精品解析：河南安阳林州市世纪学校2021-2022学年九年级下学期3月阶段检测数学试题

九年级第一轮阶段检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 11月3日15时43分，在我国酒泉卫星发射中心，长征二号丙运载火箭/远征一号S上面级以“一箭双星”的方式，将遥感三十二号02组两颗卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．机械卡尺的最小可读单位为“丝”，其中100丝相当于1毫米．现用机械卡尺测长征二号丙运载火箭上的某个零件，长约15丝，请用科学记数法表示该零件长约（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与相交于点B，于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 7. 为了解大一学生的英语学习情况，某大学随机抽取了50名大一学生的英语期末成绩（满分100分），并对数据进行整理，绘制了如下频数分布直方图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．由图，可知这50个数据的中位数落在（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 8. 如图，在中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且，下列说法错误的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若为正方形，则四边形为正方形 C. 若为矩形，则四边形为矩形 D. 若，则四边形为矩形 9. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在平面直角坐标系中，D为菱形边的中点，点A在y轴上，点，交x轴于点E．将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则旋转90次后，点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当自变量时，函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合此条件的函数解析式______． 12. 关于x不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为______． 13. 一个不透明的袋子里放有若干个红球和2个白球，这些球除颜色不同外，其他均相同．现进行如下操作：从袋子里随机摸出一个球，记下颜色，并放回．通过大量重复试验，发现摸出红球的频率稳定在0.75，则红球的个数为______． 14. 如图，扇形中，，，G为的中点，将绕点G顺时针旋转，点A的对应点为，点B的对应点为，则扫过区域（图中阴影部分）的面积为______． 15. 如图，矩形中，，，F为边上一点，连接，将沿折叠，得到，G为上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上，当点恰好在矩形的对角线上时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简 （1）计算：． （2）化简：． 17. 2021年10月21日至11月21日，全国青少年禁毒知识竞赛在青骄网进行，禁毒知识竞赛总计20题，每题5分，满分100分，每位学生只能答题一次，限时10分钟答完，完成即出成绩．下面是随机抽取的某校七年级参加竞赛的30名学生的成绩（单位：分）： 55 55 55 60 60 60 65 65 70 70 75 75 75 75 75 80 80 80 80 85 85 85 85 90 90 95 95 95 100 100 对这30个数据进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 竞赛成绩频数分布表 组别 成绩x/分 频数 A 6 B 4 C 9 D 6 E 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，扇形统计图中扇形C的圆心角度数为______． （2）若该校七年级共有学生300名，请估计竞赛成绩在范围内的学生人数． （3）若该知识竞赛得分70分以上（不包含70分）为合格，请根据以上信息对该校七年级知识竞赛整体情况进行评价，并提出一条合理化建议． 18. 据了解，某河堤迎水坡长约，，河堤背水坡的坡度为1，根据险情及雨量，现需将河堤加高，并在背水坡加固堤坝，使，如图，已知垂直于地面．求背水坡坡底需要增加的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，，） 19. 如图，为的直径，与相切于点C，弦交于点D，，垂足为E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）将直线BC向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，请直接写出点P的坐标． 21. 某校工会组织全体教职工进行羽毛球比赛，根据安排现需购买A，B两种型号羽毛球拍．经了解，购买3支A型号的球拍和4支B型号的球拍共需900元，购买4支A型号的球拍和3支B型号的球拍共需850元． （1）求A，B两种型号的羽毛球拍的单价． （2）经了解，A型号羽毛球拍适合女教职工使用，B型号的羽毛球拍适合男教职工使用，按活动需要，学校需购买两种型号的球拍共100支，其中A型号的球拍数量不多于B型号球拍数量的3倍，则学校如何购买最省钱，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． （3）若抛物线在点A和点B之间（含点A，B）的部分与抛物线只有一个交点，请直接写出m的取值范围． 23. 如图1，中，，，，于点E，D为上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，当点D为的中点时，点F与点B重合，则线段和之间的数量关系是______． （2）如图1，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由． （3）连接，作交于点G．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一轮阶段检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0即可求解． 【详解】解：， 故选：A ． 2. 11月3日15时43分，在我国酒泉卫星发射中心，长征二号丙运载火箭/远征一号S上面级以“一箭双星”的方式，将遥感三十二号02组两颗卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．机械卡尺的最小可读单位为“丝”，其中100丝相当于1毫米．现用机械卡尺测长征二号丙运载火箭上的某个零件，长约15丝，请用科学记数法表示该零件长约（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵100丝毫米， ∴15丝毫米毫米， ∵1米毫米，即1毫米米， ∴毫米米米． 3. 下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，俯视图是从物体上方观察得到的平面图形，根据各几何体的结构特征判断即可．掌握常见几何体的三视图形状是解题的关键．对选择逐一判断即可． 【详解】解：选项A，圆锥的俯视图是带圆心的圆，不符合题意． 选项B，三棱柱的俯视图是三角形，符合题意． 选项C，正方体的俯视图是正方形，不符合题意． 选项D，四棱锥的俯视图是四边形（带对角线），不符合题意． 故选：B． 4. 如图，与相交于点B，于点B．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直定义可得，结合的度数求出，再利用邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解： ∴ 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用积的乘方和幂的乘方、合并同类项、完全平方公式、多项式除单项式法则对各项进行运算即可． 【详解】A、，故A符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式求解进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 7. 为了解大一学生的英语学习情况，某大学随机抽取了50名大一学生的英语期末成绩（满分100分），并对数据进行整理，绘制了如下频数分布直方图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．由图，可知这50个数据的中位数落在（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵抽取了50名大一学生， ∴成绩按从小到大排列中位数为第25位和第26位的平均数， ∵A组为5个人，B组为8个人，C组为11人，D组为16人， ∴， ∴中位数位于D组． 8. 如图，在中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且，下列说法错误的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若为正方形，则四边形为正方形 C. 若为矩形，则四边形为矩形 D. 若，则四边形为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质证明，则，即可得到四边形为平行四边形；再由对角线相等的平行四边形是矩形判断D；若为正方形，证明，则，，那么四边形是菱形，再证明，即可判断B． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形，故A正确； 若，则四边形矩形，故D正确； 若为正方形，如图： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ∴四边形是正方形，故B正确； 若为矩形，现有条件不足以证明四边形为矩形，故C错误． 9. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J，根据题意可得平分，可得，再通过两种方法表示出和面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分，过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J， ∴， 由图可得，；， ∴， ∴ 解得． 10. 如图，在平面直角坐标系中，D为菱形的边的中点，点A在y轴上，点，交x轴于点E．将菱形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则旋转90次后，点D对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于点F，将绕点O旋转两次分别为，，过点作于点G，根据菱形的性质可得，，根据勾股定理求出，进而得出点D的坐标，再根据绕原点逆时针旋转的性质进行全等证明即可． 【详解】解：过点D作于点F，将绕点O旋转两次分别为，，过点作于点G，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点， ∴， ∵点在轴上，且， ∴， ∵， ∴点横坐标与相同为，点纵坐标为点的纵坐标， ∴； ∵为中点， ∴， ∴， ∵每次绕原点逆时针旋转，4次为一个周期（旋转回到原位置）， ∴， ∴旋转90次等价于旋转2次， 每次旋转， ，，即， 又， ， 又，， ， ，， ， 即第1次旋转后点的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当自变量时，函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合此条件的函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据“当自变量时，函数值y随x的增大而减小”进行列举即可． 【详解】解：由题意得，符合条件的函数解析式为． 12. 关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为______． 【答案】 【解析】 详解】解：解第一个不等式得， 解第二个不等式得：， 由数轴可知不等式组的解集为， ∴． 13. 一个不透明的袋子里放有若干个红球和2个白球，这些球除颜色不同外，其他均相同．现进行如下操作：从袋子里随机摸出一个球，记下颜色，并放回．通过大量重复试验，发现摸出红球的频率稳定在0.75，则红球的个数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值估计概率，设出红球个数，利用概率公式列分式方程求解，即可解题． 解题的关键在于根据概率公式列分式方程． 【详解】解：设红球的个数为， 根据用频率估计概率的知识，可知摸出红球的概率为， 又袋子中球总个数为， 根据概率公式可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， 则红球的个数为个． 14. 如图，扇形中，，，G为的中点，将绕点G顺时针旋转，点A的对应点为，点B的对应点为，则扫过区域（图中阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，，，过点A作于C，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，由旋转的性质得出，，，则，故由、、围成的阴影部分面积为，同理求出由、、围成的阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：连接，，，，，过点A作于C， ∵G为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴由、、围成的阴影部分面积为， 同理由、、围成的阴影部分面积为， ∴扫过区域（图中阴影部分）的面积为． 15. 如图，矩形中，，，F为边上一点，连接，将沿折叠，得到，G为上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上，当点恰好在矩形的对角线上时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，①当点在对角线上时，点和点重合，勾股定理求得；②当点在对角线上时，连接，过点作于点, 过点 作 于点 ，在 Rt 中, 证明，即可求得 【详解】如图，①当点在对角线上时，点和点重合，如解图 1 所示. ，， 四边形是矩形，， ， 折叠， ， ②当点在对角线上时，连接，过点作于点, 过点 作 于点 , 如解 图 2 所示. 同理可得. 在 Rt 中， . . . 综上所述, 线段 的长为 或 . 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算及化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、立方根和负整数指数幂，进而计算加减法即可； （2）括号内的式子进行通分合并，再运用平方差公式和完全平方公式进行约分化简即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 2021年10月21日至11月21日，全国青少年禁毒知识竞赛在青骄网进行，禁毒知识竞赛总计20题，每题5分，满分100分，每位学生只能答题一次，限时10分钟答完，完成即出成绩．下面是随机抽取的某校七年级参加竞赛的30名学生的成绩（单位：分）： 55 55 55 60 60 60 65 65 70 70 75 75 75 75 75 80 80 80 80 85 85 85 85 90 90 95 95 95 100 100 对这30个数据进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 竞赛成绩频数分布表 组别 成绩x/分 频数 A 6 B 4 C 9 D 6 E 5 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，扇形统计图中扇形C的圆心角度数为______． （2）若该校七年级共有学生300名，请估计竞赛成绩在范围内的学生人数． （3）若该知识竞赛得分70分以上（不包含70分）为合格，请根据以上信息对该校七年级知识竞赛整体情况进行评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）30， （2）50人 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）C组频数除以总数可求C组数据所占百分数，C组数据所占比例乘以360度可得扇形C的圆心角度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）根据合格人数进行分析． 【小问1详解】 解：，即， 扇形统计图中扇形C的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：（人） 估计竞赛成绩在范围内的学生为50人； 【小问3详解】 解：， 估计该校七年级成绩合格的人数占，约有的学生成绩不合格， 建议：学校加强禁毒知识宣传，增强学生防范意识，争取人人合格． 18. 据了解，某河堤迎水坡长约，，河堤背水坡的坡度为1，根据险情及雨量，现需将河堤加高，并在背水坡加固堤坝，使，如图，已知垂直于地面．求背水坡坡底需要增加的宽度．（结果精确到．参考数据：，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点N，过点作于点M，得矩形，利用三角函数解求出，利用的坡度为1，求出，利用三角函数解求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点N，过点作于点M， ，， ， 垂直于地面， 点A在上，即， 又，， 四边形是矩形， ， 的坡度为1， ， 由题意知，， ， ,， ， ， ， 即背水坡坡底需要增加的宽度为． 19. 如图，为的直径，与相切于点C，弦交于点D，，垂足为E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，根据同弧所对圆周角相等，全等三角形的判定和性质，证明，得，根据同圆或等圆中，弦相等，弦所对弧也相等即可求证； （2）过点作于点，则，可得四边形是矩形，，再证明，得，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接，则， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∵，垂足为E, ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握同弧或等弧所对圆周角相等，弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理等知识的综合运用，合理作出辅助线是关键． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）将直线BC向下平移5个单位长度得到直线l，已知点P，Q分别为x轴、直线l上的动点，当的值最小时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)将点B，点C坐标代入反比例函数解析式可求m，n的值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； (2)根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集； (3)平移后的函数解析式为y=-x，如图：过点C作直线l的垂线，垂足为Q，交x轴于点P，此时P C+P Q的值最小，过点C作轴于点D，可得CD=1，OD=4，，可得，据此即可解答． 【小问1详解】 解：点B(1，4)在反比例函数的图象上 反比例函数的解析式为 点C(n， 1)在反比例函数的图象上 点C(4，1) 将点B(1，4)，C(4，1)代入y=k x+b中， 得 解得 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点B(1，4)，C(4，1) 由图象可得不等式的解集为； 【小问3详解】 解：把的图象向下平移5个单位长度后，得到的函数解析式为y=-x 如图：过点C作直线l的垂线，垂足为Q，交x轴于点P，此时P C+P Q的值最小，过点 C作轴于点D， CD=1，OD=4，， ， ， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了利用待定系数一次函数及反比例函数的解析式，由两函数图象的交点求不等式的解集，点到直线的距离，采用数形结合的思想是解决此类题的关键 21. 某校工会组织全体教职工进行羽毛球比赛，根据安排现需购买A，B两种型号的羽毛球拍．经了解，购买3支A型号的球拍和4支B型号的球拍共需900元，购买4支A型号的球拍和3支B型号的球拍共需850元． （1）求A，B两种型号的羽毛球拍的单价． （2）经了解，A型号的羽毛球拍适合女教职工使用，B型号的羽毛球拍适合男教职工使用，按活动需要，学校需购买两种型号的球拍共100支，其中A型号的球拍数量不多于B型号球拍数量的3倍，则学校如何购买最省钱，请说明理由． 【答案】（1）A，B两种型号的羽毛球拍的单价分别为100元和150元 （2）学校购买A型号的羽毛球拍75支，B型号的羽毛球拍25支时最省钱 【解析】 【分析】（1）设A，B两种型号的羽毛球拍的单价分别为a，b元，根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买这两种型号的羽毛球拍所需费用为y元， 购买A型号的羽毛球拍x支，则购买B型号的羽毛球拍支，根据题意得出x的取值范围，再列出y关于x的一次函数，最后由函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A，B两种型号的羽毛球拍的单价分别为a，b元， 根据题意：， 解得， 则A，B两种型号的羽毛球拍的单价分别为100元和150元． 【小问2详解】 解：设购买这两种型号的羽毛球拍所需费用为y元，购买A型号的羽毛球拍x支，则购买B型号的羽毛球拍支， 由题意，可得， 解得． ， ∵． ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，此时． 答∶学校购买A型号的羽毛球拍75支，B型号的羽毛球拍25支时最省钱． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． （3）若抛物线在点A和点B之间（含点A，B）的部分与抛物线只有一个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，确定a值即可得到解析式，配方即可得到顶点坐标； （2）按照列表、描点、连线三个步骤画图即可； （3）利用数形结合思想，分类思想求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 5 … 画出函数的图象如图所示； 【小问3详解】 解：当时，， ∴点B的坐标为， ∵，， ∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下，与y轴的交点的坐标为，且可看成由抛物线沿对称轴（直线）上下平移得到． 当抛物线的顶点坐标为时，符合题意，即，解得， 当抛物线经过点时，如图所示，此时有两个交点， 将代入，得， 解得， 当抛物线经过点时，如图所示，此时有一个交点， 将代入，得， 解得， 当时，如图，此时有一个交点． 综上所述，m的取值范围为或． 23. 如图1，中，，，，于点E，D为上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，当点D为的中点时，点F与点B重合，则线段和之间的数量关系是______． （2）如图1，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由． （3）连接，作交于点G．若，请直接写出的长． 【答案】（1）， 证明见解析； （2），理由见解析； （3）6或10 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可得结论； （2）延长至， 使 ，连接 ，设交于点， 则 ，先证明 ，再证明 ， ，证明为等边三角形，， 可得， 从而可得结论； （3）分两种情况：①当时，如图，连接， 延长至，使，连接，交于，先证明是的中点，再证明，可得，进一步求解即可； ②当时，如图，连接，在上取点，使，连接，交于，由（2）类推可得，，同理可证，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ， ， 为的中点， ， 是等边三角形， ， ， 即. 【小问2详解】 解：如图， ，理由如下： 延长至， 使， 连接 ，设交于点 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 由旋转可得： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 即 ， ， ， ， . 【小问3详解】 解：线段的长为10或6，理由如下： 分两种情况：①当时，如图，连接， 延长至，使，连接，交于， 由（2）得：，， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，由（2）知，，， ∴， ∴， ②当时，如图，连接，在上取点，使，连接，交于，由（2）类推可得，， 同理可证， ∴．又， ∴，而， ∴， ∴， 综上可知，的长为6或10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $