6.2.1 排列（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6．2　排列与组合

6．2.1　排　列

 

一　排列的有关概念

思考1　鲁H·G12345与鲁H·G54321一样吗？

提示：不一样，数字顺序不一样，号牌就不同．

思考2　小张要在甲、乙、丙三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？

提示：如图所示，共有6种不同的选择方式．

[知识梳理]

1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2．两个排列相同的充要条件：

(1)两个排列的元素完全相同；

(2)元素的排列顺序也相同．

[例1] 下列哪些问题是排列问题：

(1)从10名学生中抽2名学生开会；

(2)从2，3，5，7，9中任取两数分别为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？

(3)北京、上海、深圳三个民航站之间的直达航线的飞机票；

(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．

【解】　(1)抽2名学生开会没有顺序，不是排列问题．

(2)显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关，是排列问题．

(3)飞机票有起点和终点之分，故飞机票与顺序有关，是排列问题．

(4)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，与顺序有关，是排列问题．

　

判断一个问题是否为排列问题的方法

提醒　交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．

[跟踪训练1] (多选)下列问题属于排列问题的是(　　)

A．从10个人中选2人分别去种树和扫地

B．从10个人中选2人去扫地

C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队

D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数进行幂运算

解析：选AD．由排列与顺序有关，可知A，D是排列问题，B，C不是排列问题．

二　画树状图写排列

[例2] 四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？并写出所有坐法．

【解】　按照A→B→C→D的顺序安排位置，A有4种坐法，B有3种坐法，C

有2种坐法，D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24种坐法．画出树状图．

由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA．

　

用树状图法列举排列的关注点

(1)适用范围：排列元素的个数不多；

(2)策略：先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列．

提醒　分类时要做到不重不漏．

[跟踪训练2] 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出所有的三位数．

解：画出树状图，如图所示．

由树状图知，所有的三位数为：

123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个三位数．