浙江绍兴市建功中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

浙江省绍兴市建功中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（4，﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（3分）不等式x﹣1＜0的解为（　　） A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1 4．（3分）线段a，b，c首尾顺次相接组成的三角形，若a＝2，b＝5，则c的长度可以是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 5．（3分）对于命题“若a＞b，则a2＞b2.”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣2 C．a＝﹣2，b＝﹣1 D．a＝3，b＝﹣2 6．（3分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD 7．（3分）点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在直线y＝﹣3x+2上，且x1＜x2，则y1与y2的关系是（　　） A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 8．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论中错误的是（　　） A．CE＝BF B．AE+CF＝AB C．AE2+BF2＝EF2 D．△DEF始终为等腰直角三角形 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点Q是直线上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　） A．16 B． C．12 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）“x是正数”用不等式表示为 　 　 ． 12．（3分）已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为 　 　 度． 13．（3分）一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　 ． 14．（3分）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然线段DG的长度y是线段长度x的函数，这个函数的表达式是 　 　 ． 15．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝84°，则原三角形的∠B＝　 　 度． 16．（3分）如图，边长为7的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组：，并把不等式组的解在如图的数轴上表示出来． 18．（8分）已知：一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过M（1，0），N（0，2）两点． （1）求该函数的表达式； （2）试判断点P（﹣a，2a+2）是否在直线MN上？并说明理由． 19．（8分）如图，在△ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，AB∥CD． （1）求证：△AEF≌△CDF； （2）若AB＝10，CD＝7，求BE的长． 20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（3，4），B（1，1），C（4，2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）平移△ABC，使点B与点O重合，A′、C′分别是A、C的对应点，请写出A′、C′的坐标； （3）求△ABC的面积． 21．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求BC边上的高线长； （2）求AD的长． 22．（10分） 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　 　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　 　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当MN＝2时，求N的坐标； ②点Q为y轴上一动点，若△MNQ是以∠MNQ为90°的直角三角形，且两直角边长之比为3：4．求出满足条件所有点Q的坐标． 24．（12分）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，动点D从A出发沿线段AC向终点C运动，连结BD，以BD为直角边向右作等腰直角△BDE，斜边DE与BC交于点M，连结CE． （1）求证：△BAD≌△BCE； （2）如图2，过D，E分别作DF⊥BC于点F、EG⊥BC于点G．请探究：DF、EG、BC三条线段之间的数量关系； （3）若AB＝2，D点在动动过程中，当BM等于多少时，△DCE的面积最大？并求出最大值． 浙江省绍兴市建功中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B B D D A B A 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项C的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（4，﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由题意直接根据各象限内点的坐标特征进行分析解答即可． 【解答】解：由题意直接根据各象限内点的坐标特征进行分析可知： 点P（4，﹣3）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（3分）不等式x﹣1＜0的解为（　　） A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1 【分析】直接移项即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣1＜0， ∴x＜1， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 4．（3分）线段a，b，c首尾顺次相接组成的三角形，若a＝2，b＝5，则c的长度可以是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到3＜c＜7，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∴c的长度可以是5． 故选：B． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5．（3分）对于命题“若a＞b，则a2＞b2.”能说明它属于假命题的反例是（　　） A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣2 C．a＝﹣2，b＝﹣1 D．a＝3，b＝﹣2 【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【解答】解：对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是a＝﹣1，b＝﹣2，a＞b，但（﹣1）2＜（﹣2）2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了命题与定定理，掌握假命题的概念是解题关键． 6．（3分）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD 【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意． B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意． C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意． D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（3分）点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在直线y＝﹣3x+2上，且x1＜x2，则y1与y2的关系是（　　） A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 【分析】利用一次函数的增减性进行比较即可． 【解答】解： ∵在y＝﹣3x+2中，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在直线y＝﹣3x+2上，且x1＜x2， ∴y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 8．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝3， 在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2， 解得x＝4． 即BN＝4． 故选：A． 【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论中错误的是（　　） A．CE＝BF B．AE+CF＝AB C．AE2+BF2＝EF2 D．△DEF始终为等腰直角三角形 【分析】连接CD，利用全等三角形对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：连接CD， 因为△ABC是等腰直角三角形，且D为斜边AB的中点， 所以CD＝BD，∠ACD＝∠B＝45°，CD⊥AB， 所以∠CDF+∠BDF＝90°， 又因为∠GDH＝90°， 所以∠EDC+∠CDF＝90°， 所以∠EDC＝∠BDF， 所以△EDC≌△FDB（ASA）， 所以CE＝BF． 故A选项中的结论正确． 因为AC＝BC， 所以AC﹣CE＝BC﹣BF， 即AE＝CF． 所以AE+CF＝2AE， 又因为AB＝2AD， 而AE与AD不一定相等， 所以AE+CF不一定等于AB． 故B选项中的结论错误． 在Rt△CEF中， CE2+CF2＝EF2， 所以AE2+BF2＝EF2． 故C选项中的结论正确． 因为△EDC≌△FDB， 所以DE＝DF， 又因为∠GDH＝90°， 所以△DEF是等腰直角三角形． 故D选项中的结论正确． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质及等腰直角三角形，通过连接CD构造出全等三角形是解题的关键． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点Q是直线上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　） A．16 B． C．12 D． 【分析】在射线OQ上取点M，使OM＝OA，连接MP，根据全等三角形的判定与性质得出点P的运动规律，再结合轴对称的性质求出OP+AP的最小值即可． 【解答】解：在射线OQ上取点M，使OM＝OA，连接MA，AP， ∵点Q在直线上， ∴∠QOA＝60°． ∵OM＝OA， ∴△OAM是等边三角形， ∴MA＝OA，∠MAO＝60°． ∵△APQ是等边三角形， ∴AQ＝AP，∠QAP＝60°， ∴∠OAQ＝∠MAP． 在△OAQ和△MAP中， ， ∴△OAQ≌△MAP（SAS）， ∴∠PMA＝∠QOA＝60°， ∴∠PMO＝120°， ∴∠PMO+∠MOA＝180°， ∴MP∥OA， 则点P在经过点M且与x轴平行的直线上． ∵点A坐标为（8，0）， ∴等边△AOM的边长为8， ∴点M坐标为（4，）． 过点A作直线y＝的对称点A′，连接A′O， 则当点P在A′O与直线y＝的交点处时，OP+AP取得最小值． ∵点A坐标为（8，0）， ∴点A′得坐标为（8，）， ∴OA′＝， ∴OP+AP的最小值为16． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质及轴对称﹣最短路线问题，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）“x是正数”用不等式表示为 x＞0　 ． 【分析】x是正数，正数即＞0，据此列不等式． 【解答】解：由题意得x＞0． 故答案为：x＞0． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出不等式． 12．（3分）已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为 　65　 度． 【分析】由等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理，即可计算． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，两个底角相等， ∴底角的度数＝×（180°﹣50°）＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 13．（3分）一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m＜3　 ． 【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式2m﹣6＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小， ∴2m﹣6＜0， 解得，m＜3； 故答案为：m＜3． 【点评】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 14．（3分）如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的一点，过D作BC边的垂线，交BC于G，用x表示线段BG的长度，显然线段DG的长度y是线段长度x的函数，这个函数的表达式是 　　 ． 【分析】先求出∠CDG＝30°，根据直角三角形的性质得DC＝2GC，再由勾股定理可得DG＝√3GC，然后等边△ABC的边长为1，BG＝x得GC＝1﹣x，据此可得出函数的表达式． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＝30°， 在Rt△DCG中，∠CDG＝30°， ∴DC＝2GC， 由勾股定理得：DG＝， ∵等边△ABC的边长为1，BG＝x， ∴GC＝BC﹣BG＝1﹣x， ∵DG＝y， ∴， 整理得：， ∴这个函数的表达式是：， 根据等边三角形的性质得：当点G运动到BC的中点时，点D与点A重合， ∴≤BG≤1，即． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 15．（3分）如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝84°，则原三角形的∠B＝　81　 度． 【分析】由两次折叠得∠ABC′＝∠DBC′＝∠DBC＝∠ABC，则∠ABD＝∠ABC，由∠ABD+∠A＝∠CDB，且∠A＝30°，∠CDB＝84°，得∠ABC+30°＝84°，求得∠ABC＝81°，于是得到问题的答案． 【解答】解：由两次折叠得∠ABC′＝∠DBC′＝∠DBC＝∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠ABC＝∠ABC， ∵∠ABD+∠A＝∠CDB，且∠A＝30°，∠CDB＝84°， ∴∠ABC+30°＝84°， ∴∠ABC＝81°， 故答案为：81． 【点评】此题重点考查翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠ABD＝∠ABC是解题的关键． 16．（3分）如图，边长为7的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为　　 ． 【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与EH交于点K，如图，根据正方形的性质得到HE＝HG＝GF＝EF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝AH＝DG，∠DAG＝∠BCE．求得DG＝EF＝GF＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAG＝∠FAG，根据平行线的性质得到∠FAG＝∠EFK．求得MF＝MC，设MF＝MC＝x，则AM＝7+x，BM＝7﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与EH交于点K，如图， ∵四边形EFGH是正方形， ∴HE＝HG＝GF＝EF， ∵AH＝EH， ∴AH＝HE＝GF＝EF， 由题意得：Rt△ABH≌Rt△BCE≌Rt△ADG≌Rt△CDF， ∴BE＝CF＝AH＝DG，∠DAG＝∠BCE． ∴DG＝EF＝GF＝FC， ∵AG⊥DF， ∴AD＝AF， ∴∠DAG＝∠FAG， ∴∠CBE＝∠FAG， ∵AG∥EC， ∴∠FAG＝∠EFK． ∵∠EFK＝∠CFM， ∴∠CFM＝∠BCE， ∴MF＝MC， 设MF＝MC＝x，则AM＝7+x，BM＝7﹣x， 在Rt△ABM中，由勾股定理得： 72+（7﹣x）2＝（7+x）2， 解得：x＝， ∴CM＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）解不等式组：，并把不等式组的解在如图的数轴上表示出来． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：由2x+4＜0得x＜﹣2， 由1﹣2x＞0得 ， 所以不等式组的解集为x＜﹣2． ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 18．（8分）已知：一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过M（1，0），N（0，2）两点． （1）求该函数的表达式； （2）试判断点P（﹣a，2a+2）是否在直线MN上？并说明理由． 【分析】（1）先把M、N点的坐标分别代入y＝kx+b得到k、b的方程组，然后解方程组即可； （2）通过计算自变量为﹣a所对应的函数值可判断点P（﹣a，2a+2）是否在直线MN上． 【解答】解：（1）把M（1，0），N（0，2）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴该函数的表达式为y＝﹣2x+2； （2）点P（﹣a，2a+2）在直线MN上． 理由如下： ∵当x＝﹣a时，y＝﹣2×（﹣a）+2＝2a+2， ∴点P（﹣a，2a+2）在直线MN上． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 19．（8分）如图，在△ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，AB∥CD． （1）求证：△AEF≌△CDF； （2）若AB＝10，CD＝7，求BE的长． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠A＝∠DCF，由中点定义可得AF＝CF，再利用ASA即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得AE＝CD，再由BE＝AB﹣AE即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCF， ∵点F是AC的中点， ∴AF＝CF， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（ASA）， （2）解：由（1）得：△AEF≌△CDF， ∴AE＝CD， ∵AB＝10，CD＝7， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣CD＝10﹣7＝3． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（3，4），B（1，1），C（4，2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）平移△ABC，使点B与点O重合，A′、C′分别是A、C的对应点，请写出A′、C′的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用点A、B、C的坐标描点即可得到△ABC； （2）根据点B和点O的坐标特征确定平移的方向与距离，然后根据此平移规律写出A′、C′的坐标，最后描点即可； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△ABC为所作； （2）如图，△OA′C′为所作，A′（2，3），C′（3，1）； （3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×3×2＝3.5． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点的坐标变换规律和三角形的面积． 21．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求BC边上的高线长； （2）求AD的长． 【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由勾股定理可得出AM＝4，即可求出答案； （2）过点B作BN⊥AC于点N，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，则可得出答案． 【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴M是BC的中点， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM＝， 即 BC边上的高线长为4； （2）过点B作BN⊥AC于点N， ∵BD＝AB， ∴AN＝DN＝AD， 设AN＝x，则CN＝5﹣x， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2， ∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2， ∴x＝， ∴AD＝2AN＝． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 22．（10分） 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　（1.6m+291）　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　（1.8m+288）　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【分析】（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，利用总价＝单价×数量，结合“买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）利用在线下商店购买所需费用＝购买会员卡的费用+A款亚运盲盒的销售单价×0.8×购买A款亚运盲盒的数量+B款亚运盲盒的销售单价×0.8×购买B款亚运盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线下商店购买所需费用；利用在线上淘宝店购买所需费用＝A款亚运盲盒的销售单价×0.9×购买A款亚运盲盒的数量+B款亚运盲盒的销售单价×0.9×购买B款亚运盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线上淘宝店购买所需费用； （任务3）根据线下购买方式更合算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜40，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元； （任务2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）； 在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）． 故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）； （任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288， 解得：m＞15， 又∵0＜m＜40， ∴15＜m＜40． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（任务2）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出在线下商店购买及在线上淘宝店购买所需费用；（任务3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当MN＝2时，求N的坐标； ②点Q为y轴上一动点，若△MNQ是以∠MNQ为90°的直角三角形，且两直角边长之比为3：4．求出满足条件所有点Q的坐标． 【分析】（1）联立，解得，故B（﹣2，2）； （2）①设N（t，﹣t），则M（t，t+4），可得t+4﹣（﹣t）＝2，解得t的值即知N（﹣1，1）； ②设Q（0，q），则N（﹣q，q），M（﹣q，﹣q+4），即得MN＝﹣q+4﹣q＝﹣2q+4，NQ＝0﹣（﹣q）＝q，分MN：NQ＝3：4和NQ：MN＝3：4列方程，解出q的值即可得到答案． 【解答】解：（1）联立， 解得， ∴B（﹣2，2）； （2）①如图： 设N（t，﹣t），则M（t，t+4）， ∵点M在点N的上方，MN＝2， ∴t+4﹣（﹣t）＝2， 解得t＝﹣1； ∴N（﹣1，1）； ②设Q（0，q），则N（﹣q，q），M（﹣q，﹣q+4）， 如图： ∴MN＝﹣q+4﹣q＝﹣2q+4，NQ＝0﹣（﹣q）＝q， 当MN：NQ＝3：4时，3q＝4（﹣2q+4）， 解得q＝； ∴Q（0，）； 当NQ：MN＝3：4时，3（﹣2q+4）＝4q， 解得q＝； ∴Q（0，）； 综上所述，Q的坐标为（0，）或（0，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 24．（12分）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，动点D从A出发沿线段AC向终点C运动，连结BD，以BD为直角边向右作等腰直角△BDE，斜边DE与BC交于点M，连结CE． （1）求证：△BAD≌△BCE； （2）如图2，过D，E分别作DF⊥BC于点F、EG⊥BC于点G．请探究：DF、EG、BC三条线段之间的数量关系； （3）若AB＝2，D点在动动过程中，当BM等于多少时，△DCE的面积最大？并求出最大值． 【分析】（1）先证明∠ABD＝∠CBE，进而根据SAS，即可证明△BAD≌△BCE； （2）先证明∠GEB＝∠DBF，根据AAS，证明△DBF≌△BEG，得出BF＝EG，DF＝BG＝CF，即可得证； （3）根据全等三角形的性质可得S△BAD＝S△BCE，又S四边形BDCE＝2，则要使S△DEC最大，只要使S△BDE最小即可，当BD⊥AC时，S△BDE最小，此时DE⊥BC，BD＝AD＝，BM＝1，S△BDE＝1． 【解答】（1）证明：∵△ABC与△DBE均为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝BC，DB＝BE， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△BAD与△BCE中， ， ∴△BAD≌△BCE（SAS）； （2）解：BC＝EG+DF；理由如下： ∵DF⊥BC于点F、EG⊥BC于点G， ∴∠DFB＝∠BGE＝90°， ∴∠GBE+∠GEB＝90°， 又∵∠GBE+∠DBF＝90°， ∴∠GEB＝∠DBF， 在△DBF与△BEG中， ， ∴△DBF≌△BEG（AAS）， ∴DF＝BG＝CF，BF＝EG， ∴BC＝BF+CF＝EG+DF； （3）解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝2， ∴AC＝AB＝2， ∴S△ABC＝2， ∵△BAD≌△BCE， ∴S△BAD＝S△BCE， S四边形BDCE＝S△BCD+S△BCE＝S△BCD+S△ABD＝S△ABC＝2， 要使S△DEC最大，只要使S△BDE最小即可， 当BD⊥AC时，S△BDE最小， 此时DE⊥BC，，BM＝1，S△BDE＝1， ∴当BM＝1时，S△DEC最大，最大为1． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $