7.2 离散型随机变量及其分布列（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，从射击、罚球等实际问题导入，抽象出随机变量概念，进而学习离散型随机变量定义、分布列的表示方法与性质，最后掌握两点分布，构建从具体到抽象的知识支架。 该资料以生活实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过思考问题、即时练和例题引导推理，发展数学思维，用分布列表格与概率计算强化数学语言表达。课中辅助教师引导理解，课后练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

7．2　离散型随机变量及其分布列 新课导入 学习目标 　　在射击运动中，运动员射击一次，可能出现不中靶，命中1环，……，命中10环等结果，若用变量X表示他一次射击所命中的环数，你知道该运动员命中环数X的概率分布情况吗？ 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 3．理解两点分布． 一　随机变量的概念 思考1　某人在射击训练中，射击一次，命中的环数能否用数值表示相应结果呢？ 提示：试验结果：未命中，命中1环，命中2环，……，命中10环，可用数值0，1，2，…，10表示试验结果． 思考2　篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ 提示：投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分． [知识梳理] 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量.(　　) (4)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(多选)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为(　　) A．高速公路某收费站在未来1个小时内经过的车辆数X B．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．袋中有2个黑球、6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 解析：选AC．对于A，C，收费站在未来1小时内经过的车辆数X和某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量； 对于B，Y是某一范围内任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量． 3．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　) A．1，2，3，…，6　　　　　　 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5 解析：选B．因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．所以取球次数X的可能取值为1，2，3，…，7. 　 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可以按一定次序一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 二　离散型随机变量的分布列 思考　在抛掷一枚质地均匀骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：X的取值为1，2，3，4，5，6. X 1 2 3 4 5 6 P [知识梳理] 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn [例1] (对接教材例2、例3)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数．设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列． 【解】　根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　 求离散型随机变量的分布列的步骤 [跟踪训练1] 某城市为了加快“两型社会”(资源节约型、环境友好型)的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人(相互独立)来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙两人不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． 解：由题可知，X的可能取值为0，2，4，6，8， 且P(X＝0)＝×＝； P(X＝2)＝×＋×＝； P(X＝4)＝×＋×＋×＝； P(X＝6)＝×＋×＝； P(X＝8)＝×＝. 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 三　分布列的性质及应用 [知识梳理] 分布列的性质： (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． [例2] (1)已知离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y＝2X＋1，则P(Y≥5)＝(　　) X 0 1 2 3 P a 5a A．　　　　　　　 B． C． D． (2)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求|X－1|的分布列． 【解】　(1)选A．由题意得a＋＋5a＋＝1，解得a＝， 而P(Y≥5)＝P(2X＋1≥5)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. (2)依题意，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3，|X－1|的取值为0，1，2，3，又P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.3，则|X－1|的分布列为 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 　 离散型随机变量分布列性质的应用 (1)利用分布列求未知字母的值时，要充分利用概率和为1及概率大于等于0的性质； (2)利用分布列求概率时，关键是确定随机变量的取值，再结合分布列求解． [跟踪训练2] 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P(＜X＜). 解：(1)因为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，所以＝1，所以a＝10，所以P(X＝1或X＝2)＝＝. (2)P(＜X＜)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝. 四　两点分布 [知识梳理] 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． [例3] 已知袋中有除颜色外其余都相同的红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出红球的情形，那么如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布？并求X的分布列． 【解】　从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，有一红一白、两个红球、两个白球三种情况，为此我们定义随机变量X如下： 当X＝0时，两个球不全是红球； 当X＝1时，两个球全是红球． 则X服从两点分布，且P(X＝1)＝＝， 所以P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 　 判断随机变量X是不是服从两点分布的方法 (1)看取值：看随机变量X是否只取0或1两个值． (2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立． 如果满足以上两点，那么该随机变量X服从两点分布，否则不服从两点分布． [跟踪训练3] 若随机变量X只能取0，1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列． 解：由题意及分布列满足的条件知P(X＝0)＋P(X＝1)＝3P(X＝1)＋P(X＝1)＝1，所以P(X＝1)＝，故P(X＝0)＝.所以X的分布列为 X 0 1 P 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 解析：选ABD．因为A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 因为B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来， 所以C中的X不是离散型随机变量． 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则m的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由离散型随机变量的分布列的性质知，＋m＋＋＝1，解得m＝. 3．已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.6.设Y＝3X－2，那么P(Y＝－2)＝(　　) A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 解析：选D．当Y＝－2时，由3X－2＝－2⇒X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.6＝0.4. 4．某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛．设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X，求X的分布列． 解：由题意知，X的所有可能取值为－3，－1，1， P(X＝－3)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝＝， 所以X的分布列为 X －3 －1 1 P 1．已学习：(1)随机变量、离散型随机变量的概念；(2)离散型随机变量的分布列的概念及性质；(3)两点分布． 2．须贯通：(1)实际问题中用随机变量表示随机试验的结果；(2)pi＝1是分布列正确的必要不充分条件． 3.应注意：随机变量的取值意义不明确导致分布列求解错误． 学科网（北京）股份有限公司 $