8.4 机械能守恒定律 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

机械能守恒定律讲义 1、 追寻守恒量 能量相互转化及机械能定义 日常生活中很多现象都会涉及到能量的转化，很多时候利用能量转化来满足日常生活的需求；而科学研究同样需要研究能量的变化，所以能量对日常生活和科学研究的影响都很巨大，但能量这个概念却很难说清楚，即便是当初伽利略的斜面实验也只能大概得出某些“东西”在整个过程中不发生变化的结论。 1. 伽利略斜面实验 对于从一个从高度为h的斜面静止滚下的小球，如果斜面足够光滑，那么摩擦力和空气阻力可以忽略，小球一定上升到对面斜面相同的高度处，不会更高也不会更低，也就意味着在这个过程中某些“东西”是不变或者守恒的。伽利略走到了机械能守恒的门口，但没有得出机械能守恒的结论。 2. 能量的相互转化 现在我们知道伽利略斜面实验中不变的“东西”就是能量，也就是说在斜面实验过程中能量是不变的。 那么再来看一些例子： · 静止的小物块从光滑的斜面上滑下，如左下图所示，物体重力做正功，物块的动能增加了，但重力势能减少了，说明减少的重力势能转化成了动能； · 若将一个物体竖直向上抛出，随着高度的增加，速度会减少，那动能也在减少，而由于高度增加，重力势能在增加，说明减少的动能转化成了重力势能； · 弹簧一端系在墙上，另一端连接小物块，地面光滑，用手推物块压缩弹簧到一定程度后把手松开，物块被弹出去，如右下图所示。弹簧被压缩的过程，物块的速度在减少，而弹簧的形变量在增加，说明减少的动能转化成了弹性势能；物块被弹出的过程，形变量逐渐减少的弹簧弹性势能减少，被弹出去的物体动能增加了，说明这个过程中弹性势能转化成了动能。 结论：不同的能量之间是可以相互转化的，重力势能可以与动能相互转化；弹性势能也可以和动能相互转化。 能量既不会消灭也不会凭空产生，只会相互转化，而总的能量守恒（必修三中会详细讲解）。 3. 机械能定义 重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 2、 机械能守恒定律 从前面例子可知，从光滑曲面下滑的物块滑到底端时重力势能减少，动能增加，那么重力势能转化成了动能；以及在光滑水平面上被弹簧弹出的物块动能增加，而弹簧的弹性势能减少，弹性势能转化成了动能，在这里动能和势能的转化是否有定量的关系呢？ 对两个例子分别进行分析。 1. 光滑曲面下滑的物块重力势能和动能之和保持不变 从光滑曲面静止下滑的物块m，在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2，整个过程只有重力做功，则由动能定理可得 mgh1－mgh2=mv－mv 移项后变为 mv＋mgh2＝mv＋mgh1 若设曲面底端为零势能面，则物块在A点时的重力势能为mgh1，在B点时的重力势能为mgh2；而物块在A点时的动能为mv，物块在B点时的动能为mv，则等式左边为物块在B点时的动能和势能之和即在B点的机械能，右边为物块在A点时的动能和势能之和即在A点的机械能。那等式意味着物块在A点和B点时的机械能相等，即机械能守恒。 在物块下滑过程中，只有重力做功，所以可推出，只有在重力做功的情况下，物体的机械能保持不变。 2. 在光滑水平面上，被弹簧弹出的物块和弹簧组成的系统机械能守恒 在光滑水平面上，被压缩的弹簧将物块弹出，经过A、B两点，经过两点的速度分别为v1和v2，两点距离弹簧平衡位置O点的距离分别为x1和x2，如左图所示。 在物块从A点运动到B点的过程，只有弹力做功，则由动能定理，得 kx－kx=mv－mv 移项可得 mv＋kx=kx＋mv 若设弹簧平衡位置为零势能点，则弹簧在A点时的弹性势能为kx，物块在A点时的动能为mv；弹簧在B点时的弹性势能为kx，物块在B点时的动能为mv，则等式左边为弹簧和物块在B点时的弹性势能和动能之和即物块和弹簧组成的系统在B点的机械能，右边为系统在A点时的弹性势能和动能之和即在A点的机械能。那等式意味着系统在A点和B点时的机械能相等，即机械能守恒。 在物块被弹出的过程中，弹簧和物块组成的系统内只有弹力做功，所以可推出，在只有弹力做功的系统内，系统机械能守恒。 3. 机械能守恒定律的内容和表达式 (1) 内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 (2) 表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，其中Ek1和Ep1为系统初状态时的动能和势能，Ek2和Ep2为系统末状态时的动能和势能。 (3) 守恒条件：由前面内容可知，当系统内只有重力或弹力做功时，系统机械能守恒。 4. 基础练习 (1) 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B在下滑过程中机械能守恒 C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒 答案：C (2) (多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A.重力对物体做的功为mgh B.物体在海平面上的重力势能为mgh C.物体在海平面上的动能为mv－mgh D.物体在海平面上的机械能为mv 答案：AD (3) (多选)神舟载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中飞船(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　) A.飞船升空的阶段 B.飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段 C.返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段 D.降落伞张开后，返回舱下降的阶段 答案：BC 3、 机械能守恒定律的基本应用 1. 机械能守恒定律不同的表达式 若单个物体或多个物体组成的系统机械能守恒，则意味着初末状态系统的机械能不发生变化，也意味着动能的减少（或增加）量等于势能的增加（或减少）量。所以机械能守恒有几种表达式。 表达式 意义 适用范围 1 E初＝E末或 Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1 初状态的机械能等于末状态的机械能 单个物体或者系统都适用 2 ΔEk＝－ΔEp或 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2 过程中动能的增加量等于势能的减少量 单个物体或者系统都适用 3 ΔEA＝－ΔEB或 EA2－EA1＝EB1－EB2 组成系统的只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 两个物体组成的系统 2. 应用机械能守恒定律解题的思路 · 确定研究对象：对于机械能守恒定律的应用，首先要判断是哪个物体或几个物体组成的系统是机械能守恒的，判定条件是：这个物体或系统只有重力或弹力做功或者是其他力做功的代数和为0。 · 确定表达式：当确定选取的物体或者系统机械能守恒时，列出机械能守恒的表达式，可以从守恒角度列出Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，也可以从能量转化角度列出Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2；当系统中有A、B两个物体时，也可以从能量转移角度列出EA2－EA1＝EB1－EB2。然后求解即可。 3. 典型例题 例1 如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好竖直拉直，且A物体离滑轮足够远，与地面接触，B物体距地面0.8 m，g取10 m/s2，求： (1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小； (2)B物体着地后A物体还能上升的高度。 解析 A、B组成的系统来说，绳的拉力对A、B做功的代数和为0（拉力对A是动力为正功；拉力对B是阻力，所以为负功。因为绳子对A、B的拉力大小相同，位移的大小也相同，所以对于系统来说，拉力做功的代数和为0），所以整个系统只有重力做功，那么系统机械能守恒。 (1) 因为A、B作为连接体，所以当B物体刚着地时，A、B两物体的速度大小相同，则可以从几个不同的角度列出机械能守恒定律的表达式，当然也可以用动能定理来解题。 1　 系统初末状态的机械能守恒，则对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则有 mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2 解得v＝2 m/s。 2　 由ΔEk＝－ΔEp解 对于A、B组成的系统，有 (mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh) 解得v＝2 m/s。 3　 由ΔEA＝－ΔEB解 对于A、B组成的系统，有 mAgh＋mAv2＝－ 解得v＝2 m/s。 4　 同样可以用动能定理来列式求解，对于A、B组成的系统，由动能定理得 mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2－0 解得v＝2 m/s。 (2) B物体着地后，绳子变松，拉力为0，则A物体将以2 m/s的初速度向上做竖直上抛运动，这时对于A物体来说，只有重力做功，机械能守恒。可由机械能守恒定律列式求解，也可以用竖直上抛公式求解。 设A物体上升的高度为h′， 1　 由机械能守恒定律可得 mAgh′＝mAv2 解得h′＝＝ m＝0.2 m。 2　 由竖直上抛公式，可得 h′＝ 解得h′＝0.2 m。 4. 基础练习 (1) 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高，此时细线恰好伸直。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是(　　) A. B. C. D.2R 答案：B (2) 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求： 1)弹簧的最大弹性势能； 2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。 答案：(1)50 J　(2)32 J (3) 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。 答案：　 学科网（北京）股份有限公司 $