7.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7．3.2　离散型随机变量的方差

 

一　离散型随机变量的方差

甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下表所示．

 

思考1　求E(X)，E(Y).

提示：E(X)＝0×＋1×＋2×＝，

E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.

思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？

提示：不能，因为E(X)＝E(Y).

思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？

提示：可以考虑谁的成绩稳定或不稳定，集中或分散的指标来区分．

[知识梳理]

1．定义

设离散型随机变量X的分布列如表所示．

则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).

2．意义

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．

[例1] (对接教材例5)袋中有除颜色外其余都相同的6个小球，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．

【解】　由题意可知，X的所有可能取值为5，4，3.

P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝.故X的分布列为

E(X)＝5×＋4×＋3×＝4.D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.(或D(X)＝25×＋16×＋9×－42＝)

　

求离散型随机变量X的方差的步骤

(1)根据题意，写出X的所有可能取值；

(2)求出X取每个值对应的概率；

(3)写出X的分布列和均值；

(4)由方差的定义求出D(X).

 [跟踪训练1] 小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及方差．

解：由题意，X的可能取值为1，2，3，

则P(X＝1)＝，

P(X＝2)＝×＝，

P(X＝3)＝××1＝，

所以X的分布列为

所以均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝，方差D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝.

二　离散型随机变量的方差的性质

[知识梳理]

设a，b为常数，X为离散型随机变量，则

1．D(X＋b)＝D(X)；

2．D(aX＋b)＝a2D(X)；

3．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；

4．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

[例2] 已知X的分布列为