精品解析：山东省青州第一中学2025-2026学年高三下学期普通部二轮专题复习模拟考试（二）数学

青州一中高三普通部二轮专题复习模拟考试（二）数学 一、单选题 1. 已知集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 3. 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 6. 已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是1 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. ， C. D. 三、填空题 12. 已知向量不共线，且，则实数___________. 13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 14. 某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为___________． 四、解答题 15. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有． （1）求角A； （2）若BC边上的高，求． 16. 已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8. （1）求的方程； （2）直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径. 17. 如图，四棱锥中，平面，， ，. （1）求证： ； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 18. 在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. （1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； （2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； （3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当 时，). 19. 已知函数在时取得极值. （1）求，并讨论的单调性. （2）设是公比为的等比数列. （i）若，证明：. （ii）是否存在满足：，均为正整数且 ，使得成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青州一中高三普通部二轮专题复习模拟考试（二）数学 一、单选题 1. 已知集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、后，利用并集定义计算即可得. 【详解】由，可得 ，则， 由，可得，即，即， 故. 2. 已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】先应用等差数列项的性质计算得出，再结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，且 ， 又 ，所以，解得， 则 . 3. 在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得. 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 4. 在中，“”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】先考查充分性： 由，可得， 整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确； 再考查必要性： 若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立. 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 5. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 6. 已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 7. 图1是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，依题意可得，即可求解． 【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以. 8. 点 P 在以为焦点的椭圆 上，若 ，且 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率. 【详解】中，若 则，所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为 ，则椭圆的离心率. 二、多选题 9. 一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、百分位数定义与极差定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B错误； 对C：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故C正确； 对D：，，故D错误. 10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是1 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，化简方程为，结合曲线的对称性，画出曲线的图象，结合图象，可得判定A正确，把表示曲线上的点到直线的距离的倍，可判定B错误；结合圆的面积公式和正方形的面积公式，可判定以C正确；设表示点与点确定的直线的斜率，结合图象，利用点到直线的距离公式，列出方程，可得判定D正确. 【详解】当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又由图象关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.， 对于A中，由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称， 所以该曲线有4条对称轴，所以A正确， 对于B中，由表示曲线上的点到直线的距离的倍， 结合图象得，当是时，距离最小值为， 所以最小值为，所以B错误； 对于C中，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，所以C正确； 对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为 ，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由 ，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为递增数列 B. ， C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用归纳法结合数列单调性的定义判断A，利用数列的单调性和判断B，构造函数并结合导数判断C，D即可. 【详解】对于A，由题意得当时，，满足，成立， 假设当 时，，当时，由已知得， 可得，因为，所以， 令，可得，且， 则在 上单调递增，得到，故， 综上可得，对于任意，， 因为，所以， 可得数列为递增数列，故A正确， 对于B，因为，且数列为递增数列， 所以，，故B正确， 对于C，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则， 则在 上单调递减，且，得到，即， 故在 上单调递增，而，可得， 则，即，故C正确， 对于D，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则，可得在 上单调递减， 且，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点，即零点， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 此时不满足，故D错误. 三、填空题 12. 已知向量不共线，且，则实数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为， 则存在实数，使得：  整理得： 因为不共线，根据平面向量基本定理， 得方程组： ， 解得，代入得. 13. 写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 14. 某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设投篮总次数的数学期望为，分析第一次和第二次投篮结果，及对应的投篮总次数，得到关于的方程，求解可得. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为0.4，投篮总次数的数学期望为； 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数的数学期望为； 若第一次投中，第二次投中，则停止投篮， 此情况发生的概率为，投篮总次数为2. 故投篮总次数的数学期望为， 整理得，， 解得. 即投篮总次数的数学期望为. 四、解答题 15. 设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有． （1）求角A； （2）若BC边上的高，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和、正弦定理和三角恒等变换化简可得. （2）利用三角形面积公式和正弦定理可得. 【小问1详解】 （1）由题意得：， 则， 有，即，因为所以． 【小问2详解】 （2）由，则，所以， 有，则， 又，则． 16. 已知抛物线的焦点为，过上一动点作的准线的垂线，垂足为.当时，的面积为8. （1）求的方程； （2）直线与交于两点，点均在第一象限，为坐标原点，当为的中点时，求外接圆的半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义得到点横坐标与的关系，结合三角形面积求出点纵坐标，再代入抛物线方程解得，从而得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合中点条件求出的坐标，通过向量点积判断为直角三角形，进而用斜边长度求出外接圆半径. 【小问1详解】 由抛物线的定义，得，则. 由的面积为8，知点到直线的距离为，则. 由，得，解得 . 故的方程为 . 【小问2详解】 由（1）可得，设，由题可知. 由，可得， 则. 若点为的中点，则，其中， 所以，解得 （负值舍去），则，代入 ，得. 而，得，则，所以. 由于，故是直角三角形， 故所求外接圆半径. 17. 如图，四棱锥中，平面，， ，. （1）求证： ； （2）若为的重心， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若交平面于，求的值. 【答案】（1）在中， ，， ， ， 平面，平面， ， ，平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到 ，利用线面垂直的定义得到，利用线面垂直的判定定理得到 平面 ，利用线面垂直的定义得到 ； （2）（i）以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，求出平面的法向量，设与平面所成的角为 ，利用公式 得到线与平面所成角的正弦值； （ii）设 ，则，由得到 ，利用数量积的坐标公式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，. ， ， ， ， ， ， ， 为的重心， ， ， 设平面的法向量为， 则，，， 取 ，则 ，即 ， ，， ， 设与平面所成的角为 ， 则， 故与平面所成角的正弦值为； （ii）由（i）知， ， ， 设 ，则 ， ， 由（i）知，平面的法向量为 ， 则，即 ，则 ，解得， 即. 18. 在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. （1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； （2）在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； （3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附:当 时，). 【答案】（1）； （2） ；； ；； （3） 3 4 5 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可. （2）结合题意求出对应概率，再求出，最后得到甲获胜的概率即可. （3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可. 【小问1详解】 由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为， 则，. 【小问2详解】 由题意得 ，， ，， 当为奇数时， ， 当为偶数时，， 则甲获胜的概率为 ， 当 时，，则甲获胜的概率为. 【小问3详解】 由已知得甲获胜的概率为，且的取值为， 而， ， . 可得分布列如下， 3 4 5 19. 已知函数在时取得极值. （1）求，并讨论的单调性. （2）设是公比为的等比数列. （i）若，证明：. （ii）是否存在满足：，均为正整数且 ，使得成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减 （2） （i）由（1）可知，所以， 记，则， ， 所以. 因为，所以， 所以. （ii）存在，2和3 【解析】 【分析】（1）先求导，再解出，然后讨论的单调性即可. （2）（i）先写出 的通项公式，再代入得到的表达式，再用错位相减法列出比较即可.（ii）根据等差中项性质列出等式，将用表示，代入等式得到关于的方程再根据，对取值讨论，判断是否存在符合条件的. 【小问1详解】 由题意得的定义域为. 令，得 ，即. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （i）略 （ii）若成等差数列，则， 即，整理得， 又因为 ，所以，所以，得. 要满足题意，只需考虑和. 当 时，，所以，符合题意； 当 时，，所以 ，符合题意. 下面说明，当时，不存在满足条件的： 令，则， 令，则当时，， 故在上单调递减，当时，， 即，所以在上单调递减. 所以时，， 因为，所以，即， 故当时，，由于， 故或 ，若，则，得 ，不符合题意； 若 ，则， 由于（因为），而（因为）， 结合的单调性，可知，无整数解， 综上，满足条件的的取值仅有2和3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $