8.3 列联表与独立性检验（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“列联表与独立性检验”核心知识点，先通过分类变量概念引入，再构建2×2列联表整理数据，借助等高堆积条形图直观分析，最终学习独立性检验的χ²公式及应用，形成从数据整理到统计推断的完整学习支架。 该资料以吸烟与疾病等现实案例导入，引导学生用数学眼光观察问题。通过性别与工作量看法等例题，培养数据分析和逻辑推理的数学思维，利用列联表、条形图及χ²检验，帮助学生用数学语言表达变量关系。课中辅助教师清晰授课，课后练习题助力学生巩固知识，查漏补缺。

8．3　列联表与独立性检验 新课导入 学习目标 　　有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟是全球健康杀手之一，世界卫生组织固定每年5月31日为世界无烟日．那么这些疾病与吸烟有怎样的关系呢？要回答这个问题，我们先一起来学习本课时的知识吧！ 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义． 2．理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法． 3．了解随机变量χ2的意义. 4．通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想和方法． 一　分类变量与列联表 [知识梳理] 1．数值变量与分类变量 数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义． 分类变量：为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示，例如，性别变量，其取值男和女可以用1和0表示． 2．2×2列联表 定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}的频数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}的频数；中间的四个数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}(x，y＝0，1)的频数；右下角格中的数n是样本容量． [例1] 某单位主管为了解男、女职工对工作量大小的看法是否存在差异，对50名员工进行了工作量的调查，得到的数据如下： 单位：人 性别 工作量 合计 认为工作量大 (Y＝1) 认为工作量小 (Y＝0) 男(X＝1) 18 9 27 女(X＝0) 8 15 23 合计 26 24 50 请判断认为工作量的大小与性别是否有关． 【解】　P(Y＝1|X＝1)＝＝＝≈0.667. P(Y＝1|X＝0)＝＝≈0.348， 所以认为工作量的大小与性别有关系，男职工认为工作量大的概率大于女职工认为工作量大的概率． 利用2×2列联表分析两分类变量间关系的步骤 (1)根据题中数据获得2×2列联表； (2)根据频率特征，将与(或与)的值比较，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响． [跟踪训练1] (1)某地地震引发了海啸及核泄漏．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取110只羊进行了检测，并将有关数据整理为如下的2×2列联表． 单位：只 健康情况 辐射量 合计 高度辐射 轻微辐射 身体健康 30 A 50 身体不健康 B 10 60 合计 C D E 则A，B，C，D的值依次为(　　) A．20，80，30，50 B．20，50，80，30 C．20，50，80，110 D．20，80，110，50 解析：选B.因为30＋A＝50，所以A＝20.因为B＋10＝60，所以B＝50，所以C＝30＋B＝30＋50＝80，D＝A＋10＝20＋10＝30. (2)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人．女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动． ①根据以上数据建立一个2×2列联表； ②由列联表判断性别与主要的休闲方式是否有关系． 解：①2×2列联表如下： 单位：人 性别 主要的休闲方式 合计 看电视 运动 女 30 20 50 男 20 40 60 合计 50 60 110 ②根据列联表中的数据，可得女性中主要的休闲方式为看电视的频率为＝0.6，男性中主要的休闲方式为看电视的频率为≈0.333，二者差别较大，可知性别与主要的休闲方式有关系． 二　等高堆积条形图 [知识梳理] 等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． [例2] (对接教材例1)为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联，分别对病人组和对照组的尿液进行尿棕色素定性检查，结果如下： 单位：人 分组 尿棕色素定性 合计 阳性(Y＝0) 阴性(Y＝1) 病人组(X＝0) 29 7 36 对照组(X＝1) 9 28 37 合计 38 35 73 试作出等高堆积条形图，分析铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联． 【解】　病人组中尿棕色素为阳性和阴性的频率分别为≈0.805 6和≈0.194 4.对照组中尿棕色素为阳性和阴性的频率分别为≈0.243 2和≈0.756 8.作出等高堆积条形图如图所示．其中两个深色条的高分别代表病人组和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出病人组与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关联． 利用等高堆积条形图判断两个分类 变量是否相关的步骤 [跟踪训练2] 根据如图所示的等高堆积条形图，下列说法正确的是(　　) A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高堆积条形图看不出两种手术有什么不同 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握 解析：选D.由题图的等高堆积条形图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的频率不同，所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同，但是没有100%的把握，所以选项D正确． 三　独立性检验 [知识梳理] 1．定义：利用χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 2．基于小概率值α的检验规则 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α成立，我们称xα为α的临界值．如下表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； (2)当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立． [例3] (对接教材例3、例4)某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课堂教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系． 【解】　(1)2×2列联表如表所示： 单位：人 教师年龄 对新课程教学模式 合计 赞同 不赞同 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 (2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关． 由公式得χ2＝≈4.963＜6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关． 解决独立性检验问题的基本步骤 [跟踪训练3] 为了了解少年儿童偏胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表． 单位：人 偏胖 碳酸饮料 合计 常喝 不常喝 偏胖者 2 不偏胖者 18 合计 30 已知从这30名学生中随机抽取1人，抽到偏胖学生的概率为. (1)请将上面的列联表补充完整； (2)依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为偏胖与常喝碳酸饮料有关？ 解：(1)因为从这30名学生中随机抽取1人，抽到偏胖学生的概率为，所以这30名学生中，偏胖学生的人数为30×＝8，完善2×2列联表如表所示． 单位：人 偏胖 碳酸饮料 合计 常喝 不常喝 偏胖者 6 2 8 不偏胖者 4 18 22 合计 10 20 30 (2)零假设为H0：偏胖与常喝碳酸饮料无关， χ2＝≈8.523＞7.879＝x0.005，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为偏胖与常喝碳酸饮料有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 1．利用独立性检验来考察两个分类变量X，Y是否有关系，则随机变量χ2的值(　　) A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大 B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小 C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大 D．与“X与Y有关系”成立的可能性大小无关 解析：选A.独立性检验中，χ2的值越大，犯错误的概率越小，变量之间的相关性越强．说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确． 2．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样的方法在校园内调查了120名学生，数据如表所示： 单位：人 性别 体育锻炼 合计 爱好 不爱好 男 a c 74 女 b 25 合计 73 120 则a－b－c＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C.根据题意可得，c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，所以a－b－c＝52－21－22＝9.故选C. 3．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400人(假设所有高一学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为________． 解析：根据题图可知，喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，按分层随机抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为×23＝15. 答案：15 4．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表： 单位：人 性别 飞盘运动 合计 不爱好 爱好 男 6 16 22 女 4 24 28 合计 10 40 50 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 解：零假设为H0：爱好飞盘运动与性别无关联．根据题中列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈1.299＜6.635＝x0，01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联． 1．已学习：(1)分类变量及列联表；(2)等高堆积条形图；(3)独立性检验及其应用． 2．须贯通：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． 3．应注意：对独立性检验的原理理解不到位，不会用χ2分析问题． 学科网（北京）股份有限公司 $