浙江绍兴市越城区梅山中学等部分学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

浙江省绍兴市越城区部分学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）能说明命题“对于任何实数x，x2＞0”是假命题的一个反例是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 3．（3分）在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（　　） A．高 B．中线 C．角平分线 D．不能确定 4．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．22° 5．（3分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　） A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 6．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4） 7．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 10．（3分）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 二．.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在等腰三角形ABC中，顶角∠B＝40°，则∠C＝　 　 ． 12．（4分）已知直线y＝kx﹣1是由直线y＝﹣2x平移得到的，则直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标是 　 　 ． 13．（4分）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝　 　 ． 14．（4分）在平面直角坐标系中，线段AB平行于x轴，且AB＝4．若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（a，b），则a+b＝　 　 ． 15．（4分）如图，在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，3），B（2，2），C（3，0）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y＝k1x+b1，y＝k2x+b2，y＝k3x+b3分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于　 　 ． 16．（4分）如图，线段AB＝14，点C是线段AB上一动点，以AC为边作等边△ACD，以CD为底边作等腰△CDE，则BE的最小值等于 　 　 ． 三.解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17．（6分）（1）解不等式：2x+1＜x+5； （2）解下列不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18．（6分）已知y是关于x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝2；当x＝2时，y＝﹣1． （1）求该一次函数的表达式； （2）当y＝﹣3时，求自变量x的值． 19．（6分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）． （1）写出点A、B的坐标：A（ 　 　 ）、B（ 　 　 ）． （2）判断△ABC的形状 　 　 ．计算△ABC的面积是 　 　 ． （3）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，若△ABC内一点P的坐标是（a，b），则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是 　 　 ． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）若∠CAE＝25°，求∠CFA的度数． 21．（8分）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表． A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有几种生产方案？ （2）在（1）的条件下，如何生产能使获利最大？并求出最大利润． 22．（10分）甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了0.5小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．解答下列问题： （1）图中a的值为　 　 ； （2）当x＞1.5（h）时，求甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式； （3）当甲车行驶多长时间后，两车恰好相距40km？ 23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是直线BC上一点（不与点B，C重合），连结CD，DE． （1）如图， ①若∠CDE＝90°，求证：∠A＝∠E； ②若BD平分∠CDE，且∠E＝24°，求∠A的度数． （2）设∠A＝α（α＞45°），∠DEC＝β，若CD＝CE，求β关于α的函数关系式，并说明理由． 24．（12分）通过对数学模型“K字”模型的学习研究，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：BE＝CD； 【模型应用】（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在1的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的长为　 　 ； 【深入探究】（3）如图3所示，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q． ①求线段AB的长； ②求点Q的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置． 2．（3分）能说明命题“对于任何实数x，x2＞0”是假命题的一个反例是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可． 【解答】解：A、当x＝﹣2时，x2＝（﹣2）2＝4＞0，不能说明x2＞0是假命题，不符合题意； B、当x＝﹣1时，x2＝（﹣1）2＝1＞0，不能说明x2＞0是假命题，不符合题意； C、当x＝0时，x2＝02＝4＝0，能说明x2＞0是假命题，符合题意； D、当x＝2时，x2＝22＝4＞0，不能说明x2＞0是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，了解举反例说明命题是假命题是解题的关键． 3．（3分）在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（　　） A．高 B．中线 C．角平分线 D．不能确定 【分析】根据垂线段最短解答． 【解答】解：∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线， ∴最短的是高线． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，理解垂线段最短是解题的关键． 4．（3分）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．22° 【分析】由∠FEB＝63°，∠FED＝45°，结合∠DEB＝∠FEB﹣∠FED，可求出∠DEB的度数，由∠ABC是△BDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠EDB的度数． 【解答】解：∵∠FEB＝63°，∠FED＝45°， ∴∠DEB＝∠FEB﹣∠FED＝63°﹣45°＝18°． 又∵∠ABC是△BDE的外角， ∴∠EDB＝∠ABC﹣∠DEB＝30°﹣18°＝12°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 5．（3分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　） A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【解答】解：∵m＞n， ∴﹣2m＜﹣2n， 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 6．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4） 【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案． 【解答】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5， ∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5， 即点M的坐标为：（5，﹣4）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限点的坐标特点是解题关键． 7．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≤2， 解不等式②，得：x＞1， 故原不等式组的解集是1＜x≤2， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A、由作法知AD＝AC，可判断A；B、由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D、由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D． 【解答】解：A、由作法知AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形， 故选项A不符合题意； B、由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线， ∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形， 故选项B符合题意； C、由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形， 故选项C不符合题意； D、∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC＝60°， 由作法知AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝30°＝∠B，DB＝DA， ∴△ABD是等腰三角形， 故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的五个基本作图是解题的关键． 9．（3分）一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 【分析】由a＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合x1＞x2＞2，即可得出y1＜y2＜0． 【解答】解：∵a＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在一次函数y＝ax+b的图象上，且x1＞x2＞2， ∴y1＜y2＜0， ∴若x2＞2，则y1＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 10．（3分）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 【分析】连接BF，过点E作EC⊥BF于C，先证△EBF和△EHI全等得BF＝HI＝y，∠4＝∠1，证△KAB和△ECB全等得AB＝EC＝n，AK＝BC＝m，证△FDT和△ECF全等得FD＝EC＝p，DT＝CF＝q，从而得AB＝EC＝FD，则n＝p，据此可对选项A进行判断；再由BF＝BC+CF＝m+q，BF＝HI＝y可对选项B进行判断；由于y＝m+q正确，显然y＝mq不正确，据此可对选项C进行判断；在Rt△BEC中由勾股定理得m2+n2＝BE2，在Rt△ECF中由勾股定理得p2+q2＝BF2，在Rt△BEF中，由勾股定理得BE2+BF2＝BF2＝y2，据此可对选项D进行判断． 【解答】解：连接BF，过点E作EC⊥BF于C，如图所示： 依题意得：EB＝EH＝KB，EF＝EI＝FT，∠BEF＝∠HEI＝90°， ∠BAK＝90°，∠FDT＝90°， 在△EBF和△EHI中， ， ∴△EBF≌△EHI（SAS）， ∴BF＝HI＝y，∠4＝∠1， ∵∠1＝∠2＝∠3＝α， ∴∠4＝∠1＝∠2＝∠3＝α， ∵EC⊥BF于C， ∴∠ECB＝∠ECF＝90°， ∴∠BAK＝∠ECB＝90°，∠ECF＝∠FDT＝90°， 在△KAB和△ECB中， ， ∴△KAB≌△ECB（AAS）， ∴AB＝EC＝n，AK＝BC＝m， ∵∠4+∠BEC＝90°，∠BEC+∠CEF＝90°， ∴∠4＝∠CEF， ∴∠3＝∠CEF， 在△FDT和△ECF中， ， ∴△FDT≌△ECF（AAS）， ∴FD＝EC＝p，DT＝CF＝q， ∴AB＝EC＝FD， 即n＝p， 故选项A正确， ∵BF＝BC+CF＝m+q， 又∵BF＝HI＝y， ∴y＝m+q， 故选项B正确； ∴y＝m+q正确，显然y＝mq不正确， 故选项C不正确： 在Rt△BEC中，BC＝AK＝m，EC＝n， 由勾股定理得：BC2+EC2＝BE2， 即m2+n2＝BE2， 在Rt△ECF中，EC＝FD＝p，CF＝q， 由勾股定理得：EC2+CF2＝BF2， 即p2+q2＝BF2， 在Rt△BEF中，BF＝y， 由勾股定理得：BE2+BF2＝BF2， 即m2+n2+p2+q2＝y2， 故选项D正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解决问题的关键，难点是根据题意正确地作出辅助线，构造全等三角形． 二．.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在等腰三角形ABC中，顶角∠B＝40°，则∠C＝　70°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵等腰三角形ABC中顶角∠A＝40°， ∴底角∠C的度数（180°﹣40°）＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．（4分）已知直线y＝kx﹣1是由直线y＝﹣2x平移得到的，则直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标是 　　 ． 【分析】先结合直线y＝kx﹣1是由直线y＝﹣2x平移得到的，则k＝﹣2，故y＝﹣2x﹣1，再令y＝0，求出对应的x的值，即可作答． 【解答】解：由条件可知k＝﹣2， 故y＝﹣2x﹣1， 令y＝0，所以0＝﹣2x﹣1， 解得， 即直线y＝kx﹣1与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 13．（4分）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（﹣2，a），则a＝　3　 ． 【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出a的值． 【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点是点P′（﹣2，a）， 则a＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，正确掌握关于y轴对称点的性质是解题关键． 14．（4分）在平面直角坐标系中，线段AB平行于x轴，且AB＝4．若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（a，b），则a+b＝　5或﹣3　 ． 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵AB∥x轴，A的坐标为（﹣1，2）， ∴点B的纵坐标为2． ∵AB＝4， ∴点B的横坐标为﹣1+4＝3或﹣1﹣4＝﹣5． ∴点B的坐标为（3，2）或（﹣5，2）． 则a+b＝3+2＝5或a+b＝﹣5+2＝﹣3． 故答案为：5或﹣3． 【点评】本题主要考查的是坐标与图象的性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键． 15．（4分）如图，在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，3），B（2，2），C（3，0）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y＝k1x+b1，y＝k2x+b2，y＝k3x+b3分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最小的值等于　2　 ． 【分析】根据题意，分别求出k1+b1，k2+b2，k3+b3的值即可解决问题． 【解答】解：由题意，当直线经过A，B两点时，， ∴ ∴，同理可得，k2+b2＝2，k3+b3＝4， ∵24， ∴k1+b1，k2+b2，k3+b3中的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 16．（4分）如图，线段AB＝14，点C是线段AB上一动点，以AC为边作等边△ACD，以CD为底边作等腰△CDE，则BE的最小值等于 　7　 ． 【分析】连接AE，过点B作BH⊥AE于点H，根据等边三角形和等腰三角形性质得AD＝AC，∠DAC＝60°，ED＝EC，进而依据“SSS”判定△ADE和△ACE全等得∠EAD＝∠EAC＝30°，由此得在点D的运动过程中，点E始终在∠EAC的平分线上，再根据“垂线段最短”得BE≥BH，则当点E与点H重合时，BE为最小，最小值为BH的长，然后在Rt△ABH中，根据AB＝14，∠EAC＝30°得BH＝7，据此可得BE的最小值． 【解答】解：连接AE，过点B作BH⊥AE于点H，如图所示： ∴△ABH是直角三角形， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AC，∠DAC＝60°， ∵△CDE是以CD为底边的等腰三角形， ∴ED＝EC， 在△ADE和△ACE中， ， ∴△ADE≌△ACE ∴∠EAD＝∠EAC2DAC＝30°， ∴在点D的运动过程中，点E始终在∠EAC的平分线上， 根据“垂线段最短”得：BE≥BH， ∴当点E与点H重合时，BE为最小，最小值为BH的长， 在Rt△ABH中，AB＝14，∠EAC＝30°， ∴BHAB＝7， ∴BE的最小值7． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，理解等边三角形和等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 三.解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17．（6分）（1）解不等式：2x+1＜x+5； （2）解下列不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【分析】（1）移项、合并同类项化系数为1即可求出不等式的解集； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：（1）2x+1＜x+5， 移项得，2x﹣x＜5﹣1， 合并同类项得，x＜4； （2）， 由①得，x≥1， 由②得，x， 故此不等式组的解集为：x≥1， 在数轴上表示为： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 18．（6分）已知y是关于x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝2；当x＝2时，y＝﹣1． （1）求该一次函数的表达式； （2）当y＝﹣3时，求自变量x的值． 【分析】（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0）．把x、y的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k、b的值； （2）把x＝﹣3代入函数解析式来求得相应的y的值． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，由条件可得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）令y＝﹣3，则， 解得：x＝4， ∴自变量x的值为4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．一次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握以上知识点是关键． 19．（6分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）． （1）写出点A、B的坐标：A（ 　2，﹣1　 ）、B（ 　4.3　 ）． （2）判断△ABC的形状 　直角三角形　 ．计算△ABC的面积是 　5　 ． （3）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，若△ABC内一点P的坐标是（a，b），则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是 　（a﹣2，b+1）　 ． 【分析】（1）根据A，B的位置写出坐标即可． （2）利用勾股定理的逆定理判断即可． （3）利用平移变换的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）． 故答案为：2，﹣1，4，3． （2）∵AC＝BC，AB＝2， ∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2， 即△ABC的形状是等腰直角三角形， S△ABC＝3×42×41×33×1＝5， 故△ABC的面积为5． 故答案为：直角三角形，5． （3）P′的坐标是（a﹣2，b+1）． 故答案为：（a﹣2，b+1）． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及逆定理，学会利用平移变换的性质解决问题． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）若∠CAE＝25°，求∠CFA的度数． 【分析】（1）利用“HL”定理即可证明Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）先利用等腰直角三角形的性质求得∠CAB＝45°，再结合∠CAE＝25°，求出∠BAE＝20°，根据全等三角形的性质得出∠BCF＝20°，最后根据直角三角形的性质即可得出∠CFA的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠CBF＝90°， ∴在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； （2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵∠CAE＝25°， ∴∠BAE＝45°﹣25°＝20°， ∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝20°， ∴∠CFA＝90°﹣20°＝70°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，掌握“HL”定理是解题的关键． 21．（8分）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表． A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有几种生产方案？ （2）在（1）的条件下，如何生产能使获利最大？并求出最大利润． 【分析】（1）设生产x件A种产品，则生产（10﹣x）件B种产品，根据“工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出工厂有6种生产方案； （2）设工厂获得的利润为y万元，利用总利润＝每件A种产品的利润×生产A种产品的数量+每件B种产品的利润×生产B种产品的数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设生产x件A种产品，则生产（10﹣x）件B种产品， 根据题意得：， 解得：2≤x＜8， 又∵x为正整数， ∴x可以为2，3，4，5，6，7， ∴共有6种生产方案． 答：工厂有6种生产方案； （2）设工厂获得的利润为y万元，则y＝x+3（10﹣x）， 即y＝﹣2x+30， ∵﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵2≤x＜8， ∴当x＝2时，y取得最大值，最大值为﹣2×2+30＝26（万元），此时10﹣x＝10﹣2＝8（件）． 答：生产2件A种产品，8件B种产品时，工厂获利最大，最大利润为26万元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． 22．（10分）甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了0.5小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．解答下列问题： （1）图中a的值为　40　 ； （2）当x＞1.5（h）时，求甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式； （3）当甲车行驶多长时间后，两车恰好相距40km？ 【分析】（1）从图上看，甲用3.5﹣0.5小时走了120km，则1小时走40km，即可求解； （2）当x＞1.5（h）时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，其中k＝40，将（，40）代入上式得：40+b＝40，即可求解； （3）乙车1.5小时走了120米，故其速度为80，则设乙车行驶的过程y与时间x之间的解析式为y＝80x+b，当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得x．当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得x．即可求解． 【解答】解：（1）从图上看，甲用3.5﹣0.5小时走了120km，则1小时走40km， 故答案为：40； （2）当x＞1.5（h）时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，其中k＝40， 将（，40）代入上式得：40+b＝40，解得 b＝﹣20， ∴y＝40x﹣20． （3）乙车1.5小时走120米，故其速度为80， 则设乙车行驶的过程y与时间x之间的解析式为y＝80x+b， 将（3.5，120）代入上式并解得：b＝﹣160， ∴y＝80x﹣160． 当40x﹣20﹣（80x﹣160）＝40时，解得x． 当80x﹣160﹣（40x﹣20）＝40时，解得x． 此外，当乙车到达之后，甲距离乙40公里时，甲需要1个小时到达，此时t， 甲一共9.5个小时到达，现在距离终点（乙）要40km，所以9.5﹣1＝8.5，t＝8.5小时 ∴甲车行驶1小时（或1～1.5小时）或小时或小时或8.5小时，两车恰好相距40 km． 【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙练车的速度． 23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是直线BC上一点（不与点B，C重合），连结CD，DE． （1）如图， ①若∠CDE＝90°，求证：∠A＝∠E； ②若BD平分∠CDE，且∠E＝24°，求∠A的度数． （2）设∠A＝α（α＞45°），∠DEC＝β，若CD＝CE，求β关于α的函数关系式，并说明理由． 【分析】（1）①先由点D是直角三角形斜边AB上的中点得到∠A+∠ABC＝90°、∠ABC＝∠DCB，然后结合∠CDE＝90°得到∠E+∠DCB＝90°，最后得到∠A＝∠E； ②先设∠DBC＝α，则∠BDE＝α﹣24°，然后由BD平分∠CDE得到∠CDB＝∠BDE＝α﹣24°，再结合DB＝DC，得到∠DCB＝∠DBC＝α，从而有α+α+α﹣24°＝180°，最后解方程得到α的大小，即可得到结果； （2）分类讨论，①点D在点C的左侧，②点D在点C右侧，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得α与β之间的关系． 【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠DCB＝∠ABC， ∵∠CDE＝90°， ∴∠E+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠E． ②解：设∠DBC＝α，则∠BDE＝α﹣24°， ∵BD平分∠CDE， ∴∠CDB＝∠BDE＝α﹣24°， ∵DB＝DC， ∴∠DCB＝∠DBC＝α， ∴α+α+α﹣24°＝180°， 解得：α＝68°， ∴∠A＝90°﹣68°＝22°． （2）解：①如图1，当点D在点C的左侧时， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED＝β， ∵∠A＝α，AD＝DC， ∴∠ACD＝α， ∴∠DCB＝90°﹣α， ∴2β+90°﹣α＝180°， ∴βα+45°， ②如图②，当点D在点C的右侧时， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠E＝β， ∴2β＝90°﹣α， ∴βα+45°， 综上所述，β关于α的函数关系式为βα+45°或βα+45°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会画出对应的符合条件的图形，然后解题． 24．（12分）通过对数学模型“K字”模型的学习研究，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：BE＝CD； 【模型应用】（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在1的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的长为　8　 ； 【深入探究】（3）如图3所示，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q． ①求线段AB的长； ②求点Q的坐标． 【分析】（1）（先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE； （2）过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，证明△ACM≌△CBN，得出AM＝CN，BN＝CM，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形性质得出，求出CE＝2CN＝8即可． （3）过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．首先证明△CPE≌△PDF，得到DF＝PE＝2，推出BD＝BF+DF＝4，由BD＝4AD，推出AD＝1，AB＝OB＝5，CE＝PF＝3，D（5，4），C（0，5），利用待定系数法求出直线CD的解析式，利用方程组即可求出点Q的坐标． 【解答】解：（1）证明：如图1中， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°， 又∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠EBC， 在△ACD与△CBE中， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； ∴BE＝CD； （2）过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示： 则∠AMD＝∠AMC＝∠BNC＝90°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠BCN＝∠BCN+∠CBN＝90°， ∴∠ACM＝∠CBN， ∵AC＝BC，∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴AM＝CN，BN＝CM， ∵AD＝AC，AM⊥CD， ∴， ∴， ∴CN＝AM＝4， ∵BC＝BE，BN⊥CE， ∴， ∴CE＝2CN＝8， 故答案为：8． （3）①过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F． ∵AB⊥OB， ∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°， ∴四边形EOBF是矩形， ∵P（2，2）， ∴OE＝PE＝BF＝2， ∵∠CPD＝90°， ∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°， ∴∠ECP＝∠DPF， 在△CPE和△PDF中， ， ∴△CPE≌△PDF（AAS）， ∴DF＝PE＝2， ∴BD＝BF+DF＝4， ∵BD＝4AD， ∴AD＝1，AB＝OB＝5； ②由①知CE＝PF＝3， ∴D（5，4），C（0，5）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有， 解得 ∴直线CD的解析式为， 由， 解得 ∴点Q的坐标为， 当点D在直线OP的上方时，同法可得C（0，3），D（3，4）， ∴直线CD的解析式为， 由， 解得 ∴Q； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：或． 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考填空题中的压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $