第八章 一元二次方程 章末复习学案2025- 2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章 一元二次方程 章末复习学案 一、知识梳理（核心考点回顾） （一）一元二次方程的定义与一般形式 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 三个关键条件（缺一不可）：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2（二次项系数不为0）。 3. 一般形式：（），其中： · 是二次项， 是二次项系数（）； · 是一次项， 是一次项系数； · 是常数项。 4. 特殊形式：当 时，方程为；当 时，方程为 ；当 且 时，方程为 。 5. 一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（也叫根）。一个一元二次方程如果有解，通常有两个解，这两个解可能相等，也可能不相等。 （二）一元二次方程的解法（重点） 核心思路：将一元二次方程转化为一元一次方程（降次），常用方法有4种，具体如下： 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 直接开平方法 方程可化为 （）或 （）的形式 两边直接开平方，转化为两个一元一次方程求解 当 时，方程无实数根；开平方时要注意正负两种情况 配方法 所有一元二次方程（尤其二次项系数为1，一次项系数为偶数的方程） 1. 移项：将常数项移到等号右边；2. 化二次项系数为1（若不为1）；3. 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方；4. 化为 形式，再开平方求解 配方时，两边加上的是“一次项系数一半的平方”，注意符号；二次项系数不为1时，需先将系数化为1，再配方 公式法 所有一元二次方程（通用方法，尤其不适用于直接开平方法、因式分解法的方程） 1. 将方程化为一般形式 （）；2. 计算判别式 ；3. 若 ，代入求根公式 求解 求根公式的前提是 且 ；计算时注意符号和根式化简 因式分解法 方程右边为0，左边能因式分解（提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法） 1. 移项：使方程右边为0；2. 将左边因式分解为两个一次因式的积；3. 令每个因式等于0，解两个一元一次方程 因式分解要彻底；注意“若 ，则 或 ”的应用，不可直接约去含未知数的因式（避免漏根） （三）一元二次方程根的判别式（难点） 对于一元二次方程 （），判别式 ，其符号决定方程根的情况： · 当 时，方程有两个不相等的实数根； · 当 时，方程有两个相等的实数根； · 当 时，方程没有实数根。 备注：判别式的应用前提是方程为一元二次方程，即；若题目中未明确方程为一元二次方程，需分 （一元一次方程）和 （一元二次方程）两种情况讨论。 （四）一元二次方程根与系数的关系 1. 核心结论：对于一元二次方程 （），若其两个实数根为 、，则： ， 2. 重要前提：方程有实数根，即 ；若，方程无实数根，根与系数的关系不成立。 3. 常见变形：；。 （五）一元二次方程的应用（高频考点） 1. 解题步骤（六步法）：审（审题，找等量关系）→ 设（设未知数，带单位）→ 列（列一元二次方程）→ 解（解方程）→ 检（检验解的正确性和实际意义）→ 答（写出答案，带单位）。 2. 常见应用类型及等量关系： · 增长率（降低率）问题：（ 为起始量， 为终止量， 为平均增长率/降低率， 为增长/降低次数）； · 传播问题：若1人传播 人，两轮传播后总人数为 ； · 几何图形问题：利用矩形、三角形、圆等图形的面积公式、周长公式，结合动点、折叠等条件找等量关系； · 商品销售问题：总利润 = 单件利润×销售量；单件利润 = 售价 - 进价；售价 = 进价×(1 + 利润率)； · 数字问题：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字，结合数字关系列方程。 二、易错点突破（高频易错提醒） 1. 忽略一元二次方程的定义条件：判断方程是否为一元二次方程时，忘记“二次项系数 ”，或未将方程化为一般形式就判断；例如：方程 ，若未说明 ，则不一定是一元二次方程。 2. 配方法出错：配方时，二次项系数不为1却直接配方，或忘记“两边同时加上一次项系数一半的平方”；例如：将 配方时，未先将二次项系数化为1，直接加4，导致错误。 3. 因式分解法漏根：解方程时，直接约去含未知数的因式（如 ，约去 ，漏根 ），正确做法是移项后因式分解。 4. 判别式应用错误：未先判断 就用判别式，或忽略根与系数的关系的前提（）；例如：已知方程两根之和与积求字母系数时，未检验 ，导致字母取值范围出错。 5. 实际应用忽略检验：解方程后，未检验解是否符合实际意义（如长度、人数、增长率不能为负数），直接写答案。 三、典例精讲（针对性突破） 题型1：一元二次方程的定义与一般形式 例1：下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 题型2：一元二次方程的解法 例2：用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） （3） 题型3：根的判别式的应用 例3：已知关于 的一元二次方程 ，判断方程根的情况。 题型4：根与系数的关系的应用 例4：已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 题型5：一元二次方程的实际应用 例5：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 4、 分层练习（巩固提升） 基础题（必做，巩固基础） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.将方程 化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3.用因式分解法解方程 ，解得（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知方程 有两个相等的实数根，求 的值。 5. 已知 、 是方程 的两个根，求 和 的值。 提升题（选做，深化能力） 1. 用配方法解方程 。 2. 已知关于 的一元二次方程 有实数根，求 的取值范围。 3. 已知 、 是方程 的两个根，求 的值。 4. 某工厂今年一月份的产值为100万元，三月份的产值为121万元，求二、三月份的平均增长率。 拓展题（挑战，综合应用） 已知关于 的方程 ，求证：无论 取何值，方程总有实数根；若方程的两个根的和为5，求 的值及方程的两个根。 五、总结反思 1. 本章核心知识点：一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系及实际应用，其中解法的灵活选择和实际应用的等量关系寻找是重点，判别式的应用条件和实际意义检验是易错点。 2. 我的收获：________________________________________________________________ 3. 我的困惑：________________________________________________________________ 4. 改进措施：________________________________________________________________ 分层训练参考答案与解析 基础题 1. B 2. A 3. A 4. （解析：，解得 ） 5. ， 提升题 1. ，（解析：配方得 ，开平方求解）； 2. 且 （解析：分 和 讨论， 时 ）； 3. （解析：）； 4. 10%（解析：设平均增长率为，列方程 ，解得）。 拓展题 1. 证明：，故无论 取何值，方程总有实数根；由韦达定理得 ，解得 ，方程为 ，两根为 ，； 2. 或 （解析：，，面积 ，整理得 ，解得 或 ，均符合题意）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $