北京市十一学校2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷

北京十一学校2026届高三数学3月月考试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：冯雅璐 贺思轩 审题人：全体高三数学老师 一、选择题（每题4分，共40分）： 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 5. 已知数列满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 7. 已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（    ） （参考数据：．结果保留整数） A. 25分钟 B. 30分钟 C. 35分钟 D. 40分钟 9. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 13 B. 14 C. 20 D. 25 10. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共25分）： 11. 在的展开式中，项的系数是______．（用数字作答） 12. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 13. 在中，，则________，若，且的面积为，则________． 14. 将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体以ABCDEF为底时的高是________，该多面体的体积是________． 15. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的有____________． ①若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 ②对于任意实数，存在上的单调递减函数，使得在上单调递增 ③对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 ④若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值． 三、解答题（共85分） 16. 已知函数.（） （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数唯一确定，求在区间上的最大值和最小值. 条件①：当时，的最小值为； 条件②：函数的图象对称中心与相邻的对称轴之间的距离为； 条件③：函数在区间上单调递增. 注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD满足，，，棱PD上的点E满足． （1）证明：直线平面PAB； （2）若，，且，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 18. 某新能源汽车公司为测试A型和B型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力，用分别搭载A型和B型系统的汽车各测试了100次，其中A型系统成功避让80次，B型系统成功避让75次．假设每次测试相互独立，用频率估计概率． （1）估计A型系统每次测试中成功避让的概率； （2）若对B型系统再测试2次，对A型系统再测试1次，设X为其中成功避让的次数，求X的分布列和数学期望； （3）这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则A型和B型系统成功避让的概率都只有，若摄像头正确识别障碍物，则A型系统一定能成功避让，B型系统成功避让的概率为，设A型、B型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为，，试比较，的大小．（结论不要求证明） 19. 已知点，，动点在轴下方，且满足，记点的轨迹为．已知是上一点，，分别是的左、右顶点，，分别交直线和于，两点，以为直径的圆记为圆． （1）求的方程； （2）判断圆是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值. （2）当，时， ①记的零点个数为m，极小值点个数为n，证明：： ②记①中的极小值点为，零点为，证明：． 21. 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． （1）若，请写出数列的前项； （2）求证：对于任意正整数，必存在，使得； （3）求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 北京十一学校2026届高三数学3月月考试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题人：冯雅璐 贺思轩 审题人：全体高三数学老师 一、选择题（每题4分，共40分）： 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（每题5分，共25分）： 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】1（的任何一个值都行） 【13题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 32 【15题答案】 【答案】②④ 三、解答题（共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2）见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为. 【20题答案】 【答案】（1）3 （2）①证明见解析；②证明见解析 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $