专题03 带电粒子在组合场和叠加场中的运动（10类模型） 讲义-2025-2026学年高二下学期物理同步重难点突破分层练（人教版选择性必修第二册）

该高中物理讲义通过表格对比“电偏转”与“磁偏转”的受力特点、运动轨迹等关键要素，以“分析思路框架”分阶段梳理带电粒子在组合场（先电场后磁场等五题型）和叠加场（直线、圆周运动等五题型）的运动规律，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于题型设计覆盖交变电磁组合场、动量问题等复杂情境，例题与变式题结合培养科学思维中的模型建构和科学推理能力。分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生解决综合问题的能力。

鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 专题03 带电粒子在组合场和叠加场中的运动 目录 【题型专练】 1 考点一 带电粒子在组合场中的运动 1 题型一：先电场后磁场问题 3 题型二：先磁场后电场问题 4 题型三：交变电磁组合场问题 5 题型四：电磁组合场中的动量问题 6 题型五：空间电磁组合场中问题 7 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 8 题型一：带电体在叠加场中的直线运动 9 题型二：带电体在叠加场中的圆周运动 10 题型三：带电体在叠加场中的旋进运动 11 题型四：带电体在叠加场中的动量问题 12 题型五：带电体在空间叠加场中的运动 13 【分层训练】 14 考点一 带电粒子在组合场中的运动 （一）带电粒子在组合场中运动分析思路 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 （二）常见的两类组合场问题 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 题型一：先电场后磁场问题 【例题1-1】如图所示，在x轴下方宽度的区域中，的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，的区域无电场。在和的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一比荷的带正电粒子从点由静止释放，不计粒子重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子第一次经过x轴时的速度大小为 B．粒子经过x轴时的速度方向与x轴始终垂直 C．粒子第三次经过y轴时的位置坐标为 D．粒子从开始释放到第三次经过x轴所用的时间为 【变式1-1】如图所示，平面坐标系xOy中，一抛物线的方程为，在抛物线的上方有竖直向下的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。抛物线上每个位置可连续发射质量为m、电荷量为q的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小 B．电场强度的大小 C．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 D．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 题型二：先磁场后电场问题 【例题1-2】2025年国产EUV光刻机模型原理可简化为如图所示，在xOy平面直角坐标系第Ⅱ象限存在垂直于坐标平面向里的磁场，第Ⅰ象限存在沿y轴正方向的匀强电场。在A点有一带负电的粒子以的速度沿y轴正方向进入磁场，经y轴上的C点沿x轴正方向进入电场，然后从x轴上的P点离开。已知磁感应强度大小为B，电场强度大小，，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动的时间为 B．带电粒子的比荷为 C．粒子运动至P点时的速度大小为 D．P点与坐标原点O的距离为 【变式1-2】如图所示，真空中区域Ⅰ存在垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在水平向右的匀强电场，磁场和电场宽度均为d且长度足够长，图中虚线是磁场与电场的分界线，Q为涂有荧光物质的荧光板，电子打在Q板上能产生亮斑。现有一束电子从A处的小孔以速度连续不断地射入磁场，入射方向平行纸面且与P板成30°夹角。已知电子质量为m，电荷量为e，区域Ⅱ的电场强度，不计重力和电子间的相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．若电子垂直打在板上，Ⅰ区磁场的磁感应强度的大小为 B．若电子能打在板上，则电子到达板时的速率可能大于 C．若电子能打在板上，Ⅰ区所加磁场的磁感应强度最大值为 D．若电子能打在板上，Ⅰ区所加磁场的磁感应强度最大值为 题型三：交变电磁组合场问题 【例题1-3】如图甲所示，平面直角坐标系的区域内有磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，垂直于纸面向里为正方向，、均已知。平行于x轴的两带电金属板间存在着磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。带电粒子（不计重力，视为点电荷）以沿x轴正方向的速度射入两板间，恰能沿中轴线做直线运动，0时刻过坐标原点，时刻经过坐标为的A点。下列说法正确的是（　　） A．粒子经过A点时速度方向平行于x轴 B．粒子的速度大小为 C．粒子的电荷量与质量的比值为 D．两板间的电场强度为 【变式1-3】如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右(图甲中由B到C)，场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=l，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　） A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0：1 B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1：2 C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π：2 D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5 题型四：电磁组合场中的动量问题 【例题1-4】在平面内存在如图所示的电磁场区域，在到的区域Ⅰ内存在沿轴正方向的匀强电场，在到的区域Ⅱ内存在沿轴负方向的匀强电场，区域Ⅰ和区域Ⅱ的电场强度大小均为，在第一、四象限内存在范围足够大且方向垂直纸面向里的非匀强磁场，磁感应强度大小满足（为已知量）。坐标为的处有一粒子源，可以释放初速度为0，电荷量为、质量为的带电粒子，粒子重力忽略不计，不考虑电磁场区域的边缘效应和粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为 B．粒子第一次经过轴的坐标与的大小有关 C．粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足 D．若，则粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向时的横坐标为 【变式1-4】如图为某粒子分析器的工作原理图。粒子源O中有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子从O处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着恰好从A 点沿着AB方向进入磁分析器ABCD。已知加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E（未知），磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场空间还存在着一种黏性介质，使得粒子运动时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f=kv。粒子速度第一次与进入磁场时的初速度方向相反时在F点，AF与AD夹角为θ。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若要粒子能顺利沿静电分析器通道中心到达A点，则电场强度 B．若仅改变粒子质量，则粒子将不能通过静电分析器 C．θ与k的关系满足ktanθ=qB D．最终停下的点到AD的距离为 题型五：空间电磁组合场中问题 【例题1-5】如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域内有竖直方向的匀强磁场。一质量为m，电量为+q的粒子，从圆筒M右侧静止释放，粒子在两筒间做匀加速直线运动，在N桶内做匀速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力。下列正确的是（     ） A．磁感应强度方向竖直向下 B．粒子进入磁场区域时的速率为 C．粒子在磁场中运动半径为L D．磁感应强度的大小为 【变式1-5】某离子实验装置的基本原理如图所示，Ⅰ区宽度为d₁，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满沿y轴正方向的匀强电场，电场强度E；Ⅱ区宽度为d₂，左边界与x轴垂直交于O₁点，右边界与x轴垂直交于O₂点，其内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度。足够大的测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界处，其中心与点重合，以O₂为原点建立xO₂y坐标系，从离子源不断飘出电荷量q、质量m的正离子，其以某初速度沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区到达测试板。离子从Ⅰ区飞出时的位置到O₁点的距离为l。忽略离子间的相互作用，不计离子的重力。则下列判断正确的是（　　） A．离子进入Ⅰ区的初速度 B．离子在Ⅱ区运动的路程 C．离子打在测试板上的位置与O₂点沿y轴距离 D．离子打在测试板上的位置与O₂点沿z轴距离 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 （一）重力场、电场和磁场 1．三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关W＝qU 电场力做功改变电势能 磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2．关于是否考虑粒子重力的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 （二）带电粒子在叠加场中的直线运动和圆周运动 1.带电粒子在叠加场中的直线运动 (1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 (2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 2.带电粒子在叠加场中的圆周运动 (1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 (2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 题型一：带电体在叠加场中的直线运动 【例题2-1】如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为2m且足够长的绝缘木板静止在水平面上，在木板的右端放质量为m，电荷量为+q的滑块，滑块与木板之间、木板与水平面之间的动摩擦因数均为0.2，滑块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对木板施加水平向右的拉力为F，使木板以加速度a=0.1g由静止开始做匀加速运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．滑块先做加速度减小的加速运动 B．滑块最终以的速度做匀速运动 C．拉力F大小恒定 D．拉力F先减小后恒定 【变式2-1】如图，一倾角为θ的足够长绝缘粗糙斜面固定放置在水平面上，处在方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，在斜面上由静止释放一质量为m、电量大小为q的物体。已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，物体滑过一段距离s后离开斜面。下列分析正确的是（　　） A．物体带负电 B．物体下滑过程中因摩擦产生的热量为 C．物体沿斜面下滑距离s的平均速度小于 D．物体沿斜面下滑距离s所用时间为 题型二：带电体在叠加场中的圆周运动 【例题2-2】光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A．小球在复合场中运动速度偏转角可能为120° B．小球在复合场中运动半径可能是h C．小球的初速度大小可能是 D．小球在复合场中的运动时间可能是 【变式2-2】如图所示，场强为E的匀强电场竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场垂直电场向外，带电量为q的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．小球做匀速圆周运动的周期为 B．小球做匀速圆周运动的周期为 C．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为是 D．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为 题型三：带电体在叠加场中的旋进运动 【例题2-3】如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为。时，一个正离子以初速度水平向右开始运动，离子质量为m，电荷量为q，不计离子重力。此后一段时间内，下列说法正确的是（　　） A．离子的加速度大小不变 B．令，则经过T时间，离子到出发点的距离为，且T内、2T内、3T内、…nT内的位移之比为 C．若磁场方向改为水平向右，则离子做类平抛运动 D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且，则离子在竖直方向最大的位移为，此时速度为 【变式2-3】用图甲所示为洛伦兹力演示仪，某次演示带电粒子在匀强磁场中的运动时，玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，磁感应强度为B，电子在平面以初速度从坐标原点沿x轴正方向成角射入磁场，运动轨迹为螺旋线；螺旋线轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为，周期为T，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场的方向为沿轴正方向 B．当时“轨迹”为闭合的整圆 C．此螺旋状轨迹的半径 D．若同时增大角和磁感应强度，螺距可能不变 题型四：带电体在叠加场中的动量问题 【例题2-4】如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度u向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程有（　　）    A．时间为 B．小球所受洛伦兹力做功为0 C．外力F的平均功率为 D．外力F的冲量为 【变式2-4】如图，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为、电荷量为的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为 B．小球上滑的时间为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 题型五：带电体在空间叠加场中的运动 【例题2-5】在如图所示的长方体空间中，存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场，，。某时刻一带正电的粒子以速度大小，方向平行于平面且与轴正方向的夹角，从左边界区域中心射入，该粒子比荷为，不计粒子重力，，。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在该区域运动过程中，加速度大小不变 B．若磁感应强度，则粒子会从面射出 C．若磁感应强度，则粒子会从面射出 D．若磁感应强度，则粒子可能从面射出 【变式2-5】如图所示，截面半径为的圆柱形空腔位于三维坐标系中，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域。的Ⅰ区域内有沿轴正方向的匀强磁场；的Ⅱ区域内有沿轴正方向的匀强电场；Ⅲ区域内同时存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度与Ⅱ区域相等。现有一带电粒子从点，以大小为的速度垂直磁场进入Ⅰ区域，经点沿着轴进入Ⅱ区域，然后经过点进入Ⅲ区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点离开区域Ⅲ。已知粒子的质量为，电荷量为，不计粒子重力，则（　　）    A．Ⅰ区域磁感应强度的大小 B．Ⅱ区域电场强度的大小 C．进入Ⅲ区域后粒子在平面内分运动是圆周运动，其周期 D．进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，螺距（相邻两螺旋线上对应点的距离）不相等 1．如图所示， 坐标系中，第一、二象限存在沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小。第三、四象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。坐标 的处有一初速度大小为，方向指向轴正方向带负电的粒子，比荷。不计粒子重力及电场、磁场的边界效应。求： (1)粒子在磁场中运动的半径（用表示）； (2)若粒子穿过磁场又回到点，此时大小； (3)若，粒子第2次经过轴时的坐标。 2．如图所示的xOy平面直角坐标系中，第一象限存在与x轴正方向夹角为45°的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，带电荷量为的粒子（初速不计），在第二象限经加速电场加速后，从O点以速率，与x轴正方向夹角45°的方向射入磁场，粒子在磁场中运动一段时间后第一次回到x轴时的坐标为，又在电场中运动了一段时间后第二次回到x轴，不计粒子的重力。 (1)求加速电压U； (2)求磁感应强度B； (3)若粒子恰好在O点第5次经过x轴（第4次回到x轴），求电场强度E及从第1次经过O点至第5次经过x轴（O点）所需的时间。 3．如图甲所示的坐标系中区域有沿轴负方向的匀强电场，区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间变化的关系如图乙所示，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，图中。一足够大的荧光屏垂直于轴放置并可沿轴水平移动。现有一质量，电荷量的带电粒子从电场中的点沿平行轴方向以初速度射入电场，然后从坐标原点进入磁场。已知点到轴的距离，粒子经过点时的速度方向与轴的夹角，以粒子进入磁场时为时刻，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的场强大小； (2)时间内，粒子在磁场中运动时到轴的最远距离； (3)粒子在磁场中运动时到轴的最远距离及带电粒子垂直打在荧光屏上时荧光屏在轴上可能位置的坐标。 4．扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。根据其原理设计的装置简化模型如图所示，n个匀强磁场与个电场强度相同的匀强电场交替分布，宽度均为d，竖直方向范围足够广。有界磁场的磁感应强度大小依次为B0、2B0、3B0…nB0，方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。一重力不计的带正电粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入I区，射入时速度与水平方向夹角θ，θ在0~30°范围内可调，若θ=30°时，粒子恰好能射出磁场I右边界，求： （1）粒子比荷k； （2）从磁场I右边界射出的区域长度； （3）当θ=0时，粒子恰好能从第n个磁场右边界射出，则匀强电场的电场强度E。 qU 在磁场中，洛伦兹力提供向心力 qvB0 几何关系 rsin30°＝r﹣d 解得 l1＝rcos30°最低点距射入点的竖直位移大小 Δl＝l1﹣l2联立解得 5．《中国激光》杂志第六期（2025年3月）报道，上海光学精密机械研究所林楠团队创新地采用固体激光器方案，实现了LPP-EUV光源技术全球领先，这标志着国产芯片制造迈入了新阶段。物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构图简化如下（z方向足够长），晶圆（截面为直线）固定放置于坐标系的第一象限内，区域内有匀强磁场，磁感应强度，方向沿z轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强，方向沿y轴负方向。初速度可忽略的氩离子（比荷）经电压为的电场加速后，从距y轴0.5m的P点沿x轴正方向进入匀强电场E中，恰好打到位于原点O处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的金属离子（比荷）从O点飞入磁场区域，速度大小均为，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1)P点的纵坐标y； (2)假设进入磁场的离子沿各个方向都有，求晶圆方向上的镀膜（金属离子打中的区域）长度； (3)从O点沿与z轴正半轴夹角为方向飞入磁场打在晶圆上的离子距直线最近距离。 6．如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： (1)小球的初速度大小； (2)小球第一次在第四象限运动的时间； (3)小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 7．如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度大小为，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦因数为；现使圆环以初速度向下运动，经时间圆环开始做匀速直线运动，最后圆环回到出发点。不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)环的最大加速度； (2)环从开始运动到回到出发点的过程中损失的机械能； (3)环在刚要开始匀速运动时与出发点的距离。 8．如图所示，平面直角坐标系中，y轴左侧区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度大小为，第一象限和第四象限内分别充满垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ和Ⅲ。质量为m、电荷量为的带电粒子从x轴上的P点以速度射入场区，方向与x轴正方向成60°角，此后粒子第1次经过x轴时恰好从O点进入y轴右侧区域，此时速度方向与x轴正方向间的夹角为30°，粒子恰好没有再次进入电场区域，不计粒子重力。求 (1)电场强度大小E和O、P间的距离； (2)磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小之比； (3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为，粒子第6次经过x轴时位置的横坐标。 9．如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，匀强电场水平向左，比荷的带负电微粒，刚好能够在纸面内以的速度做匀速直线运动，速度方向与竖直方向的夹角为。已知图中点是它的运动轨迹上的一点，重力加速度取。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)当微粒运动到点时，撤去磁场，当微粒运动到点时（图中未画出），速度变为竖直，求点与点的水平距离和竖直距离； (3)当微粒运动到点时，撤去电场，同时恢复被撤去的磁场，求在此后的运动中，微粒与点在竖直方向上的最大距离是多少。 10．如图所示，边长为L=0.9m的正方体OACD−O1A1C1D1空间中存在磁感应强度，方向沿z轴正方向的匀强磁场和电场强度E=1.0N/C，方向沿z轴负方向的匀强电场。极板M、N间是加速电场，一带电量为q=1.0×10−12C的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得Ek=1.0×10−11J的动能，并从O1点沿y轴正方向进入正方体空间。已知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取π2=10。 (1)判断M极板的极性并求出加速电场的电压大小； (2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C1点射出，求粒子的质量； (3)若粒子质量m0=2×10−14kg，求粒子运动到xOy平面的位置坐标。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $鼎力物理 https://shop.xkw.com/650102 必修第二册人教版(2019) 专题03 带电粒子在组合场和叠加场中的运动 目录 【题型专练】 1 考点一 带电粒子在组合场中的运动 1 题型一：先电场后磁场问题 3 题型二：先磁场后电场问题 5 题型三：交变电磁组合场问题 8 题型四：电磁组合场中的动量问题 10 题型五：空间电磁组合场中问题 12 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 14 题型一：带电体在叠加场中的直线运动 15 题型二：带电体在叠加场中的圆周运动 16 题型三：带电体在叠加场中的旋进运动 18 题型四：带电体在叠加场中的动量问题 20 题型五：带电体在空间叠加场中的运动 22 【分层训练】 25 考点一 带电粒子在组合场中的运动 （一）带电粒子在组合场中运动分析思路 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 （二）常见的两类组合场问题 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 题型一：先电场后磁场问题 【例题1-1】如图所示，在x轴下方宽度的区域中，的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，的区域无电场。在和的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一比荷的带正电粒子从点由静止释放，不计粒子重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子第一次经过x轴时的速度大小为 B．粒子经过x轴时的速度方向与x轴始终垂直 C．粒子第三次经过y轴时的位置坐标为 D．粒子从开始释放到第三次经过x轴所用的时间为 【答案】ABC 【详解】A．粒子从M点由静止释放经过电场加速到第一次经过x轴过程中有 解得，故A正确； BC．根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示 设粒子经过电场加速一次后在磁场中的运动半径为r1，由洛伦兹力提供向心力得 解得同理，粒子经过电场加速两次后，有可得粒子在磁场中的运动半径由图综合分析可知，粒子经过x轴时速度方向与x轴始终垂直，粒子第三次经过y轴时的位置坐标为，故BC正确； D．粒子在磁场中运动的周期粒子在电场中第一次加速的时间粒子在电场中第二次加速的时间 粒子在无电场和无磁场区域做匀速直线运动的时间为则粒子从开始释放到第三次经过x轴所用的时间，故D错误。故选ABC。 【变式1-1】如图所示，平面坐标系xOy中，一抛物线的方程为，在抛物线的上方有竖直向下的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。抛物线上每个位置可连续发射质量为m、电荷量为q的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小 B．电场强度的大小 C．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 D．从抛物线上横坐标的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 【答案】AC 【详解】AB．分析从A点射入的粒子，进入电场后做类平抛运动，水平方向 竖直方向 由牛顿第二定律可得 联立解得，故A正确，B错误； CD．从A点射入的粒子到达O点时，水平速度为，竖直速度为 则合速度为 方向与x轴成斜向右下方。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子在磁场中运动的轨迹为圆，从y轴上射出，轨迹对应的弦长为 则粒子射出磁场时的坐标，故C正确，D错误。 故选AC。 题型二：先磁场后电场问题 【例题1-2】2025年国产EUV光刻机模型原理可简化为如图所示，在xOy平面直角坐标系第Ⅱ象限存在垂直于坐标平面向里的磁场，第Ⅰ象限存在沿y轴正方向的匀强电场。在A点有一带负电的粒子以的速度沿y轴正方向进入磁场，经y轴上的C点沿x轴正方向进入电场，然后从x轴上的P点离开。已知磁感应强度大小为B，电场强度大小，，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子在磁场中运动的时间为 B．带电粒子的比荷为 C．粒子运动至P点时的速度大小为 D．P点与坐标原点O的距离为 【答案】AC 【详解】A．带电粒子在磁场中运动的时间，故A正确； BD．带电粒子运动到电场中，由牛顿第二定律可得 根据运动学规律可得， 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得， 带电粒子的比荷，故BD错误； C．根据平抛运动规律可得， 联立解得，故C正确。 故选AC。 【变式1-2】如图所示，真空中区域Ⅰ存在垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在水平向右的匀强电场，磁场和电场宽度均为d且长度足够长，图中虚线是磁场与电场的分界线，Q为涂有荧光物质的荧光板，电子打在Q板上能产生亮斑。现有一束电子从A处的小孔以速度连续不断地射入磁场，入射方向平行纸面且与P板成30°夹角。已知电子质量为m，电荷量为e，区域Ⅱ的电场强度，不计重力和电子间的相互作用力，下列说法正确的是（　　） A．若电子垂直打在板上，Ⅰ区磁场的磁感应强度的大小为 B．若电子能打在板上，则电子到达板时的速率可能大于 C．若电子能打在板上，Ⅰ区所加磁场的磁感应强度最大值为 D．若电子能打在板上，Ⅰ区所加磁场的磁感应强度最大值为 【答案】AD 【详解】A．电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 可解得若电子垂直打在Q板上，出磁场时须与磁场的右边界垂直，如图所示 由几何关系得解得故Ⅰ区磁场的磁感应强度为，故A正确； B．电子在电场中所受电场力水平向左，若电子能打在Q板上，由动能定理得 解得电子到达Q板时的速率不可能大于，故B错误； CD．若电子恰好打在Q板上，说明速度的方向刚好与Q板平行，且速率为 设电子进入电场时速度方向与虚线边界间的夹角为，有解得在磁场中，由几何关系知解得洛伦兹力提供向心力有此时即Ⅰ区所加磁场的磁感应强度最大值为，故C错误，D正确。故选AD。 题型三：交变电磁组合场问题 【例题1-3】如图甲所示，平面直角坐标系的区域内有磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，垂直于纸面向里为正方向，、均已知。平行于x轴的两带电金属板间存在着磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。带电粒子（不计重力，视为点电荷）以沿x轴正方向的速度射入两板间，恰能沿中轴线做直线运动，0时刻过坐标原点，时刻经过坐标为的A点。下列说法正确的是（　　） A．粒子经过A点时速度方向平行于x轴 B．粒子的速度大小为 C．粒子的电荷量与质量的比值为 D．两板间的电场强度为 【答案】ACD 【详解】A．粒子从O点沿x轴正向进入右侧磁场，时刻经过坐标为的A点。画出粒子的运动轨迹，由对称性可知，粒子经过A点时速度方向平行于x轴，A正确； B．因A点的纵坐标为d，可知粒子做圆周运动的半径为，每段圆弧所对的圆心角为，可得粒子的速度，B错误； C．根据 解得，C正确； D．粒子在两极板间做直线运动，则 解得两板间的电场强度为，D正确。 故选ACD。 【变式1-3】如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右(图甲中由B到C)，场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=l，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　） A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0：1 B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1：2 C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π：2 D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5 【答案】BCD 【详解】A．在t=1s时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图所示；由牛顿第二定律得qv0B0=粒子的轨道半径，R=l，则B0=带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向l=v0t水平方向l=at2其中而E0=则故A错误； B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比故B正确； C．第一个粒子的运动时间t1=T=第二个粒子的运动时间t2=第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比t1：t2=π：2故C正确； D．第二个粒子，由动能定理得qE0l=Ek2－，Ek2=第一个粒子的动能Ek1=，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5，故D正确。故选BCD。 题型四：电磁组合场中的动量问题 【例题1-4】在平面内存在如图所示的电磁场区域，在到的区域Ⅰ内存在沿轴正方向的匀强电场，在到的区域Ⅱ内存在沿轴负方向的匀强电场，区域Ⅰ和区域Ⅱ的电场强度大小均为，在第一、四象限内存在范围足够大且方向垂直纸面向里的非匀强磁场，磁感应强度大小满足（为已知量）。坐标为的处有一粒子源，可以释放初速度为0，电荷量为、质量为的带电粒子，粒子重力忽略不计，不考虑电磁场区域的边缘效应和粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为 B．粒子第一次经过轴的坐标与的大小有关 C．粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足 D．若，则粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向时的横坐标为 【答案】ACD 【详解】A．设粒子第一次从区域Ⅰ进入区域Ⅱ时的速度为，根据动能定理，解得，故A正确； BC．设粒子第一次经过轴的坐标为，粒子在区域Ⅰ的运动时间满足 加速度为 坐标 联立解得，即粒子第一次经过轴的坐标与的大小无关。 可知粒子竖直位移为，水平位移为，故粒子第一次经过轴时速度方向与轴正方向的夹角满足，故B错误，C正确； D．粒子从区域Ⅱ进入磁场区域后，其速度方向第一次沿轴正方向，说明其竖直分速度减为0，根据C选项，可求得竖直分速度为 在竖直方向，洛伦兹力的竖直分量为，根据动量定理 又，代入上式解得粒子比荷为 联立解得，故D正确。 故选ACD。 【变式1-4】如图为某粒子分析器的工作原理图。粒子源O中有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子从O处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着恰好从A 点沿着AB方向进入磁分析器ABCD。已知加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E（未知），磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场空间还存在着一种黏性介质，使得粒子运动时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f=kv。粒子速度第一次与进入磁场时的初速度方向相反时在F点，AF与AD夹角为θ。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若要粒子能顺利沿静电分析器通道中心到达A点，则电场强度 B．若仅改变粒子质量，则粒子将不能通过静电分析器 C．θ与k的关系满足ktanθ=qB D．最终停下的点到AD的距离为 【答案】AD 【详解】A．电场中加速过程有 静电分析器内做匀速圆周运动有 联立解得，故A正确； B．只要满足，粒子做匀速圆周运动就能通过静电分析器，与粒子的质量无关，故B错误； C．粒子在磁分析器中运动时，速度第一次与初速度方向相反时在F点，有 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即 联立可得，故C错误； D．对粒子在磁分析器中运动到最终停下的全过程分析，在竖直方向由动量定理 可得水平方向的速度变化为零，由动量定理即有代入初速度，可得最终停下的点到AD的距离为，故D正确。故选AD。 题型五：空间电磁组合场中问题 【例题1-5】如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域内有竖直方向的匀强磁场。一质量为m，电量为+q的粒子，从圆筒M右侧静止释放，粒子在两筒间做匀加速直线运动，在N桶内做匀速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，忽略粒子受到的重力。下列正确的是（     ） A．磁感应强度方向竖直向下 B．粒子进入磁场区域时的速率为 C．粒子在磁场中运动半径为L D．磁感应强度的大小为 【答案】BC 【详解】A．粒子从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，由于粒子带正电，根据左手定则可知，磁感应强度方向竖直向上，故A错误； B．粒子在直线加速器中加速，根据动能定理 可得粒子进入磁场区域时的速率为，故B正确； CD．粒子从正方形的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形中心垂直飞出磁场区域，已知正方体的边长为，根据几何关系可得粒子在磁场中运动半径为 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得磁感应强度的大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式1-5】某离子实验装置的基本原理如图所示，Ⅰ区宽度为d₁，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满沿y轴正方向的匀强电场，电场强度E；Ⅱ区宽度为d₂，左边界与x轴垂直交于O₁点，右边界与x轴垂直交于O₂点，其内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度。足够大的测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界处，其中心与点重合，以O₂为原点建立xO₂y坐标系，从离子源不断飘出电荷量q、质量m的正离子，其以某初速度沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区到达测试板。离子从Ⅰ区飞出时的位置到O₁点的距离为l。忽略离子间的相互作用，不计离子的重力。则下列判断正确的是（　　） A．离子进入Ⅰ区的初速度 B．离子在Ⅱ区运动的路程 C．离子打在测试板上的位置与O₂点沿y轴距离 D．离子打在测试板上的位置与O₂点沿z轴距离 【答案】BD 【详解】A．离子在Ⅰ区内做类平抛运动，有且由牛顿第二定律，有联立可得，初速度故A错误； B．离子刚进入Ⅱ区时，速度沿y轴的分量为在Ⅱ区做等距螺旋运动，运动时间为其中圆弧弧长为可由勾股定理，离子在Ⅱ区运动的总路程故B正确； CD．离子的运动在内投影为匀速圆周运动，可知运动半径 周期则，即转动圈则离子打在测试板上的位置与O₂点沿y轴距离而位置与O₂点沿z轴距离故C错误，D正确。故选BD。 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 （一）重力场、电场和磁场 1．三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关W＝qU 电场力做功改变电势能 磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2．关于是否考虑粒子重力的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 （二）带电粒子在叠加场中的直线运动和圆周运动 1.带电粒子在叠加场中的直线运动 (1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 (2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 2.带电粒子在叠加场中的圆周运动 (1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 (2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 题型一：带电体在叠加场中的直线运动 【例题2-1】如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为2m且足够长的绝缘木板静止在水平面上，在木板的右端放质量为m，电荷量为+q的滑块，滑块与木板之间、木板与水平面之间的动摩擦因数均为0.2，滑块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对木板施加水平向右的拉力为F，使木板以加速度a=0.1g由静止开始做匀加速运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．滑块先做加速度减小的加速运动 B．滑块最终以的速度做匀速运动 C．拉力F大小恒定 D．拉力F先减小后恒定 【答案】BD 【详解】AB．先分析滑块受力有 解得加速度最大值 由可知滑块与木板先相对静止，一起以加速度a=0.1g做匀加速运动 当时,滑块相对木板滑动，滑动后随速度v增大，加速度a减小 当 解得 故滑块离开木板做匀速运动，A错误，B正确； CD．滑块与木板整体受力有 随速度v增大，拉力F减小，滑块滑动后分析木板受力有 随速度v增大，拉力F减小，当滑块离开木板时，拉力F恒定，C错误，D正确。 故选BD。 【变式2-1】如图，一倾角为θ的足够长绝缘粗糙斜面固定放置在水平面上，处在方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，在斜面上由静止释放一质量为m、电量大小为q的物体。已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，物体滑过一段距离s后离开斜面。下列分析正确的是（　　） A．物体带负电 B．物体下滑过程中因摩擦产生的热量为 C．物体沿斜面下滑距离s的平均速度小于 D．物体沿斜面下滑距离s所用时间为 【答案】AC 【详解】A．由于物体加速运动，受到的洛伦兹力垂直斜面向上才会离开斜面，根据左手定则可知，物体带负电，A正确； B．由于运动过程中摩擦力不断减小，因此物体下滑过程中摩擦产生的热量小于，B错误； C．物体离开斜面时速度满足 则 又由于物体做加速度增大的加速运动，则物体的平均速度小于，C正确； D．由于物体下滑是加速度增大的加速运动，物体的平均速度小于 则物体下滑距离s所用时间大于，D错误。 故选AC。 题型二：带电体在叠加场中的圆周运动 【例题2-2】光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A．小球在复合场中运动速度偏转角可能为120° B．小球在复合场中运动半径可能是h C．小球的初速度大小可能是 D．小球在复合场中的运动时间可能是 【答案】AC 【详解】A．因带电小球的比荷为 则有 则粒子进入复合场后做匀速圆周运动，粒子从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为60°。则在场中运动转过的圆弧角度可能为60°，也可能是120°，如图所示 故A正确； B．小球在复合场中运动的半径可能满足或解得或故B错误； C．由洛伦兹力提供向心力可得则小球的速度大小可能为或故C正确； D．小球的运动周期为小球在复合场中的运动时间可能为，故D错误。故选AC。 【变式2-2】如图所示，场强为E的匀强电场竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场垂直电场向外，带电量为q的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．小球做匀速圆周运动的周期为 B．小球做匀速圆周运动的周期为 C．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为是 D．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为 【答案】BD 【详解】AB．小球要做匀速圆周运动，电场力与重力要等大反向，电场力向上，小球必须带负电，则有 解得小球做匀速圆周运动的周期为粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有解得故周期为联立解得故A错误，B正确； CD．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，小球带负电，根据平衡条件 又解得故C错误，D正确。故选BD。 题型三：带电体在叠加场中的旋进运动 【例题2-3】如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为。时，一个正离子以初速度水平向右开始运动，离子质量为m，电荷量为q，不计离子重力。此后一段时间内，下列说法正确的是（　　） A．离子的加速度大小不变 B．令，则经过T时间，离子到出发点的距离为，且T内、2T内、3T内、…nT内的位移之比为 C．若磁场方向改为水平向右，则离子做类平抛运动 D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且，则离子在竖直方向最大的位移为，此时速度为 【答案】AD 【详解】A．离子受到的电场力竖直向下，洛伦兹力在水平面，故离子在水平面以做匀速圆周运动，洛伦兹力大小不变，在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，合成的运动为螺旋运动，加速度大小不变，且有 但加速度方向时刻改变，故A正确； B．结合上述可知离子在水平面以做匀速圆周运动，则有， 解得 可知，经过时间，离子在水平方向完成一次完整的圆周运动，到达出发点的正下方，此时离子出发点的距离为 根据运动的周期性可知，经历时间，离子均回到出发点的正下方，离子竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移公式有 可知，内，内，内…内的位移之比为，故B错误； C．若磁场方向改为水平向右，在电场力的作用下离子向下加速，随后离子所受洛伦兹力不为0，离子做摆线运动，加速度发生变化，离子的运动不是类平抛运动，故C错误； D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且有可知 洛伦兹力小于电场力，则离子会向下偏转，当在竖直方向最大的位移为时，电场力做功最大，此时离子速度最大，令为，根据动能定理有，根据水平方向动量定理有 其中联立解得，故D正确。故选AD。 【变式2-3】用图甲所示为洛伦兹力演示仪，某次演示带电粒子在匀强磁场中的运动时，玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，磁感应强度为B，电子在平面以初速度从坐标原点沿x轴正方向成角射入磁场，运动轨迹为螺旋线；螺旋线轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为，周期为T，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场的方向为沿轴正方向 B．当时“轨迹”为闭合的整圆 C．此螺旋状轨迹的半径 D．若同时增大角和磁感应强度，螺距可能不变 【答案】BD 【详解】A．电子的从O点射出时的速度有沿x轴正向的分量，受洛伦兹力沿z轴正向，根据左手定则可知，磁场的方向为沿轴负方向，选项A错误； B．当电子只在xOz平面内运动，则“轨迹”为闭合的整圆，选项B正确； C．根据解得此螺旋状轨迹的半径选项C错误； D．根据螺距若同时增大角和磁感应强度，螺距可能不变，选项D正确。故选BD。 题型四：带电体在叠加场中的动量问题 【例题2-4】如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度u向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程有（　　）    A．时间为 B．小球所受洛伦兹力做功为0 C．外力F的平均功率为 D．外力F的冲量为 【答案】BCD 【详解】A．小球在水平外力F的作用下以速度u向右匀速运动，故小球受到的洛伦兹力在沿管道方向的分力保持不变，根据牛顿第二定律得由初速度为零的位移公式解得故A错误； B．小球所受洛伦兹力不做功，故B正确； C．小球所受洛伦兹力不做功，故在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做负功的大小，外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，则有外力F的平均功率为故C正确； D．外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，外力F的冲量大小等于故D正确。故选BCD。 【变式2-4】如图，一根固定的足够长的光滑绝缘细杆与水平面成角。质量为、电荷量为的带电小球套在细杆上。小球始终处于磁感应强度大小为的匀强磁场中。磁场方向垂直细杆所在的竖直面，不计空气阻力。小球以初速度沿细杆向上运动至最高点，则该过程（　　） A．合力冲量大小为 B．小球上滑的时间为 C．洛伦兹力冲量大小为 D．若，弹力冲量为零 【答案】ABD 【详解】A．小球运动到最高点时的速度为0，根据动量定理可知，合力的冲量等于物体动量的变化量，即所以合力的冲量大小为，故正确； B．对小球受力分析，沿斜杆方向小球只受到重力的分量，垂直斜杆方向上存在洛伦兹力、杆的弹力与重力的另一个分量，只有沿斜面方向影响物体运动的加速度，即解得小球做匀减速运动，直到速度为0，所用的时间为，故正确； C．小球受到的洛伦兹力为洛伦兹力大小随时间均匀变化，可利用平均力来进行计算，即洛伦兹力的冲量为，故C错误； D.对小球受力分析，在垂直杆的方向上有其中以垂直杆向上为的正方向可求得若那么在时间内，随时间变化的关系如图 图中曲线与时间轴围成的面积是弹力的冲量，能得到，故D正确。故选ABD。 题型五：带电体在空间叠加场中的运动 【例题2-5】在如图所示的长方体空间中，存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场，，。某时刻一带正电的粒子以速度大小，方向平行于平面且与轴正方向的夹角，从左边界区域中心射入，该粒子比荷为，不计粒子重力，，。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在该区域运动过程中，加速度大小不变 B．若磁感应强度，则粒子会从面射出 C．若磁感应强度，则粒子会从面射出 D．若磁感应强度，则粒子可能从面射出 【答案】AC 【详解】A．粒子在该区域受到向右电场力F=Eq 将v0分解为竖直向上v0z和水平向右v0y，则有 由左手定则知F洛=Bqv0z，方向向里，在xoz平面做匀速圆周运动，由于F洛不做功。v0z不变，故F洛大小不变。而电场力是恒力， y方向虽加速，但不影响洛伦兹力。所以合力 大小不变，则加速度大小不变，故A正确； BC．若磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 AA1B1B的侧视图如图 可得 由图可知当时，圆周运动顶点刚好在ADD1A1面上。水平向右做匀加速运动、故刚能从DCC1D1面上射出。根据可知B越大，r越小，故时，则粒子会从DCC1D1面射出，故C正确，B错误； D．若时，根据洛伦兹力提供向心力，有解得则圆心在A1D1C1B1面上，则粒子从ADD1A1面射出，故D错误。故选AC。 【变式2-5】如图所示，截面半径为的圆柱形空腔位于三维坐标系中，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域。的Ⅰ区域内有沿轴正方向的匀强磁场；的Ⅱ区域内有沿轴正方向的匀强电场；Ⅲ区域内同时存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度与Ⅱ区域相等。现有一带电粒子从点，以大小为的速度垂直磁场进入Ⅰ区域，经点沿着轴进入Ⅱ区域，然后经过点进入Ⅲ区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点离开区域Ⅲ。已知粒子的质量为，电荷量为，不计粒子重力，则（　　）    A．Ⅰ区域磁感应强度的大小 B．Ⅱ区域电场强度的大小 C．进入Ⅲ区域后粒子在平面内分运动是圆周运动，其周期 D．进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，螺距（相邻两螺旋线上对应点的距离）不相等 【答案】CD 【详解】A．粒子在Ⅰ区域平面内做圆周运动，轨迹如图所示    根据几何关系可知根据洛伦兹力提供向心力可得Ⅰ区域磁感应强度的大小故A错误； B．粒子在Ⅱ区域平面做类平抛运动，轴方向有轴方向有加速度为解得Ⅱ区域电场强度的大小故B错误； C．粒子在点沿轴方向的分速度为粒子进入Ⅲ区域后在平面做圆周运动，轨迹如图所示    由几何关系可知解得其周期为故C正确； D．粒子进入Ⅲ区域后在平面做圆周运动，沿轴做匀加速直线运动，故粒子做螺旋线运动，螺距为 可得 故D正确。故选CD。 1．如图所示， 坐标系中，第一、二象限存在沿轴正方向的匀强电场，电场强度大小。第三、四象限存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。坐标 的处有一初速度大小为，方向指向轴正方向带负电的粒子，比荷。不计粒子重力及电场、磁场的边界效应。求： (1)粒子在磁场中运动的半径（用表示）； (2)若粒子穿过磁场又回到点，此时大小； (3)若，粒子第2次经过轴时的坐标。 【答案】(1) (2) (3)（） 【详解】（1）根据动能定理 解得 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子从运动到的过程中做类平抛运动，根据类平抛规律，在沿y轴方向上，根据牛顿第二定律有 解得 根据位移公式有 解得 沿y轴方向的速度为 粒子运动轨迹如图 由题可知粒子圆周运动圆心位于轴，根据几何关系有 又，， 联立解得 （3）轨迹如图 粒子从 过程中，有 粒子从过程，根据几何关系，可得又则有所以第二次击中轴位置故粒子第二次经过轴时的坐标为 。 2．如图所示的xOy平面直角坐标系中，第一象限存在与x轴正方向夹角为45°的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，带电荷量为的粒子（初速不计），在第二象限经加速电场加速后，从O点以速率，与x轴正方向夹角45°的方向射入磁场，粒子在磁场中运动一段时间后第一次回到x轴时的坐标为，又在电场中运动了一段时间后第二次回到x轴，不计粒子的重力。 (1)求加速电压U； (2)求磁感应强度B； (3)若粒子恰好在O点第5次经过x轴（第4次回到x轴），求电场强度E及从第1次经过O点至第5次经过x轴（O点）所需的时间。 【答案】(1)(2)(3)， 【详解】（1）粒子在加速电场有 解得 （2）由几何关系知粒子在磁场中做圆周运动的半径为 又 解得 （3）由轨迹可知，粒子在磁场中运动时间为 粒子在电场中做类平抛运动时，沿x轴方向有 沿y轴方向有 又 联立解得， 又 解得 粒子第一次在电场中运动时间 故从第1次经过O点至第5次经过x轴所需的总时间为 3．如图甲所示的坐标系中区域有沿轴负方向的匀强电场，区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间变化的关系如图乙所示，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，图中。一足够大的荧光屏垂直于轴放置并可沿轴水平移动。现有一质量，电荷量的带电粒子从电场中的点沿平行轴方向以初速度射入电场，然后从坐标原点进入磁场。已知点到轴的距离，粒子经过点时的速度方向与轴的夹角，以粒子进入磁场时为时刻，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的场强大小； (2)时间内，粒子在磁场中运动时到轴的最远距离； (3)粒子在磁场中运动时到轴的最远距离及带电粒子垂直打在荧光屏上时荧光屏在轴上可能位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3)；或   【详解】（1）粒子在匀强电场中，做类平抛运动有，， 联立解得 （2）粒子在O点的速度大小 设在正向磁场内运动的半径大小为，则有 解得 因为 粒子从O点进入磁场后，在时间内在正向磁场内运动了圆周 联立解得 （3）①设在负向磁场内的运动半径为，则， 在时间内在负向磁场内运动了圆周，对应的圆心角为，在时间内在正向磁场内运动了圆周，对应的圆心角也为，粒子就这样周期性的运动下去，轨迹如图所示： 由几何关系有 解得 ②由轨迹可知，在磁场的一个变化周期内，粒子沿水平方向向右移动的距离等于圆心、之间的距离 粒子能垂直打在荧光屏上，有2种情况： （ⅰ）若在轨迹最低点垂直打在荧光屏上，荧光屏在x轴上可能位置的坐标 分析可知只能取，则荧光屏的位置坐标 （ⅱ）若在轨迹最高点垂直打在荧光屏上，荧光屏在x轴上可能位置的坐标 解得 综上可知，荧光屏在x轴上可能位置的坐标为或   4．扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。根据其原理设计的装置简化模型如图所示，n个匀强磁场与个电场强度相同的匀强电场交替分布，宽度均为d，竖直方向范围足够广。有界磁场的磁感应强度大小依次为B0、2B0、3B0…nB0，方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。一重力不计的带正电粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入I区，射入时速度与水平方向夹角θ，θ在0~30°范围内可调，若θ=30°时，粒子恰好能射出磁场I右边界，求： （1）粒子比荷k； （2）从磁场I右边界射出的区域长度； （3）当θ=0时，粒子恰好能从第n个磁场右边界射出，则匀强电场的电场强度E。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意知，在加速电场中根据动能定理有 qU 在磁场中，洛伦兹力提供向心力 qvB0 几何关系 rsin30°＝r﹣d 解得 （2）磁场I右边界射出的最高点距射入点的竖直位移大小 l1＝rcos30°最低点距射入点的竖直位移大小 l2＝r （1﹣cos30°）故从磁场I右边界射出的区域长度Δl为 Δl＝l1﹣l2联立解得 Δl＝2（1）d （3）以竖直向上为正方向，粒子在竖直方向的洛伦兹力作用下使该方向的动量发生改变。在经过磁场I过程中，由动量定理，得B0qB0qd＝mv1 同理经过磁场II过程中2B0qd＝m （v2﹣v1） 磁场Ⅲ过程中3B0qd＝m （v3﹣v2） 磁场n过程中nB0qd＝m （vn﹣vn﹣1）知，B0qd＝mvn 粒子经过电场加速，由动能定理，得qU+qE （n﹣1）d 联立解得 5．《中国激光》杂志第六期（2025年3月）报道，上海光学精密机械研究所林楠团队创新地采用固体激光器方案，实现了LPP-EUV光源技术全球领先，这标志着国产芯片制造迈入了新阶段。物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构图简化如下（z方向足够长），晶圆（截面为直线）固定放置于坐标系的第一象限内，区域内有匀强磁场，磁感应强度，方向沿z轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强，方向沿y轴负方向。初速度可忽略的氩离子（比荷）经电压为的电场加速后，从距y轴0.5m的P点沿x轴正方向进入匀强电场E中，恰好打到位于原点O处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的金属离子（比荷）从O点飞入磁场区域，速度大小均为，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1)P点的纵坐标y； (2)假设进入磁场的离子沿各个方向都有，求晶圆方向上的镀膜（金属离子打中的区域）长度； (3)从O点沿与z轴正半轴夹角为方向飞入磁场打在晶圆上的离子距直线最近距离。 【答案】(1)0.6m (2)0.5m (3) 【详解】（1）设氩离子经电压为的电场加速后的速度为，则根据动能定理有 解得 氩离子从P点沿x轴正方向进入匀强电场E中后做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，设氩离子运动到原点O处的时间为，则有 解得 氩离子竖直方向上做的是从静止开始的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得其加速度为 所以氩离子在竖直方向的位移即P点的纵坐标为 （2）金属离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力根据牛顿第二定律有 解得金属离子做匀速圆周运动的半径为 若进入磁场的离子沿各个方向都有，则离子在磁场中的运动轨迹如下图所示： 由分析可知，金属离子能直接打到M点，沿轴正方向射出的金属离子，圆心在M点，落点到M点的距离最远，所以 即镀膜的长度为。 （3）从O点沿与z轴正半轴夹角为方向飞入的金属离子在磁场中的运动轨迹为螺旋状，可将其看成是在平面内的匀速圆周运动和沿z轴正方向的匀速直线运动的合成。则金属离子在平面内的匀速圆周运动的速度大小为 所以由洛伦兹力提供向心力根据牛顿第二定律有 解得金属离子做匀速圆周运动的半径为 金属离子在平面内的运动轨迹如下图所示： 从图中可以看出，当金属离子转过后打到晶圆上时在磁场中运动的时间最短，此时打在晶圆上的离子距直线的距离最近。根据周期与线速度的关系式可得金属离子做匀速圆周运动的周期为 所以金属离子打到晶圆上的运动时间为 金属离子沿z轴正方向匀速直线运动的速度为 故从O点沿与z轴正半轴夹角为方向飞入磁场打在晶圆上的离子距直线最近距离为 6．如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： (1)小球的初速度大小； (2)小球第一次在第四象限运动的时间； (3)小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球初速度为v0，根据平衡条件有 得 （2）小球在第四象限内电场力 小球在第四象限做匀速圆周运动有 根据几何关系，小球在第四象限运动时间满足 得 （3）小球在第四象限做圆周运动有 得r=L 小球离开第四象限时，经过y轴的位置为N，ON之间距离 小球过N点时所受合力方向与竖直向下方向的夹角为，有 即 小球在第三象限内做类平抛运动，有 小球从N点运动到再次回到y轴所用时间为t，有 得 小球在与合力垂直方向位移 y轴方向位移 从O到M在竖直方向位移 由 得 7．如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度大小为，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦因数为；现使圆环以初速度向下运动，经时间圆环开始做匀速直线运动，最后圆环回到出发点。不计空气阻力，重力加速度为。求： (1)环的最大加速度； (2)环从开始运动到回到出发点的过程中损失的机械能； (3)环在刚要开始匀速运动时与出发点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆环受到的电场力，方向竖直向上 则圆环受到的电场力与重力的合力，方向竖直向上 圆环受到的洛伦兹力 圆环受到的滑动摩擦力 圆环先向下运动时 圆环先向上运动时 圆环以初速度向下运动，经时间，圆环回到出发点，所以圆环在运动过程中，向下运动时的加速度大于向上运动的加速度，而向下运动时速度减小，则受摩擦力越小，则加速度越小，向上运动时，速度逐渐增大，则摩擦力变大，加速度减小，则圆环先向下做加速度减小的减速运动，后向上做加速度减小的加速度运动。 因此圆环刚开始运动时加速度最大，根据牛顿第二定律有 解得 （2）圆环从出发点到回到出发点的过程中，重力势能、电势能变化为零，那么机械能的损失即为动能的减小量，则有 圆环做匀速直线运动时，根据平衡条件有 解得 因此环在时间内损失的机械能 （3）设圆环从出发点运动到最低点过程，所用时间为t1，运动距离为x1，根据动量定理有，其中 圆环从最低点到刚要开始匀速运动时的过程，所用时间为，运动距离为x2，根据动量定理有，其中， 则环在刚要开始匀速运动时与出发点的距离 解得 8．如图所示，平面直角坐标系中，y轴左侧区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，其磁感应强度大小为，第一象限和第四象限内分别充满垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ和Ⅲ。质量为m、电荷量为的带电粒子从x轴上的P点以速度射入场区，方向与x轴正方向成60°角，此后粒子第1次经过x轴时恰好从O点进入y轴右侧区域，此时速度方向与x轴正方向间的夹角为30°，粒子恰好没有再次进入电场区域，不计粒子重力。求 (1)电场强度大小E和O、P间的距离； (2)磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小之比； (3)若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为，粒子第6次经过x轴时位置的横坐标。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，设半径为r，根据牛顿第二定律可得 粒子第一次到达x轴时的时间 解得 设粒子运动到O点时的速度大小为v，则 解得 根据牛顿第二定律有 根据运动学公式有 解得 带电粒子在沿x轴方向做匀加速直线运动，位移为，则 解得 （2）设磁场Ⅱ和磁场Ⅲ的磁感应强度大小分别为和，粒子在磁场加和磁场Ⅲ中做圆周运动的半径分别为和，根据洛伦兹力提供向心力， 解得， 如图所示 根据几何关系 解得 （3）若磁场Ⅱ的磁感应强度大小为，由（2）问可知磁场Ⅲ的磁感应强度大小为粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径 粒子在磁场中做圆周运动的半径 带电粒子在一个周期内沿x轴运动的位移 解得 则粒子第6次经过x轴时到O点的距离 解得 9．如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，匀强电场水平向左，比荷的带负电微粒，刚好能够在纸面内以的速度做匀速直线运动，速度方向与竖直方向的夹角为。已知图中点是它的运动轨迹上的一点，重力加速度取。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)当微粒运动到点时，撤去磁场，当微粒运动到点时（图中未画出），速度变为竖直，求点与点的水平距离和竖直距离； (3)当微粒运动到点时，撤去电场，同时恢复被撤去的磁场，求在此后的运动中，微粒与点在竖直方向上的最大距离是多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）微粒做匀速直线运动，受力情况如图所示 则， 解得 （2）撤去磁场后，微粒做类平抛运动  将速度分解可得， 水平方向的加速度 水平方向的速度减为零时 此时与点的竖直距离为 与点的水平距离为 （3）微粒运动的轨迹离点的竖直距离最大时，速度为水平方向 在水平方向上，由动量定理可得 即 在点时速度 由动能定理可得 求得 与点在竖直方向上的最大距离 10．如图所示，边长为L=0.9m的正方体OACD−O1A1C1D1空间中存在磁感应强度，方向沿z轴正方向的匀强磁场和电场强度E=1.0N/C，方向沿z轴负方向的匀强电场。极板M、N间是加速电场，一带电量为q=1.0×10−12C的正电粒子在加速电场作用下由静止加速后获得Ek=1.0×10−11J的动能，并从O1点沿y轴正方向进入正方体空间。已知正方体空间外无电场、磁场，粒子重力不计，取π2=10。 (1)判断M极板的极性并求出加速电场的电压大小； (2)假设正方体空间仅有匀强磁场，粒子恰好从C1点射出，求粒子的质量； (3)若粒子质量m0=2×10−14kg，求粒子运动到xOy平面的位置坐标。 【答案】(1)正极；10V (2)4.5×10−14kg (3) 【详解】（1）由题可知，正电的粒子在M、N间做加速运动，则M、N间的电场方向向右，故M板带正电，根据动能定理可得 代入题中数据，解得加速电场的电压 （2）由题可知，粒子进入正方体空间的速度，粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用，因此粒子在O1A1C1D1平面内做匀速圆周运动，粒子从C1点离开，则粒子做圆周运动的半径需满足 由洛伦兹力提供向心力可得解得代入题中数据，解得 （3）由题可知，粒子进入复合场的速度结合上述分析可知 故 故如图所示 由几何关系可得，粒子在磁场中旋转了，则粒子在磁场中运动时间 粒子沿z轴的加速度速度位移 粒子从前表面射出时的坐标为，， 粒子出正方体空间后，做匀速直线运动，则有 粒子运动到xOy平面的位置坐标， 故粒子运动到xOy平面的位置坐标为 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $