？ 提示：第1步有3条路线，第2步有2条路线． 思考3　你从西门到东门共有多少种不同的走法？ 提示：共有3×2＝6种不同的走法． 返回导航 [知识梳理] 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法． 提醒　(1)完成一件事的两个步骤，缺一不可，其中的一步不能独立完成这件事． (2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法． m×n 返回导航 [例2] (对接教材例2)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)在平面直角坐标系内，且a，b∈M. (1)平面上共有多少个点P? 【解】　第一步，先安排横坐标a，a∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以a有6种选择；第二步，安排纵坐标b，b∈M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，所以b有6种选择，所以一共有6×6＝36个满足条件的点P. (2)有多少个点P在第二象限内？ 【解】　若点P(a，b)在第二象限内，则a<0，b>0，故a可从－3，－2，－1这3个数字中选择1个，有3种选择，b可从1，2这2个数字中选择1个，有2种选择，故总共有3×2＝6个满足条件的点P. 返回导航 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 提醒　注意完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，将一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有(　　) A．7种 B．12种 C．64种 D．81种 解析：第一步，选上衣，从4件不同款式的上衣中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条不同颜色的长裤中任选一条，有3种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同的配法． 返回导航 √ (2)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法有(　　) A．43种 B．34种 C．7种 D．12种 解析：要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34种报名方法． 返回导航 应用点　两个计数原理的简单应用 [例3] (对接教材例3)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选1幅画布置房间，有几种不同的选法？ 【解】　分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法． 返回导航 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有几种不同的选法？ 【解】　分为三步：第1步，从国画中选1幅，有5种选法；第2步，从油画中选1幅，有2种选法；第3步，从水彩画中选1幅，有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法． 返回导航 (3)从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 【解】　分为三类：第一类是1幅选国画，1幅选油画，有5×2＝10种不同的选法； 第二类是1幅选国画，1幅选水彩画， 有5×7＝35种不同的选法； 第三类是1幅选油画，1幅选水彩画， 有2×7＝14种不同的选法． 所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法． 返回导航 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决，用分步乘法计数原理． 返回导航 [跟踪训练3] 已知集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标． (1)可以得到多少个不同的点？ 解：可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，又A，B中的元素互不相同，则共得到3×4＋4×3＝24个不同的点． (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 解：第一象限内的点，x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数． 所以共有2×2＋2×2＝8个不同的点． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具(一趟只可选1种交通工具)，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内从A地到B地的不同走法数为(　　) A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 解析：由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，则由分类加法计数原理可得共有3＋4＋2＝9种不同走法． √ 返回导航 √ 2．现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为(　　) A．30 B．18 C．12 D．13 解析：先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×10＝30. 返回导航 √ 3．(多选)现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是(　　) A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 √ √ 返回导航 解析：对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，故A正确； 对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，故B正确； 对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，故C错误； 对于D，若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，故D正确． 返回导航 4．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．求： (1)1号盒中无球的不同放法种数； 解：1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有3×3×3＝27种放法． 返回导航 (2)1号盒中有球的不同放法种数． 解：方法一：1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有3×3×3＝27种放法，一类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9种放法，一类是1号盒中有三个球，有1种放法． 共有27＋9＋1＝37种放法． 方法二：三个球随机放入四个盒子中，每个球都有4种放法，共有4×4×4＝64种放法，由(1)知1号盒中无球的放法有27种，所以1号盒中有球共有64－27＝37种放法． 返回导航 1．已学习：(1)两个计数原理； (2)两个计数原理的简单应用． 2．须贯通：用两个计数原理解决具体问题时，要分清是“分类”还是“分步”，区分“分类”还是“分步”的关键是看这种方法能否独立完成这件事情． 在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性． 3．应注意：要明确“分类”与“分步”的标准，避免计数的重复或遗漏． 返回导航 $