7.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差及标准差，衔接已学的均值知识，通过甲、乙工人加工零件次品数实例，说明均值无法衡量波动，进而定义方差，梳理计算步骤、性质及实际应用，构建完整的随机变量数字特征学习支架。 以现实问题（工人加工零件、投资决策）为情境，引导学生用数学眼光发现波动问题，通过定义推导和性质应用培养数学思维的逻辑性，结合投资项目方差比较等实例提升用数学语言描述不确定现象的能力。课中例题与跟踪训练辅助教学，课后练习题及总结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

7．3.2　离散型随机变量的方差 新课导入 学习目标 　　均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况做过研究，即研究一组数据的方差．本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散程度的数字特征——方差进行研究． 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 一　离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下表所示． X 0 1 2 P Y 0 1 2 P 思考1　求E(X)，E(Y). 提示：E(X)＝0×＋1×＋2×＝， E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. 思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ 提示：不能，因为E(X)＝E(Y). 思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ 提示：可以考虑谁的成绩稳定或不稳定，集中或分散的指标来区分． [知识梳理] 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． [例1] (对接教材例5)袋中有除颜色外其余都相同的6个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差． 【解】　由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3. P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为 X 5 4 3 P E(X)＝5×＋4×＋3×＝4.D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.(或D(X)＝25×＋16×＋9×－42＝) 　 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)根据题意，写出X的所有可能取值； (2)求出X取每个值对应的概率； (3)写出X的分布列和均值； (4)由方差的定义求出D(X). [跟踪训练1] 小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及方差． 解：由题意，X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝，方差D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 二　离散型随机变量的方差的性质 [知识梳理] 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 1．D(X＋b)＝D(X)； 2．D(aX＋b)＝a2D(X)； 3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)； 4．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. [例2] 已知X的分布列为 X －1 0 1 P a (1)计算X的方差； (2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 【解】　(1)由分布列的性质知＋＋a＝1，解得a＝， 所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝. (2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 　 离散型随机变量方差性质的应用 对于aX＋b型的随机变量的方差，可以先求D(X)，然后利用方差的性质进行求解，即D(aX＋b)＝a2D(X). [跟踪训练2] 随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 0.2 m 已知随机变量Y＝aX＋b(a，b＞0)，且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　) A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10 C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5 解析：选C．由分布列的性质知0.2＋m＝1，解得m＝0.8， 由题意得，X服从两点分布，则E(X)＝0.8，D(X)＝0.8×0.2＝0.16. 因为Y＝aX＋b(a，b＞0)，E(Y)＝10，D(Y)＝4， 所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，① a2D(X)＝0.16a2＝4.② 联立①②并解得a＝5，b＝6. 应用点　方差的实际应用 [例3] (对接教材例6)某投资公司在2026年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目可供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为该投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【解】　若投资项目一，设获利为X1万元，则X1的分布列为 X1 300 －150 P 所以E(X1)＝300×＋(－150)×＝200， D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000. 若投资项目二，设获利为X2万元，则X2的分布列为 X2 500 0 －300 P 所以E(X2)＝500×＋0×＋(－300)×＝200，D(X2)＝(500－200)2×＋(0－200)2×＋(－300－200)2×＝140 000. 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二平均获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 　 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的意义得出结论． [跟踪训练3] 甲、乙两名射手在一次射击比赛中得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击水平． 解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4. (2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2, D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81, D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人的射击水平都不够全面，各有优势与劣势． 1．若随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 0.4 m 则D(X)＝(　　) A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 解析：选C．根据分布列的性质可得m＝1－0.4＝0.6，且X服从两点分布， 所以E(X)＝0.6，所以D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.24.故选C． 2．已知随机变量X，Y满足Y＝aX＋b，且a，b为正数．若D(X)＝2，D(Y)＝8，则(　　) A．b＝2 B．a＝4 C．a＝2 D．b＝4 解析：选C．因为D(X)＝2，D(Y)＝8，所以8＝2a2. 又a为正数，所以a＝2，无法确定b的值． 3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析：选B．因为E(X甲)＝E(X乙)，且D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 4．袋中有形状、质地完全相同的3个球，编号分别为1，2，3，有放回地从袋中取两次，每次取1个球，用X表示取出的2个球中的最大号码． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 解：(1)由题意知X的所有可能取值为1，2，3， 当X＝1时，有(1，1)一种情况； 当X＝2时，有(1，2)，(2，1)，(2，2)三种情况； 当X＝3时，有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)五种情况． 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)由(1)知，X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 方差D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 　 1．已学习：(1)离散型随机变量的方差、标准差；(2)离散型随机变量的方差的性质；(3)离散型随机变量的方差的实际应用． 2．须贯通：求离散型随机变量的方差关键在于：(1)准确求出随机变量的分布列；(2)计算均值E(X)；(3)利用定义计算D(X). 3．应注意：(1)容易对方差公式套用错误；(2)对于标准差和方差的单位容易混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $