7.2 离散型随机变量及其分布列（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7．2　离散型随机变量及其分布列

 

一　随机变量的概念

思考1　某人在射击训练中，射击一次，命中的环数能否用数值表示相应结果呢？

提示：试验结果：未命中，命中1环，命中2环，……，命中10环，可用数值0，1，2，…，10表示试验结果．

思考2　篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？

提示：投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分．

[知识梳理]

1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．

2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.

[即时练]

1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)

(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　)

(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量.(　　)

(4)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．(多选)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为(　　)

A．高速公路某收费站在未来1个小时内经过的车辆数X

B．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y

C．某景点7月份每天接待的游客数量

D．袋中有2个黑球、6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性

解析：选AC．对于A，C，收费站在未来1小时内经过的车辆数X和某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量；

对于B，Y是某一范围内任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义；

对于D，事件发生的可能性不是随机变量．

3．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)

A．1，2，3，…，6　　　　　　 B．1，2，3，…，7

C．0，1，2，…，5    D．1，2，…，5

解析：选B．因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数X的可能取值为1，2，3，…，7.

　

判断离散型随机变量的方法

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的试验结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

二　离散型随机变量的分布列

思考　在抛掷一枚质地均匀骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？

提示：X的取值为1，2，3，4，5，6.

[知识梳理]

离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

离散型随机变量的分布列可以用表格表示：

[例1] (对接教材例2、例3)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列．

【解】　根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3，

P(X＝0)＝＝＝，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝.

所以X的分布列为