第8章 四边形 分节习题课件2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.2　特殊的平行四边形 第3课时　菱形的概念与性质 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2024•济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE. 若OE＝3，则该菱形的边长为（　A　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. （2025•广州二模）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的边OB在x轴上，点A（3，4），C（9，4）.若将边BC向左平移，则当四边形AOBC是菱形时，平移的距离是（　C　） A. 1 B. 2 C. 1或11 D. 2或11 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 3. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O. 若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长是 　52　. （第3题） 52　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为边AB上的一点，∠AHD＝90°，连接OH. 若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD的面积为 　20　. （第4题） 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF. 求证：AF＝DF. 解：如图，连接BF. ∵ EF垂直平分AB，∴ AF＝BF. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD＝AB，∠DAF＝∠BAF. 又∵ AF＝AF， ∴ △DAF≌△BAF. ∴ DF＝BF. ∴ AF＝DF. （第5题答案） （第5题） （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE. 若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　B　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥CD于点P，连接MN，NP，则∠NPC的度数为（　A　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. 一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　C　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. 如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC的长为12，E是线段CD上一点，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，则线段EF的长为 　 　. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 10. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是BC，CD的中点，P是对角线BD上的一点，则PM＋PN的最小值是 　5　. （第10题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 11. （2025•湖北期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于点E，F，连接BE，DF. （1） 求证：△AOE≌△COF. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AO＝CO，AD∥BC. ∴ ∠AEO＝∠CFO. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 若EF＝BD，BE＝8，DE＝16，求菱形ABCD的面积. 解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD＝AB＝BC，AD∥BC. 由（1），得△AOE≌△COF，∴ AE＝CF. ∴ AD＋AE＝BC＋CF，即DE＝BF. 又∵ DE∥BF，∴ 四边形EBFD是平行四边形.又∵ EF＝BD，∴ 四边形EBFD是矩形.∴ ∠DEB＝90°.设AD＝x，则AB＝x，AE＝16－x.在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE2＋BE2＝AB2，即（16－x）2＋82＝x2，解得x＝10.∴ AD＝10. ∴ S菱形ABCD＝BE•AD＝8×10＝80. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点F在DB的延长线上，点E在DA的延长线上，且满足DE＝BF. 求证：△EFC是等边三角形. （第12题） 解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD∥BC，CD＝CB. ∴ ∠BCD＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.∴ △BCD是等边三角形. ∴ ∠BDC＝60°.∴ ∠FBC＝∠BCD＋∠BDC＝120°.∴ ∠EDC＝∠FBC. 在△EDC和△FBC中， ∴ △EDC≌△FBC. ∴ CE＝CF，∠DCE＝∠BCF. ∴ ∠ECF＝∠BCE＋∠BCF＝∠BCE＋∠DCE＝ ∠BCD＝60°.∴ △EFC是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上，连接AE，EF，∠AED＝60°，∠BAE＝2∠DEF. 若DE＝8，DF＝2，则AE的长为 　5　. （第13题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 分类讨论思想　 如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点M在BC上，点N在AC上，连接DM，MN，BN，MN＝BN. （1）若AC，BD相交于点O，点N恰好与点O重合，求∠DMN的度数. （第14题） 解：（1） 当点N恰好与点O重合时，如图①所示.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BC＝CD，OB＝OD. ∵ ∠BCD＝60°，∴ △BCD是等边三角形.∴ ∠CBD＝60°.∵ MN＝BN，∴ △BMN是等边三角形. ∴ ∠BNM＝60°.∴ ∠DNM＝180°－∠BNM＝120°.又∵ MN＝BN，BN＝DN，∴ DN＝MN. ∴ ∠DMN＝ （180° －∠DNM）＝ ×（180°－120°）＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 当点N在AC上运动时，∠DMN的度数会发生变化吗？请说明理由. 解：（2） 当点N在AC上运动时，∠DMN的度数不发生变化，始终等于30°.理由：连接BD交AC于点O，连接DN. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC是BD的垂直平分线.∴ BN＝DN. ∴ ∠NBO＝∠NDO. ∴ 设∠NBO＝∠NDO＝α.由（1）可知，△BCD是等边三角形，则∠DBC＝60°.分两种情况讨论：① 当点N在线段OA上时，如图②所示. （第14题答案） （第14题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 ∴ ∠NBM＝∠DBC＋∠NBO＝60°＋α.∵ MN＝BN，∴ ∠NMB＝∠NBM＝60°＋α.在△NBM中，∠BNM＋∠NMB＋∠NBM＝180°，∴ ∠BNM＋60°＋α＋60°＋α＝180°.∴ ∠BNM＝60°－2α.∵ AC⊥BD，∠NBO＝∠NDO＝α，∴ ∠BNO＝∠DNO＝90°－α.∴ ∠MNO＝∠BNO－∠BNM＝90°－α－（60°－2α）＝30°＋α.∴ ∠MND＝∠MNO＋∠DNO＝30°＋α＋90°－α＝120°.∵ BN＝DN，MN＝BN，∴ MN＝DN. ∴ ∠DMN ＝ （180°－∠MND）＝ ×（180°－120°） ＝30°. 　 （第14题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 ② 当点N在线段OC上时，如图③所示.∴ ∠NBM＝∠DBC－∠NBO＝60°－α.∵ MN＝BN，∴ ∠NMB＝∠NBM＝60°－α.在△NBM中，∠BNM＋∠NMB＋∠NBM＝180°，∴ ∠BNM＋60°－α＋60°－α＝180°.∴ ∠BNM＝60°＋2α.∵ AC⊥BD，∠NBO＝∠NDO＝α，∴ ∠BNO＝∠DNO＝90°－α.∴ ∠MNC＝180°－（∠BNO＋∠BNM）＝180°－（90°－α＋60°＋2α）＝30°－α.∵ ∠CND＝180°－∠DNO＝180°－（90°－α）＝90°＋α，∴ ∠MND＝∠MNC＋∠CND＝30°－α＋90°＋α＝120°.∵ BN＝DN，MN＝BN，∴ MN＝DN. ∴ ∠DMN＝ （180°－∠MND）＝ ×（180°－120°）＝30°.综上所述，当点 N在AC上运动时，∠DMN的度数不发生变化， 始终等于30°. 　 （第14题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $8.2　特殊的平行四边形 第2课时　矩形的判定 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2024•泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（　D　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C C. AC＝BD D. AC⊥BD 2. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件后，能判定该四边形是矩形的是（　C　） A. AB＝BC B. AC⊥AB C. AO＝BO D. ∠ABD＝∠CBD D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，M，N是BD上的两点，BM＝DN. 连接AM，MC，CN，NA. 现添加一个条件，使得四边形AMCN是矩形，这个条件可以为 　答案不唯一，如AM⊥MC　（写出一个即可）. （第3题） 答案不唯一，如AM⊥MC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝12，当OD＝  　6　时，▱ABCD是矩形. （第4题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. （2024•长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形. （第5题） 解：∵ O是边AB的中点，∴ OA＝OB. 在△AOD和△BOC中， ∴ △AOD≌△BOC. ∴ DA＝CB. ∵ ∠A＝∠B＝90°，∴ ∠A＋∠B＝180°.∴ DA∥CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB. 添加下列一个条件后，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　B　） A. AB＝BE B. BE⊥DC C. ∠ADB＝90° D. CE⊥DE （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点D，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F，连接AE，AF. 有下列结论：① OE＝OF；② CE＝CF；③ 若CE＝12，则OC的长为6；④ 当AO＝CO时，四边形AECF是矩形.其中，正确的是（　A　） A. ①④ B. ①② C. ①③ D. ②③④ （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF. 有下列结论：① BE∥DF；② 四边形ABCD是平行四边形；③ 当E是AO的中点，且∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形.其中，正确的是 　①②③　（填序号）. （第8题） ①② ③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝CD，连接AE交BC于点F，∠AFC＝n∠D，连接BE，AC. 当n＝ 　2　时，四边形ABEC 是矩形. （第9题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，AE∥CF，连接AF，CE. （1） 求证：四边形AECF为平行四边形. 解：（1） ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ OA＝OC. ∵ AE∥CF，∴ ∠EAO＝∠FCO. ∵ ∠AOE＝∠COF，∴ △AEO≌△CFO. ∴ OE＝OF. ∴ 四边形AECF为平行四边形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠EAO＋∠CFD＝180°，求证：四边形AECF为矩形. 解：（2） ∵ ∠EAO＋∠CFD＝180°，∠CFO＋∠CFD＝180°， ∴ ∠EAO＝∠CFO. ∵ ∠EAO＝∠FCO，∴ ∠FCO＝∠CFO. ∴ OC＝OF. 由（1）可知，OA＝OC，OE＝OF，∴ AC＝EF. 又∵ 四边形AECF为平行四边形，∴ 四边形AECF为矩形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CF，CG. （1） 求证：△ABE≌△CDF. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ E，F分别为OB，OD的中点， ∴ BE＝ OB，DF＝ OD. ∴ BE＝DF. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由. （第11题） 解：（2） 当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形.理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC. ∴ AC＝2OA. ∵ AC＝2AB，∴ AB＝OA. ∵ E是OB的中点，∴ AG⊥OB. ∴ ∠OEG＝90°.∵ AB＝CD，OA＝OC，∴ CD＝OC. ∵ F是OD的中点，∴ CF⊥OD，∴ EG∥CF. ∵ △ABE≌△CDF，∴ AE＝CF. ∵ EG ＝AE，∴ EG＝CF. ∴ 四边形EGCF是平行四边形. ∵ ∠OEG＝90°，∴ 四边形EGCF是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AC，AE，BE，AE交BC于点F. 添加一个条件，使四边形ABEC是矩形.有下列四个条件：① ∠DAC＝∠EAC；② AD＝AE；③ ∠AFC＝2∠ABC；④ AB＝AD. 其中，可选择的是 　①②③　（填序号）. （第12题） ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线GH经过点O，与BA，DC的延长线分别交于点G，H，与AD，CB分别交于点E，F. （1） 求证：△BOG≌△DOH. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OB＝OD，AB∥CD. ∴ ∠BGO＝∠DHO. 在△BOG和△DOH中， ∴ △BOG≌△DOH. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 连接AH，CG，DG. 若GH＝GD，当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？请说明理由. （第13题） 解：（2） 当C是DH的中点时，四边形AHCG是矩形.理由： ∵ △BOG≌△DOH，∴ BG＝DH. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，∴ BG－AB＝DH－CD，即AG＝CH. 又∵ AG∥CH， ∴ 四边形AHCG是平行四边形.∵ GH＝GD，C是DH的中点， ∴ GC⊥CD. ∴ ∠GCH＝90°.∴ 四边形AHCG是矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $8.2　特殊的平行四边形 第4课时　菱形的判定 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD为菱形的是（　B　） A. AC＝BD B. ∠ADB＝∠CDB C. AD＝BC D. ∠ABC＝∠DCB （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 如图，在▱ABCD中，F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE，BD. 添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，则这个条件可以是（　D　） A. AB＝DE B. ∠BAD＝∠BDA C. DF＝EF D. DE平分∠ADB （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，连接AD，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，则这个条件可以是 　答案不唯一，如AB＝AD　（写出一个即可）. （第3题） 答案不唯 一，如AB＝AD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O. 现有下列条件：① AB∥CD；② AO＝OC；③ AB＝AD；④ AC平分∠DAB. 从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形，则可以选择的是 　①②③或②③④或①②④或①③④　（写出所有可能的情况）. ①②③或② ③④或①②④或①③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. （2025•徐州）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF. 求证： （1） △AGF≌△CGE. 解：（1） ∵ AB⊥AC，E为BC的中点，∴ AE＝BE＝EC. ∵ EF⊥AC，∴ AG＝GC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠FAG＝∠ECG. 又∵ ∠AGF＝∠CGE，∴ △AGF≌△CGE. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 四边形AECF是菱形. （第5题） 解：（2） ∵ △AGF≌△CGE，∴ AF＝CE. 又∵ AF∥CE，∴ 四边形AECF是平行四边形.又∵ EF⊥AC，∴ 四边形AECF是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，AD是△ABC的中线，O是AC的中点，过点A作AE∥BC，交DO的延长线于点E，连接CE. 添加下列一个条件，仍不能判定四边形ADCE是菱形的为（　B　） A. AB⊥AC B. AB＝AC C. AC平分∠DAE D. AE＝CE （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 将两张全等的矩形纸片ABCD，AFCE按如图所示的方式交叉叠放在一起，其中AB＝AF，AE＝BC. 若AB＝1，BC＝3，则重叠（涂色）部分的面积为（　C　） A. 2 B. C. ` D. （第7题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，AC，BD交于点O. 有下列条件：① AC⊥BD；② OA＝OC；③ CA平分∠BCD；④ ∠ABC＝∠ADC. 其中，能判定四边形ABCD是菱形的为 　①②④　（填序号）. （第9题） ①②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作▱CDEB，当AD的长为 　 　时，▱CDEB为菱形. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. （2025•武汉一模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD的中点，连接BE，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，DF. （1） 求证：四边形ABDF是平行四边形. （第10题） 解：（1） ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE. ∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DBE. 在△AEF和△DEB中， ∴ △AEF≌△DEB. ∴ AF＝DB. 又∵ AF∥BC， ∴ 四边形ABDF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠BAC＝90°，请添加一个条件，使四边形ADCF为菱形，并证明. 解：（2） 添加的条件不唯一，如D为BC的中点.由（1）可知，AF＝DB. ∵ ∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴ AD＝DB＝DC＝ BC. ∴ AF＝DC. ∵ AF∥BC，∴ 四边形ADCF是平行四边形.又∵ AD＝DC，∴ 四边形ADCF为菱形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF，G是线段AC上一点，且AE＝AG，连接EG. （1） 求证：四边形AECF是菱形. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AD∥BC. ∵ E，F分别是BC，AD的中点，∴ AF＝ AD，EC＝ BC. ∴ AF＝EC. 又∵ AF∥EC，∴ 四边形AECF是平行四 边形.∵ ∠BAC＝90°，E为BC的中点，∴ AE＝ BC＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若AB＝6，BC＝10，求EG的长. 解：（2） 如图，连接EF，交AC于点O. ∵ 在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴ 62＋AC2＝102.∴ AC＝8.∵ AE＝ BC＝5，AE＝AG，∴ AG＝5.∵ 四边形AECF是菱形，∴ O是AC的中点，AC⊥EF. ∴ AO＝ AC＝4.∴ 在Rt△AOE中，EO＝ ＝3.又∵ OG＝AG－AO＝5－4＝1，∴ 在Rt△OEG中，EG＝ ＝ . （第11题答案） （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，点E，F分别在BC，CD上，若AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D的度数为 　80°　. （第12题） 80°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，交DE于点H. 若AF＝FG，AG平分∠CAB，连接GE，GD. （1） 求证：△ECG≌△GHD. 解：（1） ∵ AF＝FG，∴ ∠FAG＝∠FGA. ∵ AG平分∠CAB， ∴ ∠CAG＝∠FAG. ∴ ∠CAG＝∠FGA. ∴ AC∥FG. ∴ ∠DHG＝∠CEH. ∵ DE⊥AC，∴ ∠DHG＝∠CEH＝90°.∴ ∠EHG＝90°.∵ FG⊥BC，∴ ∠CGH＝90°.∴ 四边形CEHG是矩形.∴ ∠C＝∠DHG＝90°，EC＝GH. 如图，连接EF. ∵ F是AD的中点， ∴ EF＝FD. 又∵ ∠DHG＝90°，即FG⊥DE，∴ FG垂直平分ED. ∴ GE＝DG. 在Rt△ECG和Rt△GHD中， ∴ Rt△ECG≌Rt△GHD，即△ECG≌△GHD. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC. 请你帮助小亮同学证明这一结论. （第13题） 解：（2） 如图，过点G作GP⊥AB于点P. 由（1），得∠C＝90°， ∴ GC⊥AC. ∵ AG平分∠CAB，∴ CG＝PG. 又∵ AG＝AG， ∴ Rt△CAG≌Rt△PAG. ∴ AC＝AP. 由（1），得EG＝DG. 又∵ CG＝PG，∴ Rt△ECG≌Rt△DPG. ∴ EC＝DP. ∴ AD＝AP＋DP＝AC＋EC. （第13题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 若∠B＝30°，请判断四边形AEGF是否为菱形，并说明理由. 解：（3） 四边形AEGF是菱形.理由：∵ 四边形CEHG是矩形， ∴ EH∥CG，即ED∥BC. ∴ ∠ADE＝∠B＝30°.∴ AE＝ AD. ∵ F是AD的中点，∴ AE＝AF＝FG＝ AD. 由（1），得AE∥FG，∴ 四边形AEGF是平行四边形.又∵ AE＝AF， ∴ 四边形AEGF是菱形. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $专题特训六　构造三角形中位线探究中点问题 第8章　四 边 形 类型一　构造三角形中位线探究与中点有关的角的关系 1. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4.若∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　B　） A. 140° B. 142° C. 150° D. 152° （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝105°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是A′，则∠AEA′的度数为（　B　） A. 145° B. 150° C. 155° D. 160° （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＋∠BCD＝120°，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，则∠FEG的度数为 　30°　. （第3题） 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD，OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE的度数为 　60°　. （第4题） 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，D为BC上的一点，连接AD交EF于点G，AE＝EG. （1） 求证：∠CAD＝∠BAD. 解：（1） ∵ E，F分别为AC，BC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB. ∴ ∠EGA＝∠BAD. ∵ AE＝EG，∴ ∠CAD＝∠EGA. ∴ ∠CAD＝∠BAD. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 若DG＝DF，∠B＝32°，求∠C的度数. （第5题） 解：（2） ∵ EF∥AB，∠B＝32°，∴ ∠DFG＝∠B＝32°.∵ DG＝DF，∴ ∠DGF＝∠DFG＝32°.∴ ∠GDF＝180°－32°－32°＝116°，∠EGA＝∠DGF＝32°.∵ AE＝EG，∴ ∠EAG＝∠EGA＝32°.∴ ∠C＝∠GDF－∠EAG＝116°－32°＝84°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. ★如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不需要证明）. 温馨提示：在图①中，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而有∠2＝∠1，再利用平行线的性质，可证得∠BME＝∠CNE. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1） 如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交CD，AB于点M，N，直接写出△OMN的形状（不需要证明）. 解：（1） △OMN为等腰三角形. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （2） 如图③，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG. 若∠EFC＝60°，判断△AGD的形状，并给出证明. （第6题） 解：（2） △AGD是直角三角形.如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE. ∵ F是AD的中点，H是BD的中点，∴ HF∥AB，HF＝ AB. 同理，可得HE∥CD，HE＝ CD. ∵ AB＝CD，∴ HF＝HE. ∵ ∠EFC＝60°，HE∥AC，∴ ∠FEH＝∠EFC＝60°.∴ △EHF是等边三角形.∴ ∠HFE＝60°.∵ HF∥AB，∴ ∠AGF＝∠HFE＝60°.∵ ∠AFG＝∠EFC＝60°，∴ ∠GAF＝60°.∴ △AGF是等边三角形.∴ AF＝GF. ∵ F是AD的中点，即AF＝FD， ∴ GF＝FD. ∴ ∠FGD＝∠FDG＝ ∠AFG＝30°. ∴ ∠AGD＝∠AGF＋∠FGD＝90°， 即△AGD是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 类型二　构造三角形中位线探究与中点有关的边的关系 7. 如图，在△ABC中，AB＝8，AD为△BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点.若DE＝10，则AC的长为（　A　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，G，H分别为AD，BE的中点，连接GH，则GH的长为（　B　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 （第8题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是边BC上一点，M为边AB上的动点，D，E分别为CN，MN的中点，则DE长的最小值是 　 　. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型三　构造三角形中位线探究与中点有关的图形的周长或面积问题 10. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，G是EC的中点，连接DG并延长，交BC的延长线于点F. 若△GCF的面积为a，则△ABC的面积为（　D　） A. 5a B. 6a C. 7a D. 8a （第10题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为边AD，DC，CB，BA的中点.若AC＝4，BD＝3，则四边形EFGH的面积为（　D　） A. 12 B. 7 C. 6 D. 3 （第11题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，则四边形AEDF的周长为 　16　. （第12题） 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中点.若BC＝10，则△PMN的周长是 　15　. （第13题） 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $专题特训七　多姿的中点四边形 第8章　四 边 形 类型一　探究中点四边形的形状 1. 已知四边形ABCD的对角线长相等，顺次连接四边形的四条边的中点，所得到的新四边形的形状是（　C　） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 2. 顺次连接四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，得到矩形EFGH，则原四边形ABCD的对角线AC，BD满足的条件是 　AC⊥BD　. C AC⊥BD　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫作“中点四边形”.如图①，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，顺次连接各边中点得到“中点四边形”EFGH. （1） 这个“中点四边形”EFGH的形状是 　平行四边形　. 平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 如图②，在四边形ABCD中，点M在AB上，且△AMD和△MCB为等边三角形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，顺次连接各边中点.试判断四边形EFGH的形状，并说明理由. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：四边形EFGH为菱形.理由：如图，连接AC，BD. ∵ △AMD和△MCB为等边三角形，∴ AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM. ∴ ∠AMC＝∠DMB. 在△AMC和△DMB中， ∴ △AMC≌△DMB. ∴ AC＝DB. ∵ E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，∴ EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线.∴ EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC，HE＝ DB. ∴ EF∥GH，EF＝GH. ∴ 四边形EFGH为平行 四边形.∵ AC＝DB，∴ EF＝HE. ∴ 四边形EFGH 为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的新四边形叫作中点四边形. （1） 如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点.猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想. （第4题答案） （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1） 中点四边形EFGH是菱形.如图，连接AC，BD交于点O. ∵ ∠APB＝∠CPD，∴ ∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 在△APC和△BPD中， ∴ △APC≌△BPD. ∴ AC＝BD. ∵ E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，∴ EF＝ AC，FG＝ BD，EH＝ BD，GH＝ AC. ∴ EF＝FG＝GH＝EH. ∴ 中点四边形EFGH 是菱形. （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 （2） 在（1）的条件下，若∠APB＝∠CPD＝90°，请直接写出中点四边形EFGH的形状（不必给出证明）. 解：（2） 中点四边形EFGH是正方形. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型二　探究中点四边形中线段的长 5. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，且四边形EFGH的周长为16 cm，则矩形ABCD的对角线AC的长为 　8 cm　. （第5题） 8 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. （2024•云南）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，连接FE，FG，GH，EH，四边形EFGH是矩形. （1） 求证：四边形ABCD是菱形. （第6题） 解：（1） 如图，连接AC，BD交于点O，设AC交FG于点N. ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ 四边形EFGH是矩形，∴ ∠HGF＝90°.∵ H，G分别是AD， CD的中点，∴ HG∥AC，HG＝ AC. ∴ ∠GNC＝∠HGF＝90°.∵ G，F分 别是DC，BC的中点，∴ FG∥BD， FG＝ BD. ∴ ∠DOC＝∠GNC＝90°. ∴ BD⊥AC. ∴ 四边形ABCD是菱形. （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 若矩形EFGH的周长为22，且四边形ABCD的面积为10，求AB的长. 解：（2） ∵ 矩形EFGH的周长为22，∴ HG＋FG＝11.∴ 由（1），易得AC＋BD＝22.∵ 菱形ABCD的面积为10，∴ AC•BD＝10.∴ AC•BD＝20.∵ （AC＋BD）2＝AC2＋2AC•BD＋BD2＝222，∴ AC2＋BD2＝444.∴ AC2＋ BD2＝111.∴ 易得AO2＋BO2 ＝111.∴ AB2＝AO2＋BO2＝111.∴ AB＝ . （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型三　探究中点四边形的周长与面积 7. （2024•长沙模拟）如图，四边形EFGH的顶点是四边形ABCD各边的中点.若把四边形EFGH涂满红色需要10桶红油漆，则要把其余部分涂满红色需要 　10　桶红油漆. （第7题） 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，S四边形ABCD＝8 cm2，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的周长为 　8 cm　. （第8题） 8 cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. （2024•杭州滨江三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，连接DE，EF，FG，DG，则四边形DEFG的周长为 　14　. （第9题） 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 如图①，将正方形ABCD与正方形AEFG放置在一起，使AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.连接DG，BE，易证DG＝BE且DG⊥BE. （1） 在同一平面内，若小明将正方形ABCD与正方形AEFG按如图②所示的方式放置，连接DG，BE，试判断DG与BE之间的关系，并给出证明. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1） DG＝BE且DG⊥BE. 如图，设AG与BE交于点H，DG与BE交于点K. ∵ 四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，∴ AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠EAG＝90°.∴ ∠DAB＋∠BAG＝∠EAG＋∠BAG，即∠DAG＝∠BAE. 在△DAG和△BAE中， ∴ △DAG≌△BAE. ∴ DG＝BE，∠AGD＝∠AEB. ∵ ∠AEB＋∠AHE＝90°，∠AHE＝ ∠KHG，∴ ∠KHG＋∠AGD＝90°.∴ ∠GKH＝90°.∴ DG⊥BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 如图③，连接BG，GE，ED，DB，BE，分别取BG，GE，ED，DB的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ的形状为 　正方形　.如果BE＝6，那么四边形MNPQ的面积为 　9　. （第10题） 正方形　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $专题特训五　特殊平行四边形中的折叠问题 第8章　四 边 形 类型一　求角度问题 1. 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处.若∠ADB＝24°，则∠AEB的度数为（　C　） A. 66° B. 60° C. 57° D. 48° （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在点G处，点C落在点H处.若∠EFD＝80°，则∠DFH的度数为 　20°　. （第2题） 20°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F. （1） 求证：△DAF≌△ECF. 解：（1） ∵ 将矩形ABCD沿对角线AC折叠，∴ AD＝BC＝CE，∠D＝∠B＝∠E＝90°.在△DAF和△ECF中， ∴ △DAF≌△ECF. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若∠FCE＝40°，求∠BAC的度数. （第3题） 解：（2） ∵ △DAF≌△ECF，∴ ∠DAF＝∠ECF＝40°.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠DAB＝90°.∴ ∠EAB＝∠DAB－∠DAF＝90°－40°＝50°.由折叠的性质，知∠EAC＝∠BAC，∴ ∠BAC＝ ∠EAB＝25°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　求线段长度问题 4. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10 cm，AB＝6 cm.将△BCE沿BE折叠，使点C的对应点C′落在AD上，则DE的长为（　D　） A. 2 cm B. 2.5 cm C.  cm D.  cm （第4题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，△CDE沿CE折叠得到△CFE，且B，F，E三点共线.若DE＝3，CD＝7，求BF的长. （第5题） 解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，BC＝AD， BC∥AD，∠A＝90°.∴ ∠BCE＝∠DEC. ∵ △CDE 沿CE折叠得到△CFE，且B，F，E三点共线， ∴ ∠BEC＝∠DEC，FE＝DE＝3.∴ ∠BCE＝∠BEC. ∴ BC＝BE. ∴ BE＝AD. ∴ BE－FE＝AD－DE， 即BF＝AE. ∵ AE2＋AB2＝BE2，且AB＝CD＝7，BE＝BF＋3，∴ BF2＋72＝（BF＋3）2.∴ BF＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B′处，连接B′C. （1） 求证：AE∥B′C. （第6题） 解：（1） ∵ E为BC的中点，∴ BE＝EC. 由折叠的性质，得B′E＝BE，∠BEA＝∠B′EA. ∴ B′E＝EC. ∴ ∠EB′C＝∠B′CE. ∵ ∠BEB′＝∠BEA＋∠B′EA＝∠EB′C＋∠B′CE， ∴ ∠BEA＝∠B′CE. ∴ AE∥B′C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若AB＝8，BC＝12，求线段B′C的长. 解：（2） 如图，连接BB′交AE于点H. ∵ 在矩形ABCD中，∠ABE＝90°，AB＝8，BC＝12，E为BC的中点，∴ BE＝6.∴ AE＝ ＝10.∵ 将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点B′处， ∴ BH＝B′H，BB′⊥AE，即BH是△ABE的高.∵ S△ABE＝ AB•BE＝ AE•BH，∴ B′H＝BH＝ ＝4.8.∴ BB′＝BH＋B′H＝9.6.由（1）知，AE∥B′C，∴ BB′⊥B′C. ∴ ∠BB′C＝90°.∴ B′C＝ ＝ ＝7.2. （第6题答案） （第6题答案） （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　求图形的周长问题 7. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF. 再将△AEF沿EF折叠，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为 　4＋ 　. （第7题） 4＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A，C分别落在BD上的点E，F处，折痕分别为BG，DH. （1） 求证：四边形BGDH是平行四边形. 解：（1） 由矩形和折叠的性质，可得GD∥BH，AB∥CD，∠GBD＝ ∠ABD，∠HDB＝ ∠CDB. ∴ ∠ABD＝∠CDB. ∴ ∠GBD＝∠HDB. ∴ BG∥DH. ∴ 四边形BGDH是平行四边形. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若AB＝6，AD＝8，求四边形BGDH的周长. （第8题） 解：（2） 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD ＝ ＝10.由折叠的性质，得BE＝AB＝6， GE＝AG，∠BEG＝∠A＝90°.∴ ∠DEG＝90°， DE＝BD－BE＝4.设GD＝x，则GE＝AG＝8－x. 在Rt△GDE中，由勾股定理，得DE2＝GD2－GE2，即42＝x2－（8－x）2，解得x＝5.∴ AG＝3，GD＝5.在Rt△ABG中，由勾股定理，得BG＝ ＝ .∵ 2（BG＋GD）＝2 ＋10，∴ 四边形BGDH的周长为2 ＋10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型四　探究性问题 9. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B，C重合，直线AP与DC的延长线交于点E. （1） 若P是BC的中点，求证：△ABP≌△ECP. （第9题） 解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD. ∴ ∠BAP＝∠E，∠B＝∠PCE. ∵ P是BC的中点，∴ BP＝CP. ∴ △ABP≌△ECP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′，交直线AD于点F. ① 求证：FA＝FP. 解：（2） ① ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC. ∴ ∠APB＝∠FAP. 由折叠的性质，得∠APB＝∠APF，∴ ∠FAP＝∠APF. ∴ FA＝FP. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ② 在（1）的条件下，求FA的长. 解：② 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴ BC＝AD＝8.∵ P是BC的中点，∴ BP＝CP＝4.由折叠的性质，得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°.设FA＝x，则FP＝x. ∴ B′F＝x－4.在Rt△AB′F中，由勾股定理，得FA2＝B′F2＋AB′2，即x2＝（x－4）2＋62，解得x＝ .∴ FA的长为 . （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ③ 连接B′C，求△PCB′周长的最小值. 解： ③ 如图①，连接AC. 由折叠的性质，得AB′＝AB＝6，PB′＝PB. ∴ △PCB′的周长＝CP＋PB′＋CB′＝CP＋PB＋CB′＝CB＋CB′＝8＋CB′.易知AB′＋CB′≥AC，当点B′恰好位于对角线AC上时，AB′＋CB′的值最小，为AC的长，此时CB′的长最小，则△PCB′的周长最小.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝10.∴ CB′长的最小值＝AC－AB′＝4. ∴ △PCB′周长的最小值＝8＋4＝12. （第9题） （第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ④ 如图②，连接BB′交AE于点H，G是AE的中点.当∠EAB′＝2∠AEB′时，请判断AB与HG之间的数量关系，并说明理由. （第9题答案） 解： ④ AB＝2HG. 理由：如图②，由折叠的性质，可知∠1＝∠2，AB＝AB′，BB′⊥AE. 过点B′作B′M∥DE，交AE于点M. ∵ AB∥DE，∴ AB∥DE∥B′M. ∴ ∠1＝∠2＝∠3＝∠AED. ∴ AB′＝B′M＝AB. ∴ H是AM的中点.∵ ∠EAB′＝2∠AEB′，即∠2＝2∠5，∴ ∠3＝2∠5.∵ ∠3＝∠4＋∠5，∴ ∠4＝∠5.∴ B′M＝EM. ∴ B′M＝EM＝AB′＝AB. ∵ G是AE的中点，H是AM的中点，∴ AG＝ AE，AH＝ AM. ∴ HG＝AG－AH＝ （AE－AM）＝ EM. ∴ HG＝ AB. ∴ AB＝2HG. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $专题特训二　平行四边形判定与性质的综合 第8章　四 边 形 类型一　利用平行四边形的性质求解 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，G分别是OC，AB的中点，连接BE，GE. 若∠ABE＝42°，则∠AEG的度数为（　D　） A. 42° B. 45° C. 46° D. 48° （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边的三等分点，G，H是BC边的三等分点.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的大小关系是 　S1＝S2　. （第2题） S1＝S2　 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　利用平行四边形的性质进行证明 3. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE，BF，∠ADE与∠CBF的平分线DG，BG交于AC上一点G，连接EG. 若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF＋DE. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 解：如图，在AD上取一点M，使得DM＝DE，连接MG. ∵ DG，BG分别是∠ADE，∠CBF的平分线，∴ ∠MDG＝∠EDG，∠FBG＝∠GBC. 在△DMG和△DEG中， ∴ △DMG≌△DEG. ∴ ∠DMG＝∠DEG. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∠BCD＝∠BAD. 又∵ ∠DEG＝∠BCD， ∴ ∠DMG＝∠BAD. ∴ MG∥AB. ∴ ∠BAF＝∠AGM. ∵ AG＝AB，∴ ∠AGB＝∠ABG. ∵ ∠ABG＝ ∠ABF＋∠FBG，∠AGB＝∠GBC＋∠BCG， ∠FBG＝∠GBC，∴ ∠ABF＝∠BCG. （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵ AD∥BC，∴ ∠BCG＝∠GAM. ∴ ∠GAM＝∠ABF. 在△AMG和△BFA中， ∴ △AMG≌△BFA. ∴ AM＝BF. ∴ AD＝AM＋MD＝BF＋DE. （第3题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　利用平行四边形的判定进行证明 4. 如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点F，D分别在AC，BC上，AF＝CD，连接BF，EF. 求证： （1） BF＝AD. 解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ AB＝CA，∠BAF＝∠C＝60°.又∵ AF＝CD，∴ △ABF≌△CAD. ∴ BF＝AD. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 四边形BFED为平行四边形. （第4题答案） （第4题答案） （第4题） 解：（2） 如图，设AC与DE相交于点H. 由（1）知，BF＝AD. ∵ △ADE是等边三角形，∴ AD＝DE，∠AED＝∠DAE＝60°.∴ BF＝DE. ∵ ∠C＝∠AED＝60°，∠DHC＝∠AHE，∴ ∠CDH＝∠CAE. ∵ △ABF≌△CAD，∴ ∠ABF＝∠CAD. ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠ABC＝60°.∴ ∠CBF＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAD＝60°.∴ ∠CBF＝∠CAE. ∴∠CBF＝∠CDH. ∴ BF∥DE. 又∵ BF＝DE，∴ 四边形BFED为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB，BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且BC＝AD，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. （第5题） 解：∵ FE⊥AC，∴ ∠FEA＝∠FEC＝90°.∵ ∠FAC＝45°，∴ 易得△AEF是等腰直角三角形.∴ AE＝FE，∠AFE＝∠FAE＝45°.在Rt△AEB和Rt△FEC中， ∴ Rt△AEB≌Rt△FEC. ∴ BE＝CE. ∴ ∠CBE＝∠BCE＝ （180°－∠BEC）＝45°. ∵ AD⊥AF，∴ ∠FAD＝90°.∴ ∠CAD＝90°－45°＝45°. ∴ ∠BCE＝∠CAD. ∴ BC∥AD. 又∵ BC＝AD，∴ 四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　利用平行四边形的判定与性质求解 6. （2025•金华模拟）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF，连接AE，EC，CF，FA. （1） 求证：四边形AECF是平行四边形. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠ADB＝∠CBD. ∴ 180°－∠ADB＝180°－∠CBD，即∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∴ △ADE≌△CBF. ∴ AE＝CF，∠AED＝∠CFB. ∴ AE∥CF. ∴ 四边形AECF是平行四边形. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF－AF＝2，求DE的长. 解：（2） ∵ AD⊥BD，AB＝5，BC＝AD＝3，∴ BD＝ ＝ ＝4.如图，连接AC交EF于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DO＝OB＝ BD＝2.∵ 四边形AECF是平行四边形，∴ EO＝OF＝ EF. 设DE＝BF＝x.∴ DF＝x＋4，EF＝2x＋4.∵ EF－AF＝2，∴ AF＝2x＋2.∵ 在Rt△ADF中， AF2＝AD2＋DF2，∴ （2x＋2）2＝32＋（x＋4）2. ∴ x＝ （负值舍去）.∴ DE的长为 . （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，连接AC，BF，DE. （1） 求证：BE＝CD. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AB＝CD. ∴ ∠DAE＝∠AEB. ∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝∠DAE. ∴ ∠BAE＝∠AEB. ∴ BE＝AB. ∴ BE＝CD. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若BF恰好平分∠ABE，求证：四边形ACED是平行四边形. 解：（2） 由（1）知，BE＝AB. ∵ BF平分∠ABE，∴ AF＝EF. 在△ADF和△ECF中， ∴ △ADF≌△ECF. ∴ DF＝CF. 又∵ AF＝EF，∴ 四边形ACED是平行四边形. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （3） 若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求▱ABCD的面积. （第7题） 解：（3） 由（1）知，BE＝AB，又∵ ∠BEA＝60°，∴ △ABE是等边三角形.∴ AB＝AE＝4.∵ BF⊥AE，∴ AF＝EF＝ AE＝2.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝ ＝ ＝ .在△ADF和△ECF中， ∴ △ADF≌△ECF. ∴ S△ADF＝S△ECF. ∴ S▱ABCD＝S△ABE＝ AE•BF＝ ×4× ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　利用平行四边形的判定与性质证明 8. 新考法•探究题　 （2025•郑州期末）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形.小智、小慧两名同学给出了两种不同的方案如下： 小智的方案：分别取AO，CO的中点E，F. 小慧的方案：过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 请你在两个方案中任选一个证明四边形BEDF为平行四边形. 解：（1） 若选择小智的方案：如图①，连接BD. ∵ 在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，∴ AO＝CO，BO＝DO. ∵ E，F分别为AO，CO的中点，∴ EO＝ AO，FO＝ CO. ∴ EO＝FO. ∴ 四边形BEDF为平行四边形.若选择小慧的方案：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC，AD∥CB. ∴ ∠EAD＝∠FCB. ∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ BE∥DF，∠CEB＝∠AFD＝90°.在△CBE和△ADF中， ∴ △CBE≌△ADF. ∴ BE＝DF. ∵ BE∥DF，∴ 四边形BEDF为平 行四边形. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 请你给出一种和他们不同的方案，用文字表述你的方案，并在图中标记字母（不必证明）. 解：（2） 如图②，在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形. （第8题答案） （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 $8.3　三角形的中位线 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，EF，则四边形DBFE的周长是（　D　） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，连接DE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　A　） A. 1 B. C. 2 D. （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图，F，G，H分别是AD，BD，BC的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF的度数为 　25°　. （第3题） 25°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. （2025•扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 　6　. （第4题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝ AB，连接DE，DF，DE交AF于点P. （1） 求证：AP＝FP. 解：（1） 如图，连接EF，AE. ∵ E，F分别为BC，AC的中点， ∴ EF∥AB，EF＝ AB. 又∵ AD＝ AB，∴ EF＝AD. 又∵ EF∥AD，∴ 四边形AEFD是 平行四边形.∴ AP＝FP. （第5题答案） （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若BC＝10，求DF的长. 解：（2） 在Rt△ABC中，∵ E为BC的中点，BC＝10，∴ AE＝ BC＝5.又∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ DF＝AE＝5. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，CD上的点，R是定点，E，F分别是AP，RP的中点，连接EF. 在点P从点C移动到点B的过程中，下列结论中，成立的是（　C　） A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减小 C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长与点P的位置有关 C （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC＝8，BD＝6，依次取AB，BC，CD，AD的中点M，N，P，Q，并顺次连接，得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（　A　） A. 12 B. 16 C. 24 D. 48 （第7题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，M是BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC的延长线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为 　270°－3α　（用含α的式子表示）. （第9题） 270°－3α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，连接AD，BE，M，N，H分别是AD，BE，AB的中点，连接MN，MH，NH. （1） 试猜想△MNH是何特殊三角形，并说明理由. （第10题） 解：（1） △MNH是直角三角形.理由：∵ M，N，H分别是AD，BE，AB的中点，∴ HM∥BD且HM＝ BD，HN∥AE且HN＝ AE. ∴ ∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC. ∴ ∠MHN＝180°－（∠AHM＋∠BHN）＝180°－（∠ABC＋∠BAC）. ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ABC＋∠BAC＝90°. ∴ ∠MHN＝180°－（∠ABC＋∠BAC）＝90°. ∴ △MNH是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若AE＝4，BD＝6，求线段MN的长. （第10题） 解：（2） ∵ AE＝4，BD＝6，∴ HM＝ BD＝3，HN＝ AE＝2.∵ △MNH是直角三角形， ∴ MN2＝MH2＋NH2＝9＋4＝13.∴ MN＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，线段AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G. （1） 判断四边形DEFG的形状，并说明理由. 解：（1） 四边形DEFG是平行四边形.理由：∵ E，F分别为线段OB，OC的中点，∴ EF＝ BC，EF∥BC. 同理，可得DG＝ BC，DG∥BC. ∴ EF＝DG，EF∥DG. ∴ 四边形DEFG是平行四边形. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若M为EF的中点，OM＝2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长. （第11题） 解：（2） ∵ ∠OBC和∠OCB互余，即∠OBC＋∠OCB＝90°，∴ ∠BOC＝90°.在Rt△EOF中，∵ M为斜边EF的中点，OM＝2，∴ EF＝2OM＝4.∴ BC＝2EF＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 易错题　 如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE＝2，连接DE，M是DE的中点，N是BC的中点，则MN的长为 　 　. （第12题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC的中点. （1） 如图①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D按逆时针方向旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H，连接EF. 判断FH与FC之间的数量关系并加以证明. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：（1） FH＝FC. 延长DF交AB于点G. 由题意知，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF. ∴ ∠EDF＋∠ACB＝180°.∴ DG∥CB. 取AB的中点K，连接DK. ∵ D为AC的中点，∴ DK∥BC. 又∵ DG∥BC，∴ 点K，G重合，即DG为△ABC的中位线.∴ DG＝ BC. ∵ AC＝BC，∴ DC＝DG. ∴ DC－DE＝DG－DF，即EC＝GF. ∵ ∠EDF＝90°，FH⊥FC，∴ ∠1＋∠CFD＝90°，∠2＋∠CFD＝90°.∴ ∠1＝∠2.∵ △DEF与△ABC都是 等腰直角三角形，∴ ∠DEF＝∠B＝45°. ∵ DG∥CB，∴ ∠AGD＝∠B＝45°.∴ ∠CEF ＝∠FGH＝135°.∴ △CEF≌△FGH. ∴ CF＝FH. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 19 （2） 如图②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，请直接判断（1）中得出的结论是否发生改变. 解：（2）（1）中得出的结论不发生改变. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $专题特训三　平行四边形中的折叠与动点问题 第8章　四 边 形 类型一　平行四边形中的折叠问题 1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处.若∠1＝∠2＝40°，则∠B的度数为（　D　） A. 60° B. 100° C. 110° D. 120° （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在▱ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F. 若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（　D　） A. 50° B. 45° C. 40° D. 36° （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　C　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 （第3题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE翻折，使点A恰好与边CD上的点F重合.若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则CF的长为 　6　. （第4题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为C1，点D的对应点为D1.若BD1＝2，则AD的长为 　4或12　. 4或12　 6. 如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点F落在对角线AC上.若AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，则△CEF的周长为 　6　. （第6题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，在▱ABCD中，AB＝AC，点E，F分别在AD，BC上，EF与AC交于点O，沿EF折叠平行四边形，使点A，C重合，点B落在点G的位置. （1） 求证：△CED≌△CFG. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D. 由折叠的性质，可得AB＝CG，∠B＝∠G，∠BAD＝∠GCE. ∴ ∠BCD＝∠GCE，CD＝CG， ∠D＝∠G. ∵ ∠ECD＋∠BCE＝∠BCD，∠BCE ＋∠FCG＝∠GCE，∴ ∠ECD＝∠FCG. ∴ △CED≌△CFG. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若∠BCD＝130°，求∠AEF的度数. 解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC. ∵ ∠BCD＝130°，∴ ∠B＝180°－∠BCD＝50°.∵ AB＝AC， ∴ ∠ACB＝∠B＝50°.∵ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠ACB＝50°. ∵ EF为折痕，点A与点C重合，∴ AC⊥EF. ∴ ∠AOE＝90°. ∴ ∠AEF＝180°－∠DAC－∠AOE＝40°. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型二　平行四边形中的动点问题 8. 如图，E是▱ABCD的边CD上一动点，以BE为一条边作▱BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D运动的过程中，关于▱BEFG的面积，下列说法正确的是（　A　） A. 始终不变 B. 逐渐减小 C. 先减小再增大 D. 变化情况不能确定 （第8题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. （2024•广安）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为 　 　. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，△ABC是等边三角形，D，F分别是线段BC，AB上的动点，∠EFB＝60°，EF＝DC，连接CF，DE. （1） 求证：四边形EFCD是平行四边形. （第10题） 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC＝60°.∵ ∠EFB＝60°，∴ ∠ABC＝∠EFB. ∴ EF∥DC. ∵ EF＝DC，∴ 四边形EFCD是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 连接BE，AD，AE，若BF＝EF，AD＝6，求AE的长. 解：（2） ∵ BF＝EF，∠EFB＝60°，∴ △EFB是等边三角形.∴ EB＝EF，∠FBE＝60°.∵ DC＝EF，∴ EB＝DC. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝60°，AB＝AC. ∴ ∠ABE＝∠ACD. 在△AEB和△ADC中， ∴ △AEB≌△ADC. ∴ AE＝AD＝6. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，并以0.5 cm/s的速度从点A向点D运动. （1） 如图①，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠D＝∠B，AD∥BC. ∴ ∠DPC＝∠PCB. ∵ CP平分∠BCD，∴ ∠PCD＝∠PCB. ∴ ∠DPC＝∠PCD. ∴ DP＝DC. ∵ CD＝CP，∴ CP＝CD＝PD. ∴ △PDC是等边三角形.∴ ∠D＝60°.∴ ∠B＝60°. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 如图②，另一动点Q在边BC上，以2 cm/s的速度从点C出发，在点B，C间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）.设运动时间为t s（t＞0）.若AD＝6 cm，则当t＝ 　4.8或8或9.6　时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形. 4.8或8或9.6　 （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）如图③，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF，交BF于点E，连接AE，AC. 当AE⊥CE，DF＝8时，求AC的长. 解：（3）如图，延长AE，交CF于点H. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∵ CE平分∠ACF，∴ ∠ACE＝∠HCE. ∵ AE⊥CE，∴ ∠AEC＝∠HEC＝90°.又∵ CE＝CE， ∴ △AEC≌△HEC. ∴ AE＝HE，AC＝HC. ∵ AB∥CD， ∴ ∠ABE＝∠HFE. 又∵ ∠AEB＝∠HEF，∴ △ABE≌△HFE. ∴ AB＝HF. ∵ AB＝CD，∴ HF＝CD. ∴ AC＝CH＝DH＋CD＝DH＋HF ＝DF＝8. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 $专题特训四　正方形中的常见模型 第8章　四 边 形 类型一　与45°有关的模型 1. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，则正方形ABCD的边长为 　6　. （第1题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝45°，AE与AF分别交对角线BD于点M，N，连接EF. 有下列结论：① ∠BAE＋∠DAF＝45°；② ∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；③ BM＋DN＝MN；④ BE＋DF＝EF. 其中，正确的是 　①②④　（填序号）. （第2题） ①②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图，E为正方形ABCD外一点，∠BEC＝45°，连接AE. （1） 求∠AEB的度数. 解：（1） 如图，过点B作BF⊥BE，交EC的延长线于点F，则∠EBF＝90°.∵ ∠BEC＝45°，∴ ∠F＝45°.∴ ∠F＝∠BEC. ∴ BF＝BE. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠ABC＝90°. ∴ ∠ABC－∠CBE＝∠EBF－∠CBE，即∠ABE＝∠CBF. 在△ABE和△CBF中， ∴ △ABE≌△CBF. ∴ ∠AEB＝∠F＝45°. （第3题答案） （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 求证：AE＋CE＝ BE. 解：（2） ∵ △ABE≌△CBF，∴ AE＝CF. 在Rt△BEF中，∵ BE2＋BF2＝EF2，BE＝BF，∴ BE＝EF. 又∵ EF＝CF＋CE＝AE＋CE，∴ AE＋CE＝ BE. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 在正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形的顶点重合）.作射线AE，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°，交射线CD于点F. （1） 如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE长度相等的线段是 　AF　. （第4题） AF　 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数. 解：（2） ① 当点E在边BC上时，如图①，过点G作GM⊥AD于点M，延长MG，交BC于点N. ∴ ∠DMN＝∠AMG＝90°.∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝CD，∠MDC＝∠NCD＝90°.∴ 四边形CDMN是矩形.∴ ∠MNC＝90°，MN＝CD＝AD. ∴ ∠GNE＝180°－90°＝90°.∵ ∠AMG＝90°，∴ ∠AMG＝∠GNE，∠2＋∠3＝90°.∵ EG⊥AF，∠EAF＝45°，∴ ∠2＋∠1＝90°，△AEG为等腰直角三角形.∴ ∠3＝∠1，AG＝GE. ∴ △AMG≌△GNE. ∴ AM＝GN. ∵ AM＋MD＝GN＋MG，∴ MD＝MG. ∴ △MDG为等腰直角三角形.∴ ∠4＝45°. ∴ ∠GDC＝45°. （第4题） （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 7 ② 当点E在边CD上时，如图②，过点G作GN⊥DF，垂足为N，延长NG，交BA的延长线于点M，则易得四边形ADNM是矩形.∴ AM＝DN. 同①，可得△AMG≌△GNE. ∴ AM＝GN＝DN. ∴ △NDG为等腰直角三角形.∴ ∠1＝45°.∴ ∠GDC＝180°－45°＝135°.综上所述，∠GDC的度数为45°或135°. （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　“三垂直”模型 5. 如图，正方形ABCD的边长为5，E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，求EF的长. （第4题） 解：如图，延长AE交DF于点G. ∵ 正方形ABCD的边长 为5，∴ AB＝AD＝CD＝5，∠BAD＝∠ADC＝90°. ∵ AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴ AB2＝AE2＋BE2. ∴ △ABE是直角三角形，且∠AEB＝90°.在△ABE 和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ ∠ADG＋∠CDF＝90°，∠ABE＋∠BAE＝90°，∠BAE＋∠DAG＝90°，∴ ∠ABE＝∠DAG，∠BAE＝∠ADG. 1 2 3 4 5 6 7 8 在△AGD和△BEA中， ∴ △AGD≌△BEA. ∴ AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∠AGD＝∠BEA＝90°.∴ EG＝AG－AE＝4－3＝1，GF＝DF－DG＝4－3＝1，∠EGF＝180°－∠AGD＝90°.∴ EF＝ ＝ ＝ . （第4题） （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 求证：PB＝PE. 解：（1） 如图①，过点P作PG⊥BC于点G，PH⊥DC于点H. ∵ 四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴ ∠ACB＝∠ACD＝45°，∠PGB＝∠PGC＝∠PHE＝∠BCD＝90°.∴ PG＝PH，∠GPH＝90°.∵ PE⊥PB，∴ ∠BPE＝90°.∴ ∠BPG＝90°－∠GPE＝∠EPH. 在△PGB和△PHE中， ∴ △PGB≌△PHE. ∴ PB＝PE. （第6题答案） （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 在点P的运动过程中，PF的长是否发生变化？若不变，请求出PF的长；若变化，请说明理由. （2） PF的长不变.如图②，连接BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BOP＝90°.∵ PE⊥PB，∴ ∠BPE＝90°.∴ ∠PBO＝90°－∠BPO＝∠EPF. ∵ EF⊥PC，∴ ∠PFE＝90°.∴ ∠BOP＝∠PFE. 在△BOP和△PFE中， ∴ △BOP≌△PFE. ∴ BO＝PF. ∵ 正方形ABCD的边长为2，∴ 易得OB＝ .∴ PF＝OB＝ .∴ 在点P的运动 过程中，PF的长不变，为 . （第6题答案） （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　“十字架”模型 7. 如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在CD，AD，BC上，且FG⊥BE，垂足为O. （1） 求证：BE＝FG. 解：（1） 如图，过点A作AM∥FG，交BE于点N，交BC于点M. ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.∵ FG⊥BE，∴ ∠FOB＝90°.∵ AM∥FG，∴ ∠ANB＝∠FOB＝90°.∴ ∠ABN＋∠BAM＝90°.∵ ∠ABC＝90°， ∴ ∠ABN＋∠CBE＝90°.∴ ∠BAM＝∠CBE. 在△ABM和△BCE中， ∴ △ABM≌△BCE. ∴ AM＝BE. ∵ AD∥BC，AM∥FG，∴ 四边形AMGF为平行四边形. ∴ AM＝FG. ∴ BE＝FG. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长. （第7题答案） （第7题答案） 解：（2） 如图，连接BF，EF. ∵ FG⊥BE，O是BE的中点，∴ BF＝EF. 在正方形ABCD中，AD＝AB＝DC＝BC＝8，∠BAD＝∠D＝90°.∵ EC＝3，∴ DE＝5.设AF＝x，则DF＝8－x.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF2＝AB2＋AF2＝82＋x2；在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF2＝DE2＋DF2＝52＋（8－x）2.∵ BF＝EF，∴ BF2＝EF2，即82＋x2＝52＋（8－x）2，解得x＝ .∴ AF的长为 . （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　“外角平分线”模型 8. 新考法•探究题　 如图①，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形的外角平分线CF于点F. （1） AE与EF之间的数量关系为 　AE＝EF　. AE＝EF　 （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 解：（2） （1）中的结论成立.理由：如图①，在AB上取一点G，使AG＝CE，连接EG. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∵ AG＝CE，∴ AB－AG＝BC－CE，即BG＝BE. ∴ △BGE是等腰直角三角形.∴ ∠BGE＝∠BEG＝45°.∴ ∠AGE＝180°－45°＝135°.∵ CF是正方形ABCD的外角平分线，∴ ∠DCF＝45°.∴ ∠ECF＝90°＋45°＝135°＝∠AGE. ∵ AE⊥EF， ∴ ∠AEB＋∠FEC＝90°.∵ ∠BAE＋∠AEB＝90°，∴ ∠FEC＝∠BAE. 在△GAE和△CEF中， ∴ △GAE≌△CEF. ∴ AE＝EF. （2） 如图②，若把条件“E是边BC的中点”改为“E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？请说明理由. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （3） 如图③，若把条件“E是边BC的中点”改为“E是边BC的延长线上的一点”，其余条件仍不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. （第8题） 解：（3） （1）中的结论仍然成立.如图②，延长BA至点H，使AH＝CE，连接HE. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∵ AH＝CE，∴ AH＋AB＝CE＋BC，即BH＝BE. ∴ ∠H＝∠BEH＝45°.∵ CF是正方形ABCD的外角平分线，∠DCE＝180°－∠BCD＝90°，∴ ∠ECF＝45°.∴ ∠H＝∠ECF. ∵ ∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B＋∠BEA，∠CEF＝∠AEF＋∠BEA，∴ ∠HAE＝∠CEF. 在△HAE和△CEF中， ∴ △HAE≌△CEF. ∴ AE＝EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 $8.1　平行四边形 第3课时　由对角线的关系判定平行四边形 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　B　） A. OC＝5 B. OC＝3 C. CD＝3 D. CD＝9 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　B　） A. OA＝OC，OB＝OD B. AB＝CD，AO＝CO C. AB＝CD，AD＝BC D. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 如图，AC，BD是相交的两条线段，O分别为它们的中点.当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA得到的四边形ABCD始终为 　平行四边形　. （第3题） 平 行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO. 求证：四边形AECD是平行四边形. （第4题） 解：在△AOE和△COD中， ∴ △AOE≌△COD. ∴ OE＝OD. ∵ AO＝CO，∴ 四边形AECD是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O. 给出下列条件：① AD∥BC；② AB＝CD；③ AD＝BC；④ ∠ADC＝∠ABC；⑤ BO＝DO；⑥ ∠DBA＝∠CAB. 若添加其中一个条件，可得到四边形ABCD是平行四边形，则添加的条件可以是（　B　） A. ①②③⑤ B. ①②④⑤ C. ①②④⑥ D. ①③④⑥ B （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF. 下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（　B　） A. BE＝DF B. AE＝CF C. AF∥CE D. ∠BAE＝∠DCF （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝EC，延长DE到点F，使EF＝DE，连接AF，FC，CD，则BD与CF的关系是 　BD＝CF，BD∥CF　. （第7题） BD＝CF， BD∥CF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝20 cm.若点E从点A出发，沿AC以1 cm/s的速度向点C运动，同时点F从点C出发，沿CA以2 cm/s的速度向点A运动，则点E与点F相遇前，四边形DEBF 　不会　（填“会”或“不会”）成为平行四边形. （第8题） 不会　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. （1） 求证：△BDE≌△CDF. 解：（1） ∵ CF∥BE，∴ ∠EBD＝∠FCD. ∵ D是边BC的中点， ∴ BD＝CD. 又∵ ∠EDB＝∠FDC，∴ △BDE≌△CDF. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由. 解：（2） 四边形BECF是平行四边形.理由：∵ △BDE≌△CDF， ∴ DE＝DF. 又∵ BD＝CD，∴ 四边形BECF是平行四边形. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长，交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC. （1） 求证：O是AC的中点. 解：（1） ∵ ∠AEF＝∠CFE，∴ AD∥BC. ∵ AD＝BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AO＝CO，即O是AC的中点. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形. 解：（2） ∵ AD∥BC，∴ ∠EAO＝∠FCO. 在△OAE和△OCF中， ∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE＝OF. 又∵ AO＝CO，∴ 四边形AFCE是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第10题） 返回目录 11. 如图，在平面直角坐标系中，有点A（－3，0），B（3，0），C（0，4），找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　（6，4）或（－6，4）或（0，－4）　. （第11题） （6，4）或（－6，4）或（0，－4）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BG⊥AC于点G，DH⊥AC于点H，连接EH，HF，FG，GE. 四边形EHFG是平行四边形吗？请判断并说明理由. （第12题） 解：四边形EHFG是平行四边形.理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BO＝DO，AO＝CO，AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE＝DF. ∴ BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO. 同理， 可得GO＝HO. ∴ 四边形EHFG是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $8.1　平行四边形 第1课时　平行四边形的概念与性质 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2025•贵州）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC＝60°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（　D　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. 若平行四边形的一边长为8 cm，一条对角线的长为6 cm，则另一条对角线的长x的取值范围是（　C　） A. 2 cm＜x＜14 cm B. 5 cm＜x＜11 cm C. 10 cm＜x＜22 cm D. 4 cm＜x＜28 cm C 3. （2025•新疆）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E. 若AD＝2，则BE＝ 　2　. （第3题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. 如图，在同一平面内，▱ABCD和▱CDEF的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 　25°　. （第4题） 25°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. （2025•宜宾）如图，E是▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，AD＝5. （1） 求证：△ADE≌△FCE. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC∥AD. ∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， ∴ △ADE≌△FCE. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 求BF的长. 解：（2） ∵ △ADE≌△FCE，∴ AD＝FC＝5.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC＝AD＝5.∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝10. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 6. 如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（　C　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. 如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则▱ABCD的面积是（　D　） A. 30 B. 36 C. 54 D. 72 （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. 在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC. 已知BD＝8，BC＋OC＝5，则▱ABCD的面积为 　9　. 9. 如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE. 若AE＝AB，则∠EBC的度数为 　30°　. （第9题） 9　 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 10. （2025•杭州西湖期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC. 若AC＝4，AB＝5，则BD的长为 　2 　. （第10题） 2 　 11. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，连接EF. 若∠AEF＝54°，则∠B的度数为 　72°　. （第11题） 72°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，连接AC，BF. （1） 求证：CF＝CD. （第12题） 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ F为DC的延长线上的一点，∴ AB∥DF. ∴ ∠BAE＝∠CFE， ∠EBA＝∠ECF. ∵ E是边BC的中点，∴ BE＝CE. 在△BAE和 △CFE中， ∴ △BAE≌△CFE. ∴ BA＝CF. ∴ CF＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 连接DE，若AD＝13，AF＝10，AD＝2AB，求DE的长.解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ F为DC的延长线上的一点，∴ AB∥DF. ∴ ∠BAE＝∠CFE，∠EBA＝∠ECF. ∵ E是边BC的中点，∴ BE＝CE. 在△BAE和△CFE中，∴ △BAE≌△CFE. ∴ BA＝CF. ∴ CF＝CD. 解：（2） 由（1），得CF＝CD，△BAE≌△CFE，∴ DF＝2CD，EA＝EF. ∵ AB＝CD，∴ DF＝2AB. ∵ AD＝2AB，∴ AD＝DF. ∵ EA＝EF，∴ DE⊥AF，即∠DEA＝90°.∵ AF＝10，∴ EA＝EF＝5.在Rt△ADE中，AD＝13，∴ 由勾股定理，得DE＝ ＝12. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 如图，在▱ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于点F，AF交BD于点E. 若DE＝2AB，则∠AED的度数为（　B　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° （第13题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 新考法•探究题　 如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC，DE，DH于点F，G，M，且DE＝AD. （1） 求证：△ADG≌△FDM. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC. ∴ ∠BAF＝∠DFA. ∵ AF平分∠BAD，∴ ∠DAF＝∠BAF. ∴ ∠DAF＝∠DFA. ∴ AD＝FD. ∵ DE⊥BC，DH⊥AB，AB∥CD，AD∥BC， ∴ DE⊥AD，DH⊥CD. ∴ ∠ADG＝∠FDM＝90°. 在△ADG和△FDM中， ∴ △ADG≌△FDM. （第14题答案） （第14题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 15 （2） 猜想AB与DG＋CE之间有何数量关系，并证明你的猜想. 解：（2） AB＝DG＋CE. 如图，延长GD至点N，使DN＝CE，连接AN. ∵ DE⊥BC，AD∥BC，∴ ∠ADN＝∠DEB＝∠DEC＝90°.在△ADN和△DEC中， ∴ △ADN≌△DEC. ∴ ∠NAD＝∠CDE，AN＝DC. ∵ ∠NAG＝∠NAD＋∠DAG，∠NGA＝∠CDE＋∠DFA，∴ ∠NAG＝∠NGA. ∴ AN＝GN＝DG＋DN＝DG＋CE＝DC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD. ∴ AB＝DG＋CE. （第14题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $8.4　梯　形 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在梯形ABCD中，AC，BD为两条对角线，则其中面积相等的三角形至少有（　C　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形风筝，则该风筝的形状一定是（　D　） A. 矩形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 无法确定 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. （2025•上海浦东新区段考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD. 若BC＝4，AD＝2，则梯形ABCD的面积为 　9　. （第3题） 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线.给出下列条件：① AB＝DC；② BD平分∠ABC；③ ∠ABC＝∠C；④ ∠A＋∠C＝180°.其中，能推出梯形ABCD为等腰梯形的是 　①③④　（填序号）. （第4题） ①③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F在底边BC上，连接AE，DF，∠AEF＝∠ADF. （1） 求证：四边形AEFD是平行四边形. 解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠DAE＋∠AEF＝180°.∵ ∠AEF＝∠ADF，∴ ∠DAE＋∠ADF＝180°.∴ AE∥DF. ∴ 四边形AEFD是平行四边形. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 若BE＝FC，求证：四边形AEFD是矩形. 解：（2） ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，∴ AB＝CD. ∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ ∠AEF＋∠DFE＝180°，AE＝DF. 在△ABE和△DCF中， ∴ △ABE≌△DCF. ∴ ∠AEB＝∠DFC. ∴ 180°－∠AEB＝180°－∠DFC，即∠AEF＝∠DFE. 又∵ ∠AEF＋∠DFE＝180°，∴ ∠AEF＝90°.∴ 四边形AEFD是矩形. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3 cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长为（　B　） A. 12 cm B. 15 cm C. 18 cm D. 21 cm （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. 在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判定四边形ABCD是等腰梯形的为（　C　） A. AC＝BD＝BC B. AB＝AD＝CD C. OB＝OC，OA＝OD D. OB＝OC，AB＝CD C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，BF. 若△BEF的面积为4 cm2，则梯形ABCD的面积为（　C　） A. 8 cm2 B. 12 cm2 C. 16 cm2 D. 20 cm2 （第8题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC⊥BD于点O，E，F分别是AB，DC的中点，梯形ABCD的面积为25，那么EF＝ 　5　. （第9题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G，H. 若AD＝6，BC＝10，则GH的长为 　2　. （第10题） 2　 11. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC＝90°，CE＝CB，则AE2的值为 　84　. 84　 （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. （2025•上海徐汇期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠B＝∠C. （1） 求证：四边形ABCD是等腰梯形. 解：（1） 如图①，延长BA，CD交于点P. ∵ ∠B＝∠C，∴ PB＝PC. ∵ AB＝CD，∴ PB－AB＝PC－CD，即PA＝PD. ∴ ∠PAD＝∠PDA. ∵ ∠B＋∠C＋∠P＝∠PAD＋∠PDA＋∠P＝180°， ∴ ∠B＋∠C＝∠PAD＋∠PDA，即2∠B＝2∠PAD. ∴ ∠B＝∠PAD. ∴ AD∥BC. ∵ ∠B＋∠C＝ 180°－∠P＜180°，∴ AB与CD不平 行.∴ 四边形ABCD是梯形.∵ AB＝CD， ∴ 四边形ABCD是等腰梯形. （第12题） （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 当BD⊥DC时，求∠B的度数. （第12题） （2） 如图②，连接BD. ∵ AB＝AD，∴ ∠ABD＝∠ADB. ∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC. ∴ ∠ABD＝∠DBC. ∴ ∠ABC＝2∠DBC. ∵ BD⊥CD，∴ ∠BDC＝90°.∴ ∠C＋∠DBC＝90°.∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝2∠DBC. ∴ ∠C＝60°.∴ ∠ABC＝60°. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD上方一点，连接EA，ED，EB，EC，EA＝ED，F，G分别是EB，EC与AD的交点.求证：四边形FBCG是等腰梯形. （第13题） 解：∵ AD∥BC，AB＝DC，∴ ∠BAD＝∠CDA. ∵ EA＝ED， ∴ ∠EAD＝∠EDA. ∵ ∠EAB＝∠BAD＋∠EAD，∠EDC＝∠CDA＋∠EDA，∴ ∠EAB＝∠EDC. 在△ABE和△DCE中， ∴ △ABE≌△DCE. ∴ EB＝EC. ∴ ∠EBC＝∠ECB. ∵ AD∥BC，∴ ∠EBC＝∠EFG，∠ECB＝ ∠EGF. ∴ ∠EFG＝∠EGF. ∴ EF＝EG. ∴ EB－EF＝ EC－EG，即FB＝GC. ∵ FG∥BC，FB与GC不平行， ∴ 四边形FBCG是等腰梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 数形结合思想　 如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE. 若AC•BC＝5，则图中涂色部分的面积为（　B　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 （第14题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是线段OC，OD的中点，连接EF，AF，BE. （1） 求证：四边形ABEF是等腰梯形. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD，CO＝ AC，DO＝ BD，AD＝BC，AC＝BD，∠ADC＝∠BCD＝90°.∴ DO＝CO. ∴ ∠ODC＝∠OCD. ∴ ∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠ADF＝∠BCE. ∵ E，F分别是线段OC，OD的中点， ∴ EF∥DC，CE＝ CO，DF＝ DO. ∴ EF∥AB，CE＝DF. ∴ △ADF≌△BCE. ∴ AF＝BE. 易知AF与BE不平 行，∴ 四边形ABEF是等腰梯形. （第15题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接ME，如果∠OME＝∠BAC，求证：四边形AMEF是菱形. （第15题） （第15题答案） （第15题答案） 解：（2） 如图，连接MF. ∵ E，F分别是线段OC，OD的中点，∴ EF＝ CD. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OA＝ AC，OB＝ BD，AC＝BD，AB＝CD. ∴ OA＝OB. ∵ OM⊥AB，∴ AM＝BM＝ AB. ∵ AB＝CD，∴ EF＝AM. 由（1）知，EF∥AM，∴ 四边形AMEF是平行四边形.同理，可得四边形BMFE是平行四边形.∵ OA＝OB， ∴ ∠OAB＝∠OBA. 又∵ ∠OME＝∠BAC，∴ ∠OME＝∠OBA. ∵ ∠OME＋∠BME＝90°，∴ ∠OBA＋ ∠BME＝90°.∴ FB⊥ME. ∴ 四边形BMFE 是菱形.∴ BE＝BM. 又∵ BE＝AF，BM＝ AM，∴ AF＝AM. ∴ 四边形AMEF是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $第8章整合拔尖 第8章　四 边 形 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 3 返回目录 考点一　平行四边形的性质与判定 典例1　（2024•湖南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， 　　　　. 请从“① ∠B＝∠AED；② AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1） 求证：四边形BCDE为平行四边形. 解：（1） 若选择条件①：∵ ∠B＝∠AED，∴ BC∥DE. ∵ AB∥CD，∴ 四边形BCDE为平行四边形.若选择条件②：∵ AE＝BE，AE＝CD，∴ BE＝CD. ∵ AB∥CD，∴ 四边形BCDE为平行四边形. （典例1图） 返回目录 （2） 若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长. （典例1图） 解：（2） 由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，∴ DE＝BC＝10. ∵ AD⊥AB，AD＝8，∴ AE＝ ＝6. 返回目录 6 ［变式］ （2024•辽宁）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，CE，DE交于点E. 若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（　C　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 C 返回目录 考点二　矩形的性质与判定 典例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE＋CF的最小值为 　 　. （典例2图） 　 返回目录 ［变式］ （2025•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm.动点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2 cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4 cm/s的速度向点D运动.点P，H，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动.设运动时间为t s，当QP＝QH时，t的值为（　D　） A. B. 4 C. D. D 返回目录 考点三　菱形的性质与判定 典例3　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，连接BM，DN. （1） 求证：四边形BNDM是菱形. 解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠DMO＝∠BNO. ∵ MN是对角线BD的垂直平分线，∴ OB＝OD，MN⊥BD. 在△MOD和△NOB中， ∴ △MOD≌△NOB. ∴ OM＝ON. ∵ OB＝OD，∴ 四边形BNDM是平行四边形. 又∵ MN⊥BD，∴ 四边形BNDM是菱形. （典例3图） 返回目录 （2） 若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求四边形BNDM的周长. 解：（2） ∵ 四边形BNDM是菱形，∴ BM＝BN＝DM＝DN. 设BN＝DN＝x，则CN＝BC－BN＝16－x.∵ ∠C＝90°，∴ 在Rt△CDN中，由勾股定理，得CD2＋CN2＝DN2，即82＋（16－x）2＝x2，解得x＝10.∴ BN＝10.∴ 四边形BNDM的周长为4×10＝40. （典例3图） 返回目录 ［变式］ 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH. 若OA＝4，OH的长为1.5，则S菱形ABCD等于（　B　） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 B 返回目录 考点四　正方形的性质与判定 典例4　如图，线段AB＝4，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP的两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AP相交于点M，与线段AB相交于点F（点F与点A，B不重合）. （典例4图） 返回目录 （1） 求证：△AEP≌△CEP. 解：（1） ∵ 四边形APCD是正方形，∴ DP平分∠APC，PC＝PA. ∴ ∠APD＝∠CPD. 在△AEP和△CEP中， ∴ △AEP≌△CEP. （典例4图） 返回目录 （2） 判断CF与AB的位置关系，并说明理由. 解：（2） CF⊥AB. 理由：∵ △AEP≌△CEP，∴ ∠EAP＝∠ECP. ∵ ∠EAP＝∠BAP，∴ ∠BAP＝∠ECP. ∵ 四边形APCD是正方形， ∴ ∠APC＝90°.∴ ∠ECP＋∠CMP＝90°.∵ ∠AMF＝∠CMP， ∴ ∠AMF＋∠BAP＝90°.∴ ∠AFM＝180°－90°＝90°.∴ CF⊥AB. （典例4图） （3） 请直接写出△AEF的周长. 解：（3） 8. 返回目录 （3） 8. ［变式］ 如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝3，AD＝9，则CD＝ 　4.5　. 4.5　 返回目录 考点五　三角形中位线的性质 典例5　如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在线段DE上，且AF⊥BF. 若AB＝4，BC＝7，则EF的长为 　 　. （典例5图） 　 返回目录 ［变式］ （2024•新疆）如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DE，EF，FG，GD. （1） 求证：四边形DEFG是平行四边形. 解：（1） ∵ BD，CE是△ABC的中线，∴ D，E分别是AC，AB的中点.∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC，DE＝ BC. 同理，可得FG∥BC，FG＝ BC. ∴ DE∥FG，DE＝FG. ∴ 四边 形DEFG是平行四边形. 返回目录 （2） 若BD＝CE，求证：四边形DEFG是矩形. 解：（2） 由（1）知，四边形DEFG是平行四边形.∴ OF＝OD. 又∵ F是OB的中点，∴ BF＝OF. ∴ DF＝ BD. 同理，可得EG＝ CE. ∵ BD＝CE，∴ DF＝EG. ∵ 四边形DEFG是平行四边形，∴ 四边形DEFG是矩形. 返回目录 1. （2024•上海）四边形ABCD为矩形，过点A，C作对角线BD的垂线，过点B，D作对角线AC的垂线.如果四条垂线拼成一个四边形，那么这个四边形为（　A　） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 2. 如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长，交BC于点G. 若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（　B　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE. 若▱ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（　B　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 （第3题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 4. 新考法•新定义题　 如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为2∶3的两部分，那么称这样的平行四边形为“恩爱平行四边形”，称该边为“恩爱边”.当一个“恩爱平行四边形”的“恩爱边”的长为10时，它的周长为 　28或32　. 28或32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 5. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AD，CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 　5　. （第5题） 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH. 若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为 　96　. （第6题） 96　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 7. 如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点F，D分别在AC，BC上，AF＝CD，连接BF，EF. 求证： （1） AD＝BF. （第7题） 解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ AC＝AB，∠C＝∠BAF＝60°.又∵ CD＝AF，∴ △CAD≌△ABF. ∴ AD＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 （2） 四边形BFED为平行四边形. （第7题答案） （第7题） 解：（2） 如图，设AC与DE相交于点H. 由（1）知，△CAD≌△ABF，∴ ∠CAD＝∠ABF，AD＝BF. ∵ △ADE和△ABC均是等边三角形，∴ ∠AED＝∠DAE＝∠ABC＝60°，AD＝DE. ∴ BF＝DE. ∵ ∠C＝∠AED＝60°，∠DHC＝∠AHE， ∴ ∠CDH＝∠CAE. ∵ ∠CAE＋∠CAD＝∠CBF ＋∠ABF＝60°，∠CAD＝∠ABF，∴ ∠CBF＝∠CAE. ∴ ∠CBF＝∠CDH. ∴ BF∥DE. ∴ 四边形BFED为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 8. 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB，交PQ于点F，连接BF. （1） 求证：四边形BFEP为菱形. 解：（1） 由折叠的性质，知点B与点E关于PQ对称.∴ PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF. 又∵ EF∥AB，∴ ∠BPF＝∠EFP. ∴ ∠EPF＝∠EFP. ∴ EP＝EF. ∴ BP＝BF ＝EF＝EP. ∴ 四边形BFEP为菱形. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 （2） 如图②，当点Q与点C重合时，求菱形BFEP的边长. 　 （第8题） 解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°.∵ 点B与点E关于PQ对称，∴ CE＝BC＝5.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝ ＝4.∴ AE＝AD－DE＝1.设菱形BFEP的边长为x，则EP＝BP＝x，AP＝3－x.在Rt△APE中，由勾股定理，得EP2＝AE2＋ AP2，即x2＝12＋（3－x）2，解得x＝ . ∴ 菱形BFEP的边长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 9. （2024•盐城建湖期中）如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG. 求证：矩形DEFG是正方形. （第9题） （第9题答案） 解：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则∠EMC＝∠ENC＝∠END＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BCD＝90°，AC平分∠BCD. ∴ EM＝EN，∠MEN＝90°.∵ 四边形DEFG是矩形， ∴ ∠DEF＝90°.∴ ∠DEN＋∠NEF＝∠FEM＋∠NEF＝90°.∴ ∠DEN＝∠FEM. 在△DEN和△FEM中， ∴ △DEN≌△FEM. ∴ ED＝EF. ∴ 矩形DEFG是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 $8.2　特殊的平行四边形 第1课时　矩形的概念与性质 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若∠AOB＝60°，AB＝5，则AC的长为（　C　） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 2. 将一张矩形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一条直线上.若∠AEN＝32°，则∠EMB′的度数为（　B　） A. 58° B. 32° C. 35° D. 45° （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 3. 若将如图所示的矩形ABCD放入平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标分别为（－a，b），（－4，3），（a，b），则点C的坐标为 　（4，3）　. （第3题） （4，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 4. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EF⊥EC交AB于点F，且EF＝CE，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为 　3　. （第4题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 5. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，连接CE，BF，且AE＝DF. 求证：CE＝BF. （第5题） 解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，∠EBC＝∠FCB＝90°.∵ AE＝DF，∴ AB－AE＝CD－DF，即BE＝CF. 在△EBC和△FCB中， ∴ △EBC≌△FCB. ∴ CE＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线的交点O作EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　A　） A. B. C. 1 D. （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 7. 将矩形ABCD与矩形CEFG按如图所示的方式放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH. 若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH的长为（　C　） A. 1 B. C. D. （第7题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 9. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG. 若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 　15°　. （第9题） 15°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，OA＝12，OC＝9，连接AC. 若CD平分∠ACO，交x轴于点D，则点D的坐标为 　 　. （第10题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过点O作直线EF，交AD于点E，交BC于点F. （1） 求证：OE＝OF. 解：（1） ∵ 对角线AC的中点为O，∴ AO＝CO. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC. ∴ ∠DAC＝∠ACB. 在△AOE和△COF中， ∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） G为DC上一点，连接EG，OG，若AE2＋CG2＝EG2，求证：OG⊥EF. 解：（2） 如图，连接FG. ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠BCD＝90°.∴ CF2＋CG2＝FG2.由（1）知，△AOE≌△COF，∴ AE＝CF. ∴ AE2＋CG2＝FG2.∵ AE2＋CG2＝EG2，∴ EG＝FG. ∵ OE＝OF，∴ OG⊥EF. （第11题答案） （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 12. 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF. （1） 求证：四边形ACDF是平行四边形. （第12题） 解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD. ∴ ∠FAE＝∠CDE. ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE. 在△FAE和△CDE中， ∴ △FAE≌△CDE. ∴ FA＝CD. 又∵ AF∥CD，∴ 四边形ACDF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 当CF平分∠BCD时，若CD＝2，求BC的长. 解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC. ∵ CF平分∠BCD，∴ ∠DCE＝45°.∴ 易得△CDE是等腰直角三角形.∴ DE＝CD＝2.∵ E是AD的中点，∴ AD＝2DE＝4.∴ BC＝4. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 13. 如图，在矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作▱EFGH，点G，H分别在CD，AD上.若▱EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　C　） A. AD＝4AE B. AD＝2AB C. AB＝2AE D. AB＝3AE （第13题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.延长BC到点E，使CE＝3，连接DE. （1） 动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D→A向点A运动，连接AP. 设点P运动的时间为x秒，求当x为何值时，△ABP与△DCE全等. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝∠BAD＝∠DCE＝90°，AB＝DC＝4.① 当点P在边BC上时，若△ABP与△DCE全等，则BP＝CE，此时x＝3÷1＝3.② 当点P在边AD上时，若△ABP与△DCE全等，则AP＝CE，此时x＝（6＋4＋6 －3）÷1＝13.综上所述，当x的值为3或13时， △ABP与△DCE全等. （第14题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 （2） 动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BE向点E运动，连接DP. 设点P运动的时间为　　t秒，则是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. （第14题） 解：（2） 存在.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC. 在Rt△DCE中，CE＝3，CD＝4，∴ DE＝ ＝5.若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE. 当PD＝DE时，∵ PD＝DE，DC⊥BE，∴ PC＝CE＝3.∴ BP＝BC－CP＝3.∴ t＝3÷1＝3.当PE＝DE＝5时，BP＝BE－PE＝6＋3－5＝4.∴ t＝4÷1＝4.当PD＝PE时，∵ PE＝PC＋CE＝3＋PC，∴ PD＝3＋PC. ∵ 在Rt△PDC中，PD2＝ CD2＋PC2，∴ （3＋PC）2＝16＋PC2.∴ PC＝ . ∴ BP＝BC－PC＝ .∴ t＝ ÷1＝ .综上所述， t的值为3或4或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回目录 $8.2　特殊的平行四边形 第5课时　正方形的概念、性质与判定 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 下列说法中，正确的是（　C　） A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 有一对邻角相等的平行四边形是正方形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. （2025•自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，点B（0，－2）.若将正方形ABCD绕点O按逆时针方向旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（　A　） A. （－3，5） B. （5，－3） C. （－2，5） D. （5，－2） （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. （2024•兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F. 若AD＝4，则EF＝ 　2　. （第3题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG. 若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠C＝ 　115　°. （第4题） 115　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. （2025•广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF. （1） 求证：△ADE≌△CBF. 解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ AD＝BC，BC∥AD. ∴ ∠ADE＝∠CBF. 在△ADE 和△CBF 中， ∴ △ADE≌△CBF. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长. 解：（2） 如图，连接AC交BD于点O. ∵ 四边形ABCD为正方形，BD＝10，∴ BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5.∴ ∠AOF＝90°，AF＝CF，AE＝CE. 由（1）可知，△ADE≌△CBF，∴ AE＝CF. ∴ AF＝CF＝AE＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形.∴ OF＝OE. ∴ EF＝2OF. ∵ 四边形AECF的周长为4AF＝4 ，∴ AF＝ .在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF＝ ＝ ＝3.∴ EF＝2OF＝6，即EF的长为6. （第5题） （第5题答案） （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，在正方形ABCD中，E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE＝CF，连接DF，EF. 若∠BFD＝β，则∠AEF等于（　B　） A. 90°－β B. 135°－β C. β－45° D. 2β－135° B （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. （2024•重庆B卷）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M，连接EM. 若BE＝DF＝1，则DM的长为（　D　） A. 2 B. C. D. （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为如图①所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为如图②所示的正方形，并测得对角线AC的长为2，则图①中对角线AC的长为 　 　. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CE上的一点.过点F作GH⊥CE，分别交AB，CD于点G，H. 若BG＝1，CH＝5，则AG的长为 　7　. （第9题） 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于点P，CE⊥BP于点E，BP＝CE. （1） 求证：四边形ABCD是正方形. （第10题） 解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°.∴ ∠ABP＋∠EBC＝90°.∵ AP⊥BP，∴ ∠APB＝90°.∴ ∠ABP＋∠PAB＝90°.∴ ∠EBC＝∠PAB. ∵ CE⊥BP，∴ ∠APB＝∠BEC＝90°. ∵ BP＝CE，∴ △ABP≌△BCE. ∴ AB＝BC. ∴ 四边形ABCD是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 连接AC，延长EC到点F，使CF＝BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数. （第10题） 解：（2） ∵ △ABP≌△BCE，∴ AP＝BE. ∵ BE＝CF，∴ AP＝CF. ∵ AP⊥BP，FE⊥BP，∴ AP∥CF. ∴ 四边形ACFP是平行四边形.∴ AC∥PF. ∴ ∠ACB＝∠BGP. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BGP＝∠ACB＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF. （1） 当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形. （第11题） 解：（1） ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠A＝∠D＝90°. ∴ ∠DGH＋∠DHG＝90°.∵ 四边形EFGH为菱形， ∴ EH＝HG. ∵ AH＝2，DG＝2，∴ AH＝DG. ∴Rt△AEH≌Rt△DHG. ∴ ∠AHE＝∠DGH. ∴ ∠AHE＋∠DHG＝∠DGH＋∠DHG＝90°.∴ ∠EHG＝90°. ∴ 四边形EFGH是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 当△FCG的面积为2时，求DG的长. （第11题） 解：（2） 如图，过点F作FQ⊥DC，交DC的延长线于点Q，连接EG，则∠FQG＝90°.∴ ∠A＝∠FQG. 由矩形和菱形的性质，知AB∥DC，HE∥GF，EH＝GF，∴ ∠AEG＝∠QGE，∠HEG＝∠FGE. ∴ ∠AEG－∠HEG＝∠QGE－∠FGE，即∠AEH＝∠QGF. 又∵ ∠A＝∠FQG，EH＝GF，∴ △AEH≌△QGF. ∴ AH＝QF＝2.∵ S△FCG＝ CG•FQ＝ ×CG×2＝2，∴ CG＝2.∴ DG＝CD－CG＝6. （第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为E，连接AE，直线AE交直线DP于点F. （1） 若∠CDP＝25°，求∠DAF的度数. 解：（1） 如图①，连接CE，DE. ∵ 点C关于直线DP的对称点为E，∴ ∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADC＝90°，AD＝CD. ∴ AD＝ED，∠ADE＝∠ADC＋∠CDP＋∠EDP＝90°＋25°＋25°＝140°.∴ ∠DAF＝∠DEA＝ （180°－∠ADE）＝ ×（180°－140°） ＝20°. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 请判断线段CD，EF，AF之间的数量关系，并说明理由. 解：（2） 2CD2＝AF2＋EF2.理由：如图②，连接DE，CE，AC，CF. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD，∠ADC＝90°.∵ 点C关于直线DP的对称点为E，∴ CF＝EF，CD＝ED＝AD，∠DCF＝∠DEF. ∴ ∠DEF＝∠DAF. ∴ ∠DAF＝∠DCF. ∴ ∠FAC＋∠FCA＝∠FAC＋∠DCF＋∠DCA＝∠FAC＋∠DAF＋∠DCA＝∠DAC＋∠DCA＝180°－∠ADC＝90°.∴ ∠AFC＝180°－（∠FAC＋∠FCA）＝90°.在Rt△ACF中，AC2＝AF2＋CF2＝AF2＋EF2.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝2CD2.∴ 2CD2＝AF2＋EF2. （第12题） （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长. 解：（3） 连接DE，CE，AC，CF，CE与DP交于点H. 如图③，当点F在点D，H之间时，DF＝ （a－b）.如图④，当点D在点F，H之间时，DF＝ （b－a）.如图⑤，当点H在点F，D之间时，DF＝ （a＋b）. （第12题） （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $8.1　平行四边形 第2课时　由对边的关系判定平行四边形 第8章　四 边 形 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，则添加的一个条件可以是（　D　） A. AB＝CD B. AB＝AD C. ∠ADB＝∠DBC D. ∠ABC＝∠ADC （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 已知四边形ABCD，现给出下列条件：① AB∥CD；② AD∥BC；③ AB＝CD；④ AD＝BC. 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　B　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. （2025•南京鼓楼期中）如图，点A，B在直线l上，D为直线l外一点，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是 　平行四边形　. （第3题） 平行四边形　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4 cm，BC＝9 cm.动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1 cm/s的速度向终点A运动，点Q以2 cm/s的速度向终点C运动.当运动时间为 　3　s 时，四边形CDPQ 是平行四边形. （第4题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 5. （2025•无锡一模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥DF且AE＝DF，AB＝CD，连接BE，EC，CF，FB. 求证： （1） △AEB≌△DFC. 解：（1） ∵ AE∥DF，∴ ∠A＝∠D. 在△AEB和△DFC中， ∴ △AEB≌△DFC. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 四边形BECF是平行四边形. 解：（2） ∵ △AEB≌△DFC，∴ EB＝FC，∠ABE＝∠DCF. ∴ 180°－∠ABE＝180°－∠DCF，即∠EBC＝∠FCB. ∴ EB∥CF. ∴ 四边形BECF是平行四边形. （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上.有下列条件：① BE＝DF；② AE∥CF；③ AE＝CF；④ ∠BAE＝∠DCF. 其中，能使四边形AECF是平行四边形的条件有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，等边三角形ABC的边长为10 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度运动.设运动时间为t s，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　D　） A. 2或3 B. 2或5 C. 5或10 D. 2或10 （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. （2025•镇江期中）在下列四个关系：① AB∥CD；② AD＝BC；③ ∠A＝∠C；④ ∠B＋∠C＝180°中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形ABCD为平行四边形的是 　①③或③④　（填序号）. 9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，D，E分别是BC，AD的中点，AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接BF，则四边形AFBD的面积为 　12　. （第9题） ①③或③④　 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 新考法•开放题　 （2024•武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE，连接AE，CF. （1） 求证：△ABE≌△CDF. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D. ∵ AF＝CE，∴ AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 连接EF. 请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形，并说明理由. 解：（2） 答案不唯一，如添加BE＝CE. 理由：∵ AF＝CE，BE＝CE，∴ AF＝BE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AF∥BE. ∴ 四边形ABEF是平行四边形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF，则四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. （第11题） 解：四边形AFED为平行四边形.∵ △ABD，△BCE为等边三角形， ∴ BE＝BC，BD＝BA＝DA，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴ ∠DBA－∠EBA＝∠EBC－∠EBA，即∠DBE＝∠ABC. 又∵ BD＝BA，BE＝BC，∴ △BED≌△BCA. ∴ DE＝AC. 又∵ △ACF 为等边三角形，∴ AC＝AF. ∴ DE＝AF. 同理，可证△CBA≌△CEF. ∴ BA＝EF. 又∵ BA＝DA， ∴ DA＝EF. ∴ 四边形AFED为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝1，点B在y轴负半轴上，且OB＝2.若点C的坐标为（－1，3），D是象限内的一点，则使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标为（　D　） A. （0，5） B. （2，－5） C. （－2，1） D. （2，－5）或（－2，1） （第12题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过点E作EM∥BC，交CA的延长线于点M，连接BM. （1） 求证：△BAD≌△CAE. 解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. ∴ ∠BAC＝180°－2∠ABC. ∵ 等腰三角形ADE的腰为AD，AE，∴ AD＝AE. ∴ ∠ADE＝∠AED. ∴ ∠DAE＝180°－2∠ADE. ∵ ∠ABC＝∠ADE，∴ ∠BAC＝∠DAE. ∴ ∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴ △BAD≌△CAE. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数. （第13题） 解：（2） ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB＝30°.∵ △BAD≌△CAE，∴ ∠ABD＝∠ACE＝30°.∴ ∠ECB＝∠ACB＋∠ACE＝60°. ∵ EM∥BC，∴ ∠MEC＋∠ECB＝180°.∴ ∠MEC＝180°－60°＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 求证：四边形MBDE是平行四边形. 解：（3） ∵ △BAD≌△CAE，∴ BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. ∵ AB＝AC，∴ ∠ABD＝∠ACB. ∴ ∠ACB＝∠ACE. ∵ EM∥BC， ∴ ∠EMC＝∠ACB. ∴ ∠EMC＝∠ACE. ∴ EM＝CE. ∴ EM＝BD. 又∵ EM∥BD，∴ 四边形MBDE是平行四边形. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $