精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年第二学期3月月考高二数学试卷

定远县育才学校2025-2026学年第二学期3月月考 高二数学试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知函数在处的导数的几何意义是（ ） A. 在处的切线的斜率 B. 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 点与点连线的斜率 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则若，则（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 5. 函数在区间上最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. 区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 10. 下列关于极值点的说法正确的是（ ） A 若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B. 在任意给定区间上必存在最小值 C. 的最大值就是该函数的极大值 D. 定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C. 当时， D. 当时，不等式的解集为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 13. 函数的导函数为，满足关系式，则的值为_______． 14. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 已知函数的图象经过点，且是的极值点. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间和最值. 17. 设函数． （1）求在区间的最值； （2）若有且只有两个零点，求的值． 18. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. （1）求的值； （2）求函数的单调减区间和极值. 19. 已知函数． （1）求函数单调区间． （2）若对，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远县育才学校2025-2026学年第二学期3月月考 高二数学试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知函数在处的导数的几何意义是（ ） A. 在处的切线的斜率 B. 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 点与点连线斜率 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数几何意义直接判断作答. 【详解】根据导数的几何意义，是函数在点处切线的斜率，故A错误，C正确； 对于B，函数在点处的切线倾斜角可以为钝角，此时为负，故B错误； 对于D，曲线在点处的切线不一定过原点，故D错误. 故选：C. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导运算，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误；对于D，，故D正确. 故选：D. 3. 已知，则若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则求出导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，即，解得. 故选：B 4. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ） A. -4 B. 4 C. -36 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，函数在处的导数， 则， 故选：B 5. 函数在区间上的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数f（x）的导数，根据单调递增得最小值在x＝取到，进而计算即可． 【详解】，因为，所以，所以. 所以在上恒成立．得在上是增函数． 所以. 故选A 【点睛】本题考查了利用导数确定函数的单调性，求闭区间上的最值问题，属于基础题． 6. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数恒成立，由判别式求解可得. 【详解】， 因为三次函数在上是减函数， 所以恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：A 8. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案. 【详解】由的图象可知： 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 所以当时，取得极小值. 所以根据选项可得，选项AD正确. 故选：AD 10. 下列关于极值点的说法正确的是（ ） A. 若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B. 在任意给定区间上必存在最小值 C. 的最大值就是该函数的极大值 D. 定义在上函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决. 【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误， C选项，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确； 对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确； 在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确； 故选：BCD． 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线方程为 B. 是函数的一个极值点 C. 当时， D. 当时，不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为，所以，， 所以， 因此函数的图像在点处的切线方程为， 即，故A正确； 当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错； 当时，，由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因此，即；故C正确； 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递减； 由可得，解得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 13. 函数的导函数为，满足关系式，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，代入计算即可. 【详解】由进行求导得：， 可得：，解得． 故答案为： 14. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，， 所以， 因为 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是. 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 16. 已知函数的图象经过点，且是的极值点. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间和最值. 【答案】（1） （2）增区间，减区间为，最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为函数过点，且是的极值点， 可得，解得，经检验符合题意； 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，解；令，解， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值. 即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值. 17. 设函数． （1）求在区间的最值； （2）若有且只有两个零点，求的值． 【答案】（1），；（2）或 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用导数方法判断出函数在区间上的单调性，即可求出其最值； （2）先由函数有两零点，可得有两不等实根，令，求出函数单调性，作出其简图，结合图像即可得出结果. 【详解】（1），令可得：或（舍去）， 因为， 所以时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又因为，，， 所以， ． （2）令，可得． 设，则， 令，得或，列表如下： x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 递减 有极小值-4 递增 有极大值0 递减 所以的大致图象如下： 要使有且只有两个零点， 只需直线与的图象有两个不同交点， 所以或． 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法判定函数的单调性，求函数的最值等，属于常考题型. 18. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. （1）求的值； （2）求函数的单调减区间和极值. 【答案】（1） （2）单调减区间为；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义建立方程求解即可； （2）求出导函数，求出函数的单调区间，列表，根据极值的概念求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 在点处的切线平行于轴，， . 【小问2详解】 由（1）可得， 令得或，列表如下： 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导，解导函数不等式即可求得函数的单调区间； （2）先将不等式恒成立问题转化为求函数在区间上的最小值问题，利用（1）的结论和给定区间，即可求得参数范围. 【小问1详解】 因， 由可解得，或；由可解得，. 故函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：. 【小问2详解】 因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值. 由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，所以. 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $