专题05 带电粒子在组合场中的运动模型（讲义）物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦带电粒子在组合场中的运动模型这一核心知识点，系统梳理不同磁场组合、电场进入磁场、磁场进入电场、交变电磁场四类典型模型，通过对比电场与磁场中粒子受力、轨迹及求解方法，搭建从单一场到组合场的学习支架。 资料以模型建构为核心，通过表格对比、例题推理（如磁场中圆周运动半径与周期计算）培养科学思维，变式训练与分层练习强化科学探究能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，深化运动和相互作用观念。

专题05 带电粒子在组合场中的运动模型 【分析方法】 组合场中的两种典型偏转 垂直于电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直于磁感线进入匀强磁场（不计重力） 受力情况 电场力FE＝Eq，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解： vx＝v0，x＝v0t vy＝t，y＝t2 偏转角φ：tanφ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 【模型一】不同磁场组合 【模型剖析】 磁场与磁场的组合问题的实质是两个有界磁场中的圆周运动的组合问题: 1. 由于洛伦兹力不做功,所以带电粒子在两个磁场中的速度大小一定相等，但轨迹半径和运动周期往往不同。 2. 解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点,寻找有关几何关系是解题的关键。 【例题精讲】 【例1】（2025•四川模拟）如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线MN下方、上方的磁感应强度大小分别为B1、B2，且B1＝2B2＝2B0，一带正电的粒子P静止在直线MN下方与MN距离为d的位置。某时刻，粒子P爆炸分裂为带正电的粒子A和不带电的粒子B，已知粒子A的质量为m，电荷量为+q，以大小为的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B相遇。不计粒子重力，磁场区域足够大。则（　　） A．粒子B的质量为 B．粒子B的速度大小为 C．两粒子相遇前，粒子A运动的时间为 D．两粒子相遇前，粒子B通过的距离为d 【推理过程】 【答案】B 【解答】解：CD、根据题意分析可知，粒子A获得水平向右的速度，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力则根据牛顿第二定律有 解得粒子在磁场B1中的圆周半径r1＝d 同理可得 解得r2＝2d 粒子B获得水平向左的速度，在水平方向做匀速直线运动，若粒子A、B相遇，则两者的运动轨迹如图所示 根据图可得，相遇前粒子B通过的距离为2d；相遇前粒子A运动的总时间为，故CD错误； AB、根据题意分析可知，由速度公式 取水平向右为正方向，根据动量守恒mBvB＝mv0 解得，故A错误，B正确。 故选：B。 【例2】（多选）（2025•湖南模拟）如图所示，ba和bc为两磁场区域的分界线，区域Ⅰ为等腰直角三角形abc，ab＝bc＝2L。在a、c所在直线放置一无限长弹性挡板，粒子撞上挡板后速度大小不变，方向相反，带电量不变。区域Ⅱ为足够大磁场区域，两区域磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向外和向里，d、e两点为ab和bc的中点。从d点平行ac向右射出一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子恰好能从b点射出Ⅰ区域，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子从射出至回到d点的时间为 B．粒子从射出至到达c点的时间为 C．粒子第N次撞挡板，撞击点到a点的距离为NL D．若粒子射出时的速度减半，粒子将不能达到c点 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 可得 粒子从射出至回到d点的轨迹如图所示 由图可知，粒子从射出至回到d点的时间为 故A错误； B．粒子从射出至到达c点的轨迹如图所示 由图可知粒子从射出至到达c点的时间为 故B正确； C．粒子与挡板碰撞的次数和位置如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中的轨道半径为 由图可知粒子第N次撞挡板，撞击点到a点的距离为 故C正确； D．若粒子射出时的速度减半，则粒子在磁场中的轨道半径减半，如图所示 由图可知，粒子能达到c点，故D错误。 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•绵阳模拟）如图所示的平面内有宽度均为d的区域Ⅰ、Ⅱ，区域内有磁场方向分别垂直图示平面向里和向外的匀强磁场，区域Ⅱ内磁场磁感应强度大小为区域Ⅰ内磁场磁感应强度大小的3倍。一带负电的粒子以垂直于边界向右的初速度从区域Ⅰ左边界上的O点进入磁场，运动轨迹与区域Ⅱ右边界上的P点（图中未画出）相切。不计粒子重力，忽略边界效应，则下列判断正确的是（　　） A．O、P两点竖直方向上的距离为 B．粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ，速度与边界的夹角为60° C．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动时间之比为3：2 D．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动路程之比为2：3 【变式训练2】（2025•武陵区校级模拟）空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为（a，0），已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x，y），不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值可能取负值 B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离 D．粒子运动过程中的最大速率 【变式训练3】（2025春•海珠区校级月考）如图所示，ab和ac是无限大磁场的分界线，在ab和ac的上下两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。∠bac＝90°，P、Q是分界线上的两点，且aP＝aQ＝L。现有一质量为m、电荷量为﹣q的粒子从P点沿PQ方向水平射出，粒子射出速度v，不计粒子的重力。下列说法不正确的是（　　） A．粒子运动的轨迹半径为rL B．粒子由P点运动到Q点所用的时间为t C．若射出速度为v，粒子由P点运动到Q点所用时间为t′ D．若射出速度为2v，粒子第一次运动到ac边上的位置到Q点的距离为d＝（2）L 【变式训练4】（2025•湛江二模）如图，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着与平面垂直、方向相反、磁感应强度大小相等的匀强磁场。现有两个电子a、b，依次从顶点A处竖直向上和竖直向下射出，不计电子的重力，则电子a、b分别经过B点的最短时间之比为（　　） A．1：2 B．1：1 C．2：1 D．5：1 【变式训练5】（多选）（2025•邯郸模拟）如图所示，空间存在方向垂直于xOy平面（纸面）向里的匀强磁场，在x≥0区域，磁感应强度大小为B，在x＜0区域，磁感应强度大小为3B。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子以速度v从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，不计带电粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在x≥0区域的运动半径是x＜0区域运动半径的3倍 B．粒子从射入磁场到速度再次沿x轴正方向的时间为 C．粒子速度再次沿x轴正方向时与O点的距离为 D．粒子在x≥0区域与x＜0区域的运动周期之比为1：3 【模型二】 粒子由电场进入磁场 【模型剖析】 电场中：匀变速直线运动；磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动；磁场中：匀速圆周运动 【例题精讲】 【例1】（2025秋•绵阳校级期中）如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：画出粒子的运动轨迹，如下图所示 设Q点纵坐标为h，粒子到达Q点的速度为v，水平分速度为vx，运动时间为t1，则由运动规律可得 h＝v0t1，，， 解得Q点纵坐标h，粒子到达Q点的速度v，运动时间t1满足：h＝2d，， 设粒子在磁场中的运动半径为R，周期为T，由几何关系可得 则粒子在磁场中的运动周期为 粒子在磁场中的运动时间为 在电场和磁场中运动的总时间为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•山东开学）如图所示，平面坐标系xOy中，一抛物线的方程为y（x≤0），在抛物线的上方有竖直向下的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。抛物线上每个位置可连续发射质量为m、电荷量为q的粒子，粒子均以大小为v0的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小 B．电场强度的大小 C．从抛物线上横坐标x＝﹣l的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 D．从抛物线上横坐标x＝﹣l的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 【推理过程】 【答案】AC 【解答】解：AB、分析从A点射入的粒子，进入电场后做类平抛运动，水平方向l＝v0t 竖直方向 其中 联立解得 故A正确，B错误； CD、带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示： 从A点射入的粒子到达O点时，水平速度为v0，竖直速度为vy＝at＝v0 则合速度为，方向与x轴成45°斜向右下方。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得r＝l 粒子在磁场中运动的轨迹为圆，从y轴上射出，轨迹对应的弦长为 则粒子射出磁场时的坐标 故C正确，D错误。 故选：AC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•龙岗区校级三模）如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，边界为矩形BCDG，GD长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m的粒子，从AH中点以垂直电场的速度v0（未知量）进入电场，然后从边界BG进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．AB长为2L C． D．若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长 【变式训练2】（2025•东丽区校级二模）如图所示，在Oxy坐标系内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。一个质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的初速度v0沿x轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则（　　） A．极板P带正电 B．粒子进入磁场时速度方向与y轴夹角为60° C．匀强磁场磁感应强度大小为 D．粒子最终离开电场时速度大小为v0 【变式训练3】（2025•湖北模拟）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域PP′N′N充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为L，宽为S；NN′为磁场与电场之间的薄隔离层，一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，电子第一次进入磁场区域恰好未从MM′穿出，第五次穿越隔离层后垂直于磁场边界M′N′飞出，不计电子所受重力。则下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为：3 B．电子在磁场中第一次与第二次运动的时间比为10：9 C．电场强度大小为 D．L＝4.61S 【变式训练4】（多选）（2025春•永州期末）利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy坐标系的y轴右侧存在沿y轴负方向的匀强电场，y轴左侧存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为3v0的初速度沿x轴负方向发射，恰好经过坐标原点O进入左侧磁场，再经过M点（未画出）返回y轴右侧。不计带电粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度的大小为 B．粒子射入磁场时的速度大小为3v0 C．粒子从P点运动到M点的时间为 D．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径为12L 【变式训练5】（多选）（2025秋•兴庆区校级月考）如图所示，竖直放置间距为d的两平行金属极板间电压为U，在极板右侧Ⅰ、Ⅱ区域有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B0、kB0，Ⅰ区域的匀强磁场的宽度为d，Ⅱ区域的磁场范围足够大。初速度为零的粒子从极板边缘的O点出发，在电场加速后，沿垂直磁感应强度方向进入Ⅰ区域的匀强磁场。已知粒子的质量为m、所带电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在Ⅰ区域的磁场中沿逆时针方向运动 B．当时，粒子不会进入Ⅱ区域的匀强磁场 C．若且时，粒子能够回到出发点O D．粒子从出发到回到出发点O所用总时间的最小值为 【模型三】 粒子由磁场进入电场 【模型剖析】 磁场中：匀速圆周运动；电场中：匀变速直线运动（v与E共线） 磁场中：匀速圆周运动；电场中：类平抛运动（v与E垂直） 【例题精讲】 【例1】（2025•庐阳区校级模拟）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线y＝a的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在x＝﹣a处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从x＝a处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子进入磁场的初速度为 B．矩形匀强电场区域的最小面积为 C．粒子从A点运动到C点的最短时间为 D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为πqBa 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A.由题意，粒子在磁场中是磁聚焦（磁发散）情景，因此轨迹半径r＝a 由半径公式 解得粒子速度 故A错误； B.所有粒子都以速度v沿y轴正方向进入电场，根据直到减速为0，有v2＝2a's 根据牛顿第二定律qE＝ma' 解得加速度 减速位移 根据磁聚焦（磁发散），所有粒子进入电场的平行宽度为 x＝2a 则矩形电场的最小面积为 故B错误； C.所有粒子在磁场都有两段过程，合起来看都转了半圈，如图 根据周期公式 可知在磁场中的时间均为 根据对称性，所有粒子在电场中从速度v减速为0，再反向加速到v，则在电场中的时间 除了从A点沿x轴正向发射的粒子外，其余粒子都还有在真空区域运动的时间，因此最低按时间为 故C正确； D.所有粒子在磁场两段过程中，合起来转了半圈，速度偏转角为180°，所有粒子在电场中先减速再反向加速，速度偏转角也为180°，因此所有粒子从A到C速度方向不变，且大小也不变。以初速度方向为正方向，根据动量定理I+qEt2＝0 解得洛伦兹力冲量I＝﹣2aBq 则冲量大小为2aBq 故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•江西模拟）现代科技常使用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如图所示，将边长为L的正方形ABCD沿对角线AC分成区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ（包括边界AB、BC）内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内有方向平行于CD且由C指向D的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒于从A点沿AB方向以速率v射入区域Ⅰ，刚好从AC的中点O进入区域Ⅱ，最后恰好打在D点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．电场的电场强度大小为 C．粒子从A点运动到D点的时间为 D．若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子将从AD边的中点射出 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A．根据题意可知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，进入电场做类平抛运动，画出粒子的轨迹如图所示： 由洛伦兹力提供向心力： 根据几何关系，知： 得： 故A错误； B．进入电场中，根据类平抛运动的规律，有： 联立可得： 故B正确； C．粒子从A点运动到D点的时间：t＝t1+t2 则 故C正确； D．由以上分析可知粒子从AD边射出的位置与A点间的距离： 由此可知，若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子不会从AD边的中点射出，故D错误。 故选BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2024秋•西湖区校级期中）电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60° C．电场强度大小为 D．粒子运动过程中最小速度为 【变式训练2】（多选）（2025•湘西州模拟）粒子以速度水平向左垂直于最右边磁场的进入匀强电、磁场区域，其中磁场方向均垂直于纸面向里，磁感应强度大小均为B，电场方向均沿x轴负方向，电场强度大小均为E，电、磁场区域的宽度均为L。已知粒子的质量为m、电荷量为q（q＞0），虚线边界上有电场（　　） A．粒子出第一个磁场时与水平方向的夹角为45° B．取粒子刚离开匀强电、磁场区域中第一个电场区域时速度与水平方向的夹角为θ2，则 C．粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 D．粒子在第4层磁场中达到轨迹最左端 【变式训练3】（多选）（2025•河北）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ＝3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【变式训练4】（多选）（2025春•濮阳期末）如图所示，xOy平面内第一象限存在垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B，第四象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上P点以速度v0沿与y轴正方向成45°夹角射入磁场，经过x轴上的Q点（未画出）速度方向与x轴负方向成45°夹角进入第四象限，经电场偏转后恰好经过坐标原点O，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．第一象限内磁场方向垂直纸面向里 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．粒子在电场中的运动时间为 D．电场强度大小为 【变式训练5】（多选）（2025•攀枝花三模）如图所示，正方形abcd区域被MN分为上、下两个矩形，bN＝2d、Nc＝d，MN下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN上方有平行bc边向下的匀强电场。在cd边的中点P处有一粒子源，沿纸面内向磁场中各方向均匀的辐射出速率大小均为v的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在磁场运动的半径为d B．从MN上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d C．匀强电场的场强大小为 D．粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为 【模型四】交变电磁场 【模型剖析】 解题要点: 1. 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 ①先读图:看清并且明白场的变化情况； ②受力分析:分析粒子在不同的变化场区的受力情况； ③过程分析:分析粒子在不同时间段内的运动情况； ④建立模型:粒子在不同运动阶段,各自对应什么运动模型； ⑤找衔接点:找出衔接相邻两过程的速度大小及方向； ⑥选规律:联立不同阶段的方程求解。 2. 交变场的常见的类型 (1)电场周期性变化,磁场不变。 (2)磁场周期性变化,电场不变。 ( 3 )电场、磁场均周期性变化。 【例题精讲】 【例1】（2025•永州模拟）如图，是交替出现的宽为L的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为E，2、4区域为磁场，场强均为B，方向如图所示。质量为m，带电量为q的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【推理过程】 【答案】A 【解答】解：A、粒子在电场中受电场力加速，电场力做功，磁场中洛伦兹力不做功。粒子经过1、3两个电场区域，电场力做功为2qEL，根据动能定理，合外力做功等于动能变化，初动能为0，所以穿出4区下边界后动能为2qEL。 故A正确； B、由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，设向右为正方向，水平方向根据动量定理可得∑F洛xt＝mvx﹣0 其中∑F洛xt＝∑qvyBt＝qB∑vyt＝qB•2L 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 故B错误； C、由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 故C错误； D、若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故D错误。 故选：A。 【例2】（多选）（2025秋•中山区校级期中）两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t＝0时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知，且，两板间距为，下列说法正确的是（　　） A．粒子在t0时刻的动能为 B．粒子在时间内的速度变化量大小为 C．粒子在2t0～3t0时间内做匀加速直线运动 D．粒子在极板间运动的最大位移大小为 【推理过程】 【答案】ACD 【解答】解：0～t0时间内带电粒子做匀加速直线运动， 根据牛顿第二定律以及运动学公式有 故粒子在t0时刻的动能为 t0～时间段内，带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动，故运动半径满足 运动周期满足 时粒子的速度方向水平，故t0～时间段内的速度变化量大小为 ～2t0时间段内，磁场方向改变，带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动，2t0时粒子运动方向竖直向上。 2t0～3t0带电粒子向上做匀加速直线运动 3t0～、～4t0带电粒子做圆周运动，此时运动半径为 两板间距为，故粒子在极板间的运动轨迹如图所示 当粒子到达对面极板时的水平位移为 故粒子在极板间运动的最大位移大小为 故ACD正确，B错误。 故选：ACD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•沙坪坝区校级模拟）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，t＝0时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在x＜﹣R范围内存在竖直向下的匀强电场，在x＞R范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为（﹣R，0），一质量为m、带电量为+q的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到（R，0）位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从（R，0）位置进入磁场中，不计粒子重力，则（　　） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为vT+πR D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为vT+2πR 【变式训练2】（2024春•江北区校级月考）如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子（质量为m、电荷量为q、不计重力）从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式训练3】（多选）（2025•河南模拟）某种离子测量简化装置如图所示，方向均垂直纸面向里的磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两匀强磁场边界直线MN、PQ平行且相距L，磁场Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小之比为3：5，磁场之间有水平向右的匀强电场，自MN上S点水平向左射出一带正电粒子甲，甲在电、磁场中形成轨迹封闭的周期性运动，较长时间后撤去该粒子，又在S点竖直向下往电场内射出另一个相同粒子乙，也可形成轨迹封闭的周期性运动。粒子电荷量为q、质量为m，不计重力，两粒子射出的初速度大小均为v0。sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．甲粒子在匀强电场中向右运动过程中动能的增加量为 B．匀强电场的电场强度的大小为 C．甲、乙两粒子做周期性运动的运动周期相同 D．粒子乙在磁场Ⅱ中运动轨迹的长度为 一．选择题（共8小题） 1．（2025•东丽区校级二模）如图所示，在Oxy坐标系内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。一个质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的初速度v0沿x轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则（　　） A．极板P带正电 B．粒子进入磁场时速度方向与y轴夹角为60° C．匀强磁场磁感应强度大小为 D．粒子最终离开电场时速度大小为v0 2．（2025春•曹县校级期末）图是某种同步加速器的原理图。直线通道PQ有电势差为U的加速电场，通道转角处有可调的匀强偏转磁场B。电量为+q，质量为m的带电粒子以速度v0进入加速电场，而后可以在通道中循环加速。带电粒子在偏转磁场中运动的半径为R。忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里 B．加速一次后，带电粒子的动能增量为2qU C．加速k次后，带电粒子的动能增量为 D．加速k次后，偏转磁场的磁感应强度为 3．（2024秋•阳江期末）一个粒子源发出很多种带电粒子，经速度选择器后仅有甲、乙、丙、丁四种粒子沿平行于纸面的水平直线穿过竖直挡板MN上的小孔O，它们之后进入正方形虚线框内，虚线框内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，四种粒子的运动轨迹如图所示，不计粒子所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．甲粒子的速率大于乙粒子的速率 B．丙、丁粒子均带正电 C．速度选择器中磁场方向垂直纸面向里 D．甲、乙、丙、丁四种粒子中，丙粒子的比荷最大 4．（2025春•厦门校级月考）如图所示，某质谱仪由电压为U的加速电场，半径为R且圆弧中心线（虚线所示）处电场强度大小为E的均匀辐射电场和磁感应强度为B的半圆形磁分析器组成。质量为m、电荷量为q的正电粒子（不计重力）从M板由静止加速后，沿圆弧中心线经过辐射电场，再从P点垂直磁场边界进入磁分析器后打在胶片上Q点。下列说法正确的是（　　） A．辐射电场中，沿电场线方向电场减弱 B．加速电压 C．辐射电场的电场力对该粒子做正功 D．P点与Q点的距离为 5．（2025春•苏州校级月考）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P点，产生X射线。已知MN间的电压为U，磁场的宽度为d，电子的比荷为k，电子离开磁场时的速度偏转角为θ，偏转磁场的磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•张家港市校级月考）洛伦兹力演示仪的实物图和原理图分别如图（a）图（b）所示。电子束从电子枪向右水平射出，使玻璃泡中的稀薄气体发光，从而显示电子的运动轨迹。调节加速极电压可改变电子速度大小，调节励磁线圈电流可改变磁感应强度，某次实验，观察到电子束打在图（b）中的P点。下列说法正确的是（　　） A．两个励磁线圈中的电流均为顺时针方向 B．当减小励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹 C．当减小加速极电压时，电子可能出现完整的圆形轨迹 D．在出现完整轨迹后，增大加速极电压，电子在磁场中圆周运动的周期变大 7．（2024春•河东区期中）如图所示，三个同心圆a、b、c的半径分别为r、2r、，在圆a区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1。在圆a和圆b间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b和圆c间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从圆a边界上的A点沿半径方向以速度v0射入圆a内，第一次从圆a边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆c飞离磁场。已知磁感应强度，不计粒子的重力.则粒子在圆a内磁场中和圆c与圆b两边界间磁场中做圆周运动半径之比（　　） A．3：2 B．2：3 C． D． 8．（2023秋•西岗区校级月考）如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以初速度v0沿y轴负方向射出，P点的坐标为，粒子恰好能打到y轴上，不考虑粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度B的大小为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•成都期中）利用电场可使带电粒子加速或偏转，据此在多个领域加以应用。如图为装置竖直截面图，足够长的平行极板N和荧光屏M之间有平行于极板N的匀强电场，在极板N上有一小孔O，在极板N右侧有以O孔为圆心，半径分别为R和2R的弧形极板，其间有辐状电场，两弧形极板在垂直于荧光屏M的O1O延长线上有两小孔O2、O3，现有电荷量相同、质量分别为m1和m2（且m1＞m2）的粒子1、2从O3孔无初速度进入辐状电场。不计空气阻力、粒子重力及之间的相互作用，粒子的电荷量小，不影响原电场。下列说法正确的是（　　） A．粒子1、2从O3孔运动到O孔用时相等 B．粒子1、2进入O孔时的速率之比为 C．粒子1、2通过匀强电场的过程中，动量的变化量大小之比为 D．粒子1、2打在荧光屏上的位置与O1点的距离之比为1：1 （多选）10．（2025春•昆明期末）如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，y＞0的区域内有沿y轴负方向的匀强电场，y＜0的区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。t＝0时，带正电的粒子从坐标原点O以大小为的初速度射入第一象限，其速率v随时间t变化的关系如图乙所示，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子从O点射出时速度与x轴正方向的夹角为45° B．0～t0与t0～2t0时间内，粒子运动的位移大小相等 C．电场强度大小与磁感应强度大小之比为 D．3t0时刻粒子所在位置的横坐标为 （多选）11．（2025•广西模拟）如图所示，直角坐标系xOy的x轴上方存在匀强磁场和匀强电场，y轴是磁场和电场的分界线，磁场方向垂直xOy平面向外，电场方向与y轴平行，指向y轴负方向，M、P两点的坐标为M（0，L）、P（﹣2L，0）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速度v0从P点射入电场，经电场偏转后从M点垂直于y轴进入磁场，然后从x轴上的N点离开磁场。已知粒子到达N点时与x轴负方向的夹角为60°，粒子的重力不计。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．匀强电场的场强大小为 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 三．解答题（共3小题） 12．（2024秋•北碚区校级期末）如图所示，PQ、MN之间存在场强为E的匀强电场，MN的上方有垂直纸面向里匀强磁场。一带正电粒子从O点沿x轴正方向以速度v0进入电场，然后从a点进入磁场，在磁场中运动后再从b点进入电场。已知a点坐标为，b点坐标为，粒子所受重力不计。求： （1）粒子的比荷； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从O出发到第二次经过a点所用的时间。 13．（2025秋•洛阳期中）如图所示，x轴上方存在大小为E、方向竖直向上的匀强电场，x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场。有一个带负电的粒子，电荷量为﹣q，质量为m，从y轴上的P点，以速度v0沿x轴正方向射入第一象限，经过x轴上的A点后进入第四象限的磁场，进入磁场时速度方向与x轴正方向成30°角，仍点O又进入第一象限，之后经过x轴上的（未画出）再次进入磁场中，不计粒子的重力。 （1）粒子进入磁场时的速度大小； （2）O点到D点的距离、匀强磁场磁感应强度B的大小。 14．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，xOy平面直角坐标系中第一、二象限存在平行于纸面的匀强电场E0（未画出），第四象限交替分布着沿﹣y方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为B、2B、3B……，其中。一质量为m、电量为+q的粒子从点M（﹣L，0）以平行于y轴的初速度v0进入第二象限，恰好从y轴上的N点以v0垂直y轴进入第一象限。不计粒子重力，求： （1）电场强度E0； （2）粒子在第四象限中第一次进入磁场时的速度大小； （3）粒子在第四象限中到达第几个磁场时，速度与x轴平行。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 带电粒子在组合场中的运动模型 【分析方法】 组合场中的两种典型偏转 垂直于电场线进入匀强电场（不计重力） 垂直于磁感线进入匀强磁场（不计重力） 受力情况 电场力FE＝Eq，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹 求解方法 利用类似平抛运动的规律求解： vx＝v0，x＝v0t vy＝t，y＝t2 偏转角φ：tanφ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 【模型一】不同磁场组合 【模型剖析】 磁场与磁场的组合问题的实质是两个有界磁场中的圆周运动的组合问题: 1. 由于洛伦兹力不做功,所以带电粒子在两个磁场中的速度大小一定相等，但轨迹半径和运动周期往往不同。 2. 解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点,寻找有关几何关系是解题的关键。 【例题精讲】 【例1】（2025•四川模拟）如图所示，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，水平直线MN下方、上方的磁感应强度大小分别为B1、B2，且B1＝2B2＝2B0，一带正电的粒子P静止在直线MN下方与MN距离为d的位置。某时刻，粒子P爆炸分裂为带正电的粒子A和不带电的粒子B，已知粒子A的质量为m，电荷量为+q，以大小为的速度开始水平向右运动，一段时间后与粒子B相遇。不计粒子重力，磁场区域足够大。则（　　） A．粒子B的质量为 B．粒子B的速度大小为 C．两粒子相遇前，粒子A运动的时间为 D．两粒子相遇前，粒子B通过的距离为d 【推理过程】 【答案】B 【解答】解：CD、根据题意分析可知，粒子A获得水平向右的速度，在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力则根据牛顿第二定律有 解得粒子在磁场B1中的圆周半径r1＝d 同理可得 解得r2＝2d 粒子B获得水平向左的速度，在水平方向做匀速直线运动，若粒子A、B相遇，则两者的运动轨迹如图所示 根据图可得，相遇前粒子B通过的距离为2d；相遇前粒子A运动的总时间为，故CD错误； AB、根据题意分析可知，由速度公式 取水平向右为正方向，根据动量守恒mBvB＝mv0 解得，故A错误，B正确。 故选：B。 【例2】（多选）（2025•湖南模拟）如图所示，ba和bc为两磁场区域的分界线，区域Ⅰ为等腰直角三角形abc，ab＝bc＝2L。在a、c所在直线放置一无限长弹性挡板，粒子撞上挡板后速度大小不变，方向相反，带电量不变。区域Ⅱ为足够大磁场区域，两区域磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向外和向里，d、e两点为ab和bc的中点。从d点平行ac向右射出一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，粒子恰好能从b点射出Ⅰ区域，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子从射出至回到d点的时间为 B．粒子从射出至到达c点的时间为 C．粒子第N次撞挡板，撞击点到a点的距离为NL D．若粒子射出时的速度减半，粒子将不能达到c点 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得 可得 粒子从射出至回到d点的轨迹如图所示 由图可知，粒子从射出至回到d点的时间为 故A错误； B．粒子从射出至到达c点的轨迹如图所示 由图可知粒子从射出至到达c点的时间为 故B正确； C．粒子与挡板碰撞的次数和位置如图所示 根据几何关系可得粒子在磁场中的轨道半径为 由图可知粒子第N次撞挡板，撞击点到a点的距离为 故C正确； D．若粒子射出时的速度减半，则粒子在磁场中的轨道半径减半，如图所示 由图可知，粒子能达到c点，故D错误。 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•绵阳模拟）如图所示的平面内有宽度均为d的区域Ⅰ、Ⅱ，区域内有磁场方向分别垂直图示平面向里和向外的匀强磁场，区域Ⅱ内磁场磁感应强度大小为区域Ⅰ内磁场磁感应强度大小的3倍。一带负电的粒子以垂直于边界向右的初速度从区域Ⅰ左边界上的O点进入磁场，运动轨迹与区域Ⅱ右边界上的P点（图中未画出）相切。不计粒子重力，忽略边界效应，则下列判断正确的是（　　） A．O、P两点竖直方向上的距离为 B．粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ，速度与边界的夹角为60° C．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动时间之比为3：2 D．粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动路程之比为2：3 【答案】B 【解答】解：根据洛伦兹力提供给向心力： 变形可得： 由题意知：B2＝3B1 可知：r1＝3r2 画出粒子运动轨迹如图所示， 设粒子在磁场I中的偏转角为θ，由几何关系有：r1sinθ＝d，r2sinθ+r2＝d 联立解得：，r1＝2d， A、OP两点竖直方向上的偏移距离：，故A错误； B、粒子从区域Ⅰ进入区域Ⅱ，圆心角为30o，即速度的偏向角为30o，因此速度与边界的夹角为60°，故B正确； C、粒子在区域I中运动的时间： 粒子在区域Ⅱ中运动的时间： 在区域Ⅰ、Ⅱ运动时间之比为：t1：t2＝3：4，故C错误； D、粒子从O点到P点，在区域Ⅰ、Ⅱ运动路程之比为，故D错误。 故选：B。 【变式训练2】（2025•武陵区校级模拟）空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为（a，0），已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x，y），不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值可能取负值 B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离 D．粒子运动过程中的最大速率 【答案】C 【解答】解：AB．粒子从初始位置运动到x轴时电场力做功为0，所以不可能运动到x轴以上位置，即y值不可能取负值；到达x轴的速度为零，所以会再次向下运动，重复前一段的轨迹向前运动，则x值会大于a，故AB错误； C．粒子第一次运动到距离x轴最远处时洛伦兹力不做功，由动能定理得，解得；根据牛顿第二定律在此处有，解得；故C正确； D．最大速率满足，解得，故D错误。 故选：C。 【变式训练3】（2025春•海珠区校级月考）如图所示，ab和ac是无限大磁场的分界线，在ab和ac的上下两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。∠bac＝90°，P、Q是分界线上的两点，且aP＝aQ＝L。现有一质量为m、电荷量为﹣q的粒子从P点沿PQ方向水平射出，粒子射出速度v，不计粒子的重力。下列说法不正确的是（　　） A．粒子运动的轨迹半径为rL B．粒子由P点运动到Q点所用的时间为t C．若射出速度为v，粒子由P点运动到Q点所用时间为t′ D．若射出速度为2v，粒子第一次运动到ac边上的位置到Q点的距离为d＝（2）L 【答案】C 【解答】解：A．根据洛伦兹力提供向心力，且 得粒子运动的轨迹半径为：rL 故A正确； B．由左手定则可知，粒子运动轨迹如图甲所示，可知粒子由P点运动到Q点所用的时间恰好为一个周期，即时间满足： 故B正确； C．若射出速度为，由， 得运动半径满足：r′L 由左手定则可知，粒子运动轨迹如图乙所示，可知粒子由P点运动到Q点所用的时间恰好为一个周期，即时间满足： 故C错误； D．若射出速度为2v，由， 得运动半径满足：r″L 由左手定则可知，粒子运动轨迹如图丙所示，粒子第一次运动到ac边上的位置到Q点的距离为：d＝L﹣r″（1﹣cos45°）＝（2）L 故D正确。 此题选择不正确的，故选：C。 【变式训练4】（2025•湛江二模）如图，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着与平面垂直、方向相反、磁感应强度大小相等的匀强磁场。现有两个电子a、b，依次从顶点A处竖直向上和竖直向下射出，不计电子的重力，则电子a、b分别经过B点的最短时间之比为（　　） A．1：2 B．1：1 C．2：1 D．5：1 【答案】D 【解答】解：电子a、b分别经过B点的最短时间，则都是要一次性到达B点，可画如图轨迹，如下图所示： 电子a、b分别经过B点的圆心角分别为300°和60°，而运动周期T相同，根据时间满足： 则电子a、b分别经过B点的最短时间之比为5：1。 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练5】（多选）（2025•邯郸模拟）如图所示，空间存在方向垂直于xOy平面（纸面）向里的匀强磁场，在x≥0区域，磁感应强度大小为B，在x＜0区域，磁感应强度大小为3B。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子以速度v从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，不计带电粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在x≥0区域的运动半径是x＜0区域运动半径的3倍 B．粒子从射入磁场到速度再次沿x轴正方向的时间为 C．粒子速度再次沿x轴正方向时与O点的距离为 D．粒子在x≥0区域与x＜0区域的运动周期之比为1：3 【答案】AC 【解答】解：A.粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得半径 周期 x≥0区域半径 x＜0 区域半径 则R1：R2＝3：1 故A正确； B.粒子从射入到速度再次沿x轴正方向的时间为两区域各运动半个周期的时间和，即 故B错误； C.粒子在y轴方向的总位移为 故C正确； D.根据周期表达式 解得周期之比T1：T2＝3：1 故D错误。 故选：AC。 【模型二】 粒子由电场进入磁场 【模型剖析】 电场中：匀变速直线运动；磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动；磁场中：匀速圆周运动 【例题精讲】 【例1】（2025秋•绵阳校级期中）如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：画出粒子的运动轨迹，如下图所示 设Q点纵坐标为h，粒子到达Q点的速度为v，水平分速度为vx，运动时间为t1，则由运动规律可得 h＝v0t1，，， 解得Q点纵坐标h，粒子到达Q点的速度v，运动时间t1满足：h＝2d，， 设粒子在磁场中的运动半径为R，周期为T，由几何关系可得 则粒子在磁场中的运动周期为 粒子在磁场中的运动时间为 在电场和磁场中运动的总时间为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•山东开学）如图所示，平面坐标系xOy中，一抛物线的方程为y（x≤0），在抛物线的上方有竖直向下的匀强电场，第四象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。抛物线上每个位置可连续发射质量为m、电荷量为q的粒子，粒子均以大小为v0的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小 B．电场强度的大小 C．从抛物线上横坐标x＝﹣l的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 D．从抛物线上横坐标x＝﹣l的A点发射的粒子射出磁场时的坐标 【推理过程】 【答案】AC 【解答】解：AB、分析从A点射入的粒子，进入电场后做类平抛运动，水平方向l＝v0t 竖直方向 其中 联立解得 故A正确，B错误； CD、带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示： 从A点射入的粒子到达O点时，水平速度为v0，竖直速度为vy＝at＝v0 则合速度为，方向与x轴成45°斜向右下方。 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得r＝l 粒子在磁场中运动的轨迹为圆，从y轴上射出，轨迹对应的弦长为 则粒子射出磁场时的坐标 故C正确，D错误。 故选：AC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•龙岗区校级三模）如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直纸面向里，边界为矩形BCDG，GD长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m的粒子，从AH中点以垂直电场的速度v0（未知量）进入电场，然后从边界BG进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．AB长为2L C． D．若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长 【答案】B 【解答】解：A．若粒子带正电，运动轨迹如图所示，若粒子带负电，由对称性，粒子在电场中向上偏转，磁场中运动的圆轨迹与正粒子圆轨迹相重合，故不论带何种电荷，都符合题意，故A错误； B．取正粒子运动轨迹，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动个圆周后返回电场，圆弧对应的圆心角为240°，可知图中设定的θ＝α＝60°，设粒子在磁场中运动轨道半径为r，由几何关系 r+rcosα＝L 解得运动的半径满足： 设P点速度为v，根据速度的分解可得， 设粒子在电场中运动时间为t，则有LAB＝v0t， 由几何关系可知 联立解得AB长为LAB＝2L 故B正确； C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，可得 代入数据解得进入电场的速度为 故C错误； D．若电场强度减弱，粒子进入磁场的偏转角减小，粒子在磁场中运动的轨道半径减小，圆轨道对应的圆心角变小，所以在磁场中运动时间将变短，故D错误。 故选：B。 【变式训练2】（2025•东丽区校级二模）如图所示，在Oxy坐标系内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。一个质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的初速度v0沿x轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则（　　） A．极板P带正电 B．粒子进入磁场时速度方向与y轴夹角为60° C．匀强磁场磁感应强度大小为 D．粒子最终离开电场时速度大小为v0 【答案】A 【解答】解：由题意可知当粒子在磁场运动轨迹如下图所示： A、电量为+q的带电粒子向下偏转，则上极板P带正电，故A正确； C、设粒子进入磁场的速度为v，v，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，qvB＝m，r，解得：B，故C错误； B、带电粒子贴着下极板进入磁场，设进入磁场的方向与水平方向夹角为θ，粒子水平方向做匀速直线运动则有l＝v0t，竖直方向匀加速直线运动，则有，t，解得：vx＝vy，tanθ1，θ＝45°，故B错误； D：带电粒子从上级板再次进入电场，受电场力向下，再次加速，故出电场的速度一定大于v0，故D错误。 故选：A。 【变式训练3】（2025•湖北模拟）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域PP′N′N充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域NN′M′M充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为L，宽为S；NN′为磁场与电场之间的薄隔离层，一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，电子第一次进入磁场区域恰好未从MM′穿出，第五次穿越隔离层后垂直于磁场边界M′N′飞出，不计电子所受重力。则下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为：3 B．电子在磁场中第一次与第二次运动的时间比为10：9 C．电场强度大小为 D．L＝4.61S 【答案】D 【解答】解：C.设粒子第一次到达隔离层时的速度大小为v0，穿过隔离层后的速度大小为v1，粒子第一次进入磁场区域做圆周运动的半径R1＝S 由动能定理得 由题意知 由牛顿第二定律得 解得 故C错误； A.设粒子穿过隔离层后第2次进入电场时的速度大小为v2，粒子由电场返回穿越隔离层后的速度大小为v3，第二次在磁场中做圆周运动的半径为R2，由题意知 由牛顿第二定律得 解得R2＝0.9R1＝0.9S 故电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为10：9，故A错误； BD.电子第一次与第二次在磁场中均转过半个周期，时间比为1：1.。电子第三次在磁场中运动的半径为 则磁场区域的长度L＝2R1+2R2+R3 解得L＝4.61S 故B错误，D正确。 故选：D。 【变式训练4】（多选）（2025春•永州期末）利用电磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在xOy坐标系的y轴右侧存在沿y轴负方向的匀强电场，y轴左侧存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为3v0的初速度沿x轴负方向发射，恰好经过坐标原点O进入左侧磁场，再经过M点（未画出）返回y轴右侧。不计带电粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的电场强度的大小为 B．粒子射入磁场时的速度大小为3v0 C．粒子从P点运动到M点的时间为 D．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径为12L 【答案】ACD 【解答】解：A．从P点到O点，粒子做类平抛运动，根据已知条件有水平方向上：2L＝3v0t1 竖直方向上满足： 解得运动的时间，匀强电场的电场强度的大小：，故A正确； B．类平抛运动的加速度为 则 则粒子射入磁场时的速度大小为，故B错误； CD．粒子由电场进入磁场，运动情况如下图 粒子在磁场内做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有： 解得半径满足：，周期满足： 由于 可知θ＝30° 由几何关系可知，粒子在磁场中转过的圆心角为300°，故粒子在磁场中运动的时间 粒子从P点运动到M点的时间为，故CD正确。 故选：ACD。 【变式训练5】（多选）（2025秋•兴庆区校级月考）如图所示，竖直放置间距为d的两平行金属极板间电压为U，在极板右侧Ⅰ、Ⅱ区域有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B0、kB0，Ⅰ区域的匀强磁场的宽度为d，Ⅱ区域的磁场范围足够大。初速度为零的粒子从极板边缘的O点出发，在电场加速后，沿垂直磁感应强度方向进入Ⅰ区域的匀强磁场。已知粒子的质量为m、所带电荷量大小为q，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子在Ⅰ区域的磁场中沿逆时针方向运动 B．当时，粒子不会进入Ⅱ区域的匀强磁场 C．若且时，粒子能够回到出发点O D．粒子从出发到回到出发点O所用总时间的最小值为 【答案】ACD 【解答】解：A．由题意可知粒子带正电，由左手定则可知粒子进入Ⅰ区域磁场时所受洛伦兹力方向沿纸面向上，粒子沿逆时针方向运动，故A正确； B．粒子在电场中加速，由动能定理：， 粒子在Ⅰ区域磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力：， 若粒子不能进入Ⅱ区域，则粒子在Ⅰ区域磁场运动的半径有：r1＜d，解得：，故B错误； C．当时，粒子在电场中加速，由动能定理：， 粒子在Ⅰ区域磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力：， 解得：r′1＝2d； 粒子的运动轨迹如图所示 粒子在Ⅰ区域磁场中运动的偏转角为θ，有：，可得：θ＝30°； 当时，粒子在Ⅱ区域磁场中运动的轨迹半径：，解得：， 由几何关系有：r′1tanθ＝（r′1+r2）sinθ，粒子刚好能够回到出发点O，故C正确； D．满足C中条件粒子返回出发点O的时间最短，由运动过程分析可知粒子在电场中运动的时间：； 粒子在Ⅰ区域磁场中运场中运动的时间：， 粒子在Ⅱ区域磁场中运动的时间：， 所以粒子从出发到回到出发点O所用总时间的最小值为：t＝t电+t磁1+t磁2，解得：，故D正确。 故选：ACD。 【模型三】 粒子由磁场进入电场 【模型剖析】 磁场中：匀速圆周运动；电场中：匀变速直线运动（v与E共线） 磁场中：匀速圆周运动；电场中：类平抛运动（v与E垂直） 【例题精讲】 【例1】（2025•庐阳区校级模拟）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线y＝a的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在x＝﹣a处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从x＝a处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子进入磁场的初速度为 B．矩形匀强电场区域的最小面积为 C．粒子从A点运动到C点的最短时间为 D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为πqBa 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：A.由题意，粒子在磁场中是磁聚焦（磁发散）情景，因此轨迹半径r＝a 由半径公式 解得粒子速度 故A错误； B.所有粒子都以速度v沿y轴正方向进入电场，根据直到减速为0，有v2＝2a's 根据牛顿第二定律qE＝ma' 解得加速度 减速位移 根据磁聚焦（磁发散），所有粒子进入电场的平行宽度为 x＝2a 则矩形电场的最小面积为 故B错误； C.所有粒子在磁场都有两段过程，合起来看都转了半圈，如图 根据周期公式 可知在磁场中的时间均为 根据对称性，所有粒子在电场中从速度v减速为0，再反向加速到v，则在电场中的时间 除了从A点沿x轴正向发射的粒子外，其余粒子都还有在真空区域运动的时间，因此最低按时间为 故C正确； D.所有粒子在磁场两段过程中，合起来转了半圈，速度偏转角为180°，所有粒子在电场中先减速再反向加速，速度偏转角也为180°，因此所有粒子从A到C速度方向不变，且大小也不变。以初速度方向为正方向，根据动量定理I+qEt2＝0 解得洛伦兹力冲量I＝﹣2aBq 则冲量大小为2aBq 故D错误。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•江西模拟）现代科技常使用电场和磁场来控制带电粒子的运动。如图所示，将边长为L的正方形ABCD沿对角线AC分成区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ（包括边界AB、BC）内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ内有方向平行于CD且由C指向D的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电粒于从A点沿AB方向以速率v射入区域Ⅰ，刚好从AC的中点O进入区域Ⅱ，最后恰好打在D点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．电场的电场强度大小为 C．粒子从A点运动到D点的时间为 D．若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子将从AD边的中点射出 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A．根据题意可知，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，进入电场做类平抛运动，画出粒子的轨迹如图所示： 由洛伦兹力提供向心力： 根据几何关系，知： 得： 故A错误； B．进入电场中，根据类平抛运动的规律，有： 联立可得： 故B正确； C．粒子从A点运动到D点的时间：t＝t1+t2 则 故C正确； D．由以上分析可知粒子从AD边射出的位置与A点间的距离： 由此可知，若仅将粒子射入区域Ⅰ时的速率减小为，则粒子不会从AD边的中点射出，故D错误。 故选BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2024秋•西湖区校级期中）电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60° C．电场强度大小为 D．粒子运动过程中最小速度为 【答案】A 【解答】解：AB、由几何关系，可知其轨迹与圆心连线满足如下图示关系： 由图可知：，即α＝60°，由几何关系可知，β＝α﹣30°＝60°﹣30°＝30°，故θ＝180°﹣90°﹣30°＝60°； 可计算其在磁场中运动的半径满足：，即r＝2L， 结合洛伦兹力提供向心力，可计算磁感应强度大小，故A错误，B正确； CD、由粒子在N、P两点的速度大小相等，可知NP连线为等势面，结合电场线与等势线的关系及粒子的初速度，可知其电场线方向； 由OP间距，ON间距，可知其角度关系如图所示： 由图可知：， 由粒子在第一象限的受力特点，可知其在从N到P的过程，沿电场方向做匀变速运动，垂直于电场方向做匀速运动； 垂直于电场方向：xNP＝v0sin30°t，沿电场方向：，。化简得：； 当粒子在沿电场方向减速到0时，速度最小，此时速度为：，故CD正确。 本题选择不正确的，故选：A。 【变式训练2】（多选）（2025•湘西州模拟）粒子以速度水平向左垂直于最右边磁场的进入匀强电、磁场区域，其中磁场方向均垂直于纸面向里，磁感应强度大小均为B，电场方向均沿x轴负方向，电场强度大小均为E，电、磁场区域的宽度均为L。已知粒子的质量为m、电荷量为q（q＞0），虚线边界上有电场（　　） A．粒子出第一个磁场时与水平方向的夹角为45° B．取粒子刚离开匀强电、磁场区域中第一个电场区域时速度与水平方向的夹角为θ2，则 C．粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 D．粒子在第4层磁场中达到轨迹最左端 【答案】BC 【解答】解：A.粒子刚进入第一个磁场时的速度为 粒子在第一个磁场中运动有 解得r1＝2L 则粒子出磁场时与水平方向的夹角为30°。故A错误； BC.则粒子刚进入电场时水平方向的速度为 竖直方向的速度为 由运动学公式得 其中qE＝ma 粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 所以 故BC正确； D.设在第n个磁场中达到轨迹最左端，在竖直方向，以竖直向上的方向为正方向，由动量定理得 因为qBx磁＝mvy 由动能定理得 联立解得 又（n﹣1）L＜x磁＜nL 即 整理得n＝5 故D错误。 故选：BC。 【变式训练3】（多选）（2025•河北）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d，M板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知OQ＝3L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为7L D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【解答】解：A、当发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误； B、随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足v2＝2ad，a，联立解得，E，即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，故B正确； C、设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，由于两板间，电压达到稳定值，电荷量不变，在垂直打入的电荷，不再被金属吸收，两板间的电场强度达到最大、发射方向与OP的夹角θ＝60°时，粒子运动轨迹如图所示： 根据几何关系可得：rcosθ+r＝3L，解得：r＝2L 粒子在N板返回后经过Q后打在M的上表面，则粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为：x＝3L+2r＝3L+2×2L＝7L，故C正确； D、因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，如图所示： 由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为：α＝90°﹣60°＝30° 则在两板间运动时间为：t，其中a是粒子在电场中运动的最大的加速度。 水平位移为：x＝vcosα•t 沿竖直方向进入电场时，有：v2＝2ad 联立解得：xd，故D正确。 故选：BCD。 【变式训练4】（多选）（2025春•濮阳期末）如图所示，xOy平面内第一象限存在垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B，第四象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上P点以速度v0沿与y轴正方向成45°夹角射入磁场，经过x轴上的Q点（未画出）速度方向与x轴负方向成45°夹角进入第四象限，经电场偏转后恰好经过坐标原点O，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．第一象限内磁场方向垂直纸面向里 B．粒子在磁场中的运动时间为 C．粒子在电场中的运动时间为 D．电场强度大小为 【答案】CD 【解答】解：A．带电粒子在磁场、电场中的运动轨迹如图所示： 粒子在电场中沿电场线方向运动，可知粒子带正电，根据左手定则可知，第一象限内磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动时，运动的周期为 粒子在磁场中运动的路程为180°圆弧，则运动时间为，故B错误； C．粒子在第一象限的运动半径为 粒子进入第四象限后做类平抛运动。设运动的时间为t1，沿x轴负方向上的位移为x，则由几何关系可知 粒子沿x轴负方向上的分速度为 粒子在电场中的运动时间为 故C正确； D．粒子在第四象限内运动的加速度大小 由，联立解得 故D正确。 故选：CD。 【变式训练5】（多选）（2025•攀枝花三模）如图所示，正方形abcd区域被MN分为上、下两个矩形，bN＝2d、Nc＝d，MN下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN上方有平行bc边向下的匀强电场。在cd边的中点P处有一粒子源，沿纸面内向磁场中各方向均匀的辐射出速率大小均为v的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在磁场运动的半径为d B．从MN上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d C．匀强电场的场强大小为 D．粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为 【答案】AC 【解答】解：A、根据洛伦兹力提供向心力可得 解得R＝d 故A正确； C、粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，根据动能定理可得 解得 故C正确； B、由数学知识可知，最短弦对应最短的弧长，由图可知 由几何关系可知α＝60° 最短的弧长即最短路程为 故B错误； D、粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域，根据，r＝d 解得 在磁场中，运动时间为 在电场中，根据牛顿第二定律Eq＝ma 根据运动学公式v＝at2 解得 返回磁场之后，粒子在洛伦兹力作用下向右偏转，由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，然后从Nc边飞出abcd区域，则运动时间为 则粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为 故D错误。 故选：AC。 【模型四】交变电磁场 【模型剖析】 解题要点: 1. 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 ①先读图:看清并且明白场的变化情况； ②受力分析:分析粒子在不同的变化场区的受力情况； ③过程分析:分析粒子在不同时间段内的运动情况； ④建立模型:粒子在不同运动阶段,各自对应什么运动模型； ⑤找衔接点:找出衔接相邻两过程的速度大小及方向； ⑥选规律:联立不同阶段的方程求解。 2. 交变场的常见的类型 (1)电场周期性变化,磁场不变。 (2)磁场周期性变化,电场不变。 ( 3 )电场、磁场均周期性变化。 【例题精讲】 【例1】（2025•永州模拟）如图，是交替出现的宽为L的匀强电场和匀强磁场区域，其中编号1、3区域为电场，场强均为E，2、4区域为磁场，场强均为B，方向如图所示。质量为m，带电量为q的正粒子，从1区上边界由静止释放，不计重力。下列说法中正确的是（　　） A．粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL B．粒子从4区下边界穿出后的水平速度一定为 C．粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 D．若粒子恰未从第4场区射出，则需满足 【推理过程】 【答案】A 【解答】解：A、粒子在电场中受电场力加速，电场力做功，磁场中洛伦兹力不做功。粒子经过1、3两个电场区域，电场力做功为2qEL，根据动能定理，合外力做功等于动能变化，初动能为0，所以穿出4区下边界后动能为2qEL。 故A正确； B、由于电场力处于竖直方向，不影响水平方向的速度，则粒子从静止释放到从4区下边界穿出，设向右为正方向，水平方向根据动量定理可得∑F洛xt＝mvx﹣0 其中∑F洛xt＝∑qvyBt＝qB∑vyt＝qB•2L 联立可得粒子从4区下边界穿出后的水平速度为 故B错误； C、由于洛伦兹力总是不做功，粒子从静止释放到从4区下边界穿出，根据动能定理可得 可知粒子从4区下边界穿出后的动能一定为2qEL，粒子从4区下边界穿出后的速度大小为 则粒子从4区下边界穿出时的速度与水平方向夹角的余弦为 故C错误； D、若粒子恰未从第4场区射出，粒子达到4区下边界的竖直分速度刚好为0，则有 解得 故D错误。 故选：A。 【例2】（多选）（2025秋•中山区校级期中）两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t＝0时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知，且，两板间距为，下列说法正确的是（　　） A．粒子在t0时刻的动能为 B．粒子在时间内的速度变化量大小为 C．粒子在2t0～3t0时间内做匀加速直线运动 D．粒子在极板间运动的最大位移大小为 【推理过程】 【答案】ACD 【解答】解：0～t0时间内带电粒子做匀加速直线运动， 根据牛顿第二定律以及运动学公式有 故粒子在t0时刻的动能为 t0～时间段内，带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动，故运动半径满足 运动周期满足 时粒子的速度方向水平，故t0～时间段内的速度变化量大小为 ～2t0时间段内，磁场方向改变，带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动，2t0时粒子运动方向竖直向上。 2t0～3t0带电粒子向上做匀加速直线运动 3t0～、～4t0带电粒子做圆周运动，此时运动半径为 两板间距为，故粒子在极板间的运动轨迹如图所示 当粒子到达对面极板时的水平位移为 故粒子在极板间运动的最大位移大小为 故ACD正确，B错误。 故选：ACD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•沙坪坝区校级模拟）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，t＝0时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在x＜﹣R范围内存在竖直向下的匀强电场，在x＞R范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为（﹣R，0），一质量为m、带电量为+q的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到（R，0）位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从（R，0）位置进入磁场中，不计粒子重力，则（　　） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为vT+πR D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为vT+2πR 【答案】D 【解答】解：AB.粒子经过T时间到达（R，0）位置，由此可知，粒子在磁场中的圆周运动的半径 由 解得 粒子进入匀强电场中先匀减速运动，后匀加速运动，运动过程中加速度不变，故由动量定理可知： ﹣qET＝﹣mv﹣mv 解得 磁场的大小和电场的大小的比值为 故AB错误； CD.粒子运动一个周期需要在磁场中完成4个半圆，在电场中完成两个匀减速和两个匀加速运动，在电场中匀加速运动的过程中，由动能定理可得： 解得 半个圆周运动的路程 故一个周期运动的轨迹长度 Δx＝4x1+4s＝vT+2πR 故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练2】（2024春•江北区校级月考）如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子（质量为m、电荷量为q、不计重力）从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【解答】解：电场中加速过程，根据动能定理得 得 粒子在两磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得 画出粒子的运动轨迹，如图所示，三段圆弧的圆心构成的三角形是等边三角形，边长为2r；故中间磁场的宽度为 粒子在电场中做匀变速直线运动，加速阶段由运动学公式 根据牛顿第二定律得 解得 在中间磁场中所用时间 在右侧磁场中的运动时间 总时间为t＝2t1+t2+t3 解得 故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式训练3】（多选）（2025•河南模拟）某种离子测量简化装置如图所示，方向均垂直纸面向里的磁场区域Ⅰ、Ⅱ，两匀强磁场边界直线MN、PQ平行且相距L，磁场Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小之比为3：5，磁场之间有水平向右的匀强电场，自MN上S点水平向左射出一带正电粒子甲，甲在电、磁场中形成轨迹封闭的周期性运动，较长时间后撤去该粒子，又在S点竖直向下往电场内射出另一个相同粒子乙，也可形成轨迹封闭的周期性运动。粒子电荷量为q、质量为m，不计重力，两粒子射出的初速度大小均为v0。sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．甲粒子在匀强电场中向右运动过程中动能的增加量为 B．匀强电场的电场强度的大小为 C．甲、乙两粒子做周期性运动的运动周期相同 D．粒子乙在磁场Ⅱ中运动轨迹的长度为 【答案】ABD 【解答】解：A、甲粒子在磁场Ⅱ中的运动速率v，运动轨迹如图， 在两磁场中运动半径相等：r1＝r2 依据牛顿第二定律得： 变形解得： 从而可得进入碰撞的速度之比： 则甲粒子在电场中动能的增加量为：，故A正确； B、由动能定理可得： 变形解得：，故B正确； D、粒子乙运动轨迹如图， 在磁场Ⅱ中速率与甲相同，速度v与竖直方向夹角为θ，轨迹圆半径为r，则：有vcosθ＝v0 沿电场线方向有：， 沿v0方向有：v0t1＝rsinθ 联立解得：，θ＝53° 则粒子乙在磁场Ⅱ中运动轨迹的长度为： 代入数据得：，故D正确； C、依题意，由运动学规律可得：，， 在电场中的时间满足：v0t1＝rsinθ， 乙粒子在Ⅱ磁场中运动时间： 所以乙粒子运动周期： 由上述结论：B1：B2＝3：5 可得： 甲在Ⅰ磁场运动时间： 甲在Ⅱ磁场运动时间： 甲在电场中运动时间： 所以甲粒子的运动周期：，故C错误。 故选：ABD。 一．选择题（共8小题） 1．（2025•东丽区校级二模）如图所示，在Oxy坐标系内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，两极板间存在平行于y轴的匀强电场。第一四象限有匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里。一个质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的初速度v0沿x轴正方向射入电场。经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次进入电场。则（　　） A．极板P带正电 B．粒子进入磁场时速度方向与y轴夹角为60° C．匀强磁场磁感应强度大小为 D．粒子最终离开电场时速度大小为v0 【答案】A 【解答】解：由题意可知当粒子在磁场运动轨迹如下图所示： A、电量为+q的带电粒子向下偏转，则上极板P带正电，故A正确； C、设粒子进入磁场的速度为v，v，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，qvB＝m，r，解得：B，故C错误； B、带电粒子贴着下极板进入磁场，设进入磁场的方向与水平方向夹角为θ，粒子水平方向做匀速直线运动则有l＝v0t，竖直方向匀加速直线运动，则有，t，解得：vx＝vy，tanθ1，θ＝45°，故B错误； D：带电粒子从上级板再次进入电场，受电场力向下，再次加速，故出电场的速度一定大于v0，故D错误。 故选：A。 2．（2025春•曹县校级期末）图是某种同步加速器的原理图。直线通道PQ有电势差为U的加速电场，通道转角处有可调的匀强偏转磁场B。电量为+q，质量为m的带电粒子以速度v0进入加速电场，而后可以在通道中循环加速。带电粒子在偏转磁场中运动的半径为R。忽略相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里 B．加速一次后，带电粒子的动能增量为2qU C．加速k次后，带电粒子的动能增量为 D．加速k次后，偏转磁场的磁感应强度为 【答案】D 【解答】解：A、直线通道PQ有电势差为U的加速电场，因粒子带正电，则粒子运动方向为P→Q。粒子在偏转磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可知洛伦兹力指向装置中心，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A错误； BC、由动能定理可知，加速一次后，电场力做功为qU，带电粒子的动能增量为qU。因洛伦兹力不做功，故加速k次后，带电粒子的动能增量为kqU，故BC错误； D、加速k次后，由动能定理有 解得 粒子在偏转磁场中运动的半径为R，则根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得，故D正确。 故选：D。 3．（2024秋•阳江期末）一个粒子源发出很多种带电粒子，经速度选择器后仅有甲、乙、丙、丁四种粒子沿平行于纸面的水平直线穿过竖直挡板MN上的小孔O，它们之后进入正方形虚线框内，虚线框内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，四种粒子的运动轨迹如图所示，不计粒子所受的重力，下列说法正确的是（　　） A．甲粒子的速率大于乙粒子的速率 B．丙、丁粒子均带正电 C．速度选择器中磁场方向垂直纸面向里 D．甲、乙、丙、丁四种粒子中，丙粒子的比荷最大 【答案】C 【解答】解：A、粒子在速度选择器中做匀速直线运动，由平衡条件得：qvB＝qE 解得通过速度选择器的粒子的速度大小均为 甲、乙、丙、丁粒子的速率都相等，故A错误； B、由图示可知，丙、丁粒子在磁场中向下偏转，粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力竖直向下，由左手定则可知，丙，丁粒子均带负电，故B错误； C、由图示可知，速度选择器中电场方向竖直向下，带正电的粒子受到的电场力方向向下，粒子匀速通过速度选择器，受到的洛伦兹力与电场力是一对平衡力，则带正电的粒子所受洛伦兹力方向竖直向上，由左手定则可知，速度选择器中磁场方向垂直纸面向里，故C正确； D、粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得： 粒子的比荷 v与B'都相等，由图示粒子运动轨迹可知，丙粒子的轨道半径r最大，则丙粒子的比荷最小，故D错误。 故选：C。 4．（2025春•厦门校级月考）如图所示，某质谱仪由电压为U的加速电场，半径为R且圆弧中心线（虚线所示）处电场强度大小为E的均匀辐射电场和磁感应强度为B的半圆形磁分析器组成。质量为m、电荷量为q的正电粒子（不计重力）从M板由静止加速后，沿圆弧中心线经过辐射电场，再从P点垂直磁场边界进入磁分析器后打在胶片上Q点。下列说法正确的是（　　） A．辐射电场中，沿电场线方向电场减弱 B．加速电压 C．辐射电场的电场力对该粒子做正功 D．P点与Q点的距离为 【答案】B 【解答】解：A、辐射电场中，沿电场线方向，电场线逐渐变密，故电场是增强的，故A错误； C、指向圆心的电场力提供向心力，电场力与速度垂直，对该粒子不做功，故C错误； B、在加速电场中，由动能定理有 在偏转电场中，满足 解得 故B正确； D、带电粒子在匀强磁场中运动时，根据 解得 故D错误。 故选：B。 5．（2025春•苏州校级月考）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P点，产生X射线。已知MN间的电压为U，磁场的宽度为d，电子的比荷为k，电子离开磁场时的速度偏转角为θ，偏转磁场的磁感应强度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：电子在加速电场中，根据动能定理有 电子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系有rsinθ＝d 洛伦兹力提供向心力有 根据题意有比荷 联立解得 故A正确，BCD错误。 故选A。 6．（2025春•张家港市校级月考）洛伦兹力演示仪的实物图和原理图分别如图（a）图（b）所示。电子束从电子枪向右水平射出，使玻璃泡中的稀薄气体发光，从而显示电子的运动轨迹。调节加速极电压可改变电子速度大小，调节励磁线圈电流可改变磁感应强度，某次实验，观察到电子束打在图（b）中的P点。下列说法正确的是（　　） A．两个励磁线圈中的电流均为顺时针方向 B．当减小励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹 C．当减小加速极电压时，电子可能出现完整的圆形轨迹 D．在出现完整轨迹后，增大加速极电压，电子在磁场中圆周运动的周期变大 【答案】C 【解答】解：A．磁场方向向外，由右手螺旋定则可知两个励磁线圈中的电流均为逆时针方向，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力，电子轨迹半径满足：知B增大，r减小，所以当加大励磁线圈电流时，电子可能出现完整的圆形轨迹励磁线圈，故B错误； CD．由动能定理，以及洛伦兹力提供向心力可得： ， 知U减小，v减小，r减小，所以当减小加速极电压时，电子可能出现完整的圆形轨迹； 在出现完整轨迹后，增大加速极电压，电子仍做完整的圆周运动，由知电子在磁场中圆周运动的周期恒定，故C正确；D错误。 故选：C。 7．（2024春•河东区期中）如图所示，三个同心圆a、b、c的半径分别为r、2r、，在圆a区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1。在圆a和圆b间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b和圆c间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从圆a边界上的A点沿半径方向以速度v0射入圆a内，第一次从圆a边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆c飞离磁场。已知磁感应强度，不计粒子的重力.则粒子在圆a内磁场中和圆c与圆b两边界间磁场中做圆周运动半径之比（　　） A．3：2 B．2：3 C． D． 【答案】A 【解答】解：粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有 所以 故BCD错误，A正确。 故选：A。 8．（2023秋•西岗区校级月考）如图所示，在第一象限内有水平向右的匀强电场，电场强度大小。在第四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在该平面内有一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点以初速度v0沿y轴负方向射出，P点的坐标为，粒子恰好能打到y轴上，不考虑粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度B的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：画出粒子的轨迹如下图所示， 粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴负方向做匀速直线运动，有： 沿x轴正方向做匀加速直线运动，加速度： 则沿x轴正方向的位移：x 代入得到：x＝d 设射出电场时粒子的速度v方向与初速度v0方向的夹角为θ，根据类平抛运动的推论得： 则可以求得：θ＝60° 所以进入磁场的速度： 粒子在磁场中做匀速圆周运动，恰好打到y轴上时，轨迹与y轴相切，设粒子轨迹半径为r， 根据几何关系得：r+rcos60°＝2d+x 解得：r＝2d 粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有： 解得：，故ABD错误，C正确。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•成都期中）利用电场可使带电粒子加速或偏转，据此在多个领域加以应用。如图为装置竖直截面图，足够长的平行极板N和荧光屏M之间有平行于极板N的匀强电场，在极板N上有一小孔O，在极板N右侧有以O孔为圆心，半径分别为R和2R的弧形极板，其间有辐状电场，两弧形极板在垂直于荧光屏M的O1O延长线上有两小孔O2、O3，现有电荷量相同、质量分别为m1和m2（且m1＞m2）的粒子1、2从O3孔无初速度进入辐状电场。不计空气阻力、粒子重力及之间的相互作用，粒子的电荷量小，不影响原电场。下列说法正确的是（　　） A．粒子1、2从O3孔运动到O孔用时相等 B．粒子1、2进入O孔时的速率之比为 C．粒子1、2通过匀强电场的过程中，动量的变化量大小之比为 D．粒子1、2打在荧光屏上的位置与O1点的距离之比为1：1 【答案】BD 【解答】解：A.在辐状电场中，粒子做加速运动，根据动能 定理（U为辐状电场的电势差） 可得粒子进入O孔时的速率v＝ 粒子在辐状电场中的运动时间，由于辐状电场中电场力方向与运动方向一致，粒子做初速度为零的匀加速直线运动v平均＝ s为运动的路程（这里为弧形轨道的长度，与半径有关，两粒子运动路程相同） 将代入 可得 因为m1＞m2 所以粒子1、2从 O3孔运动到O孔用时不相等，故A错误； B.由动能定理 可得 则粒子1、2进入O孔时的速率之比为 故B正确； C.粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向 L＝vt（L为MN间的距离） 竖直方向a＝ ，vy＝at 动量的变化量Δp＝mvy 代入可得 所以粒子1、2通过匀强电场的过程中，动量的变化量大小之比为 故C错误； D.粒子在匀强电场中做类平抛运动，偏转位移 又因为 则 即偏转位移与粒子质量无关，所以粒子1、2打在荧光屏上的位置与O1点的距离之比为1：1 故D正确； 故选：BD。 （多选）10．（2025春•昆明期末）如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，y＞0的区域内有沿y轴负方向的匀强电场，y＜0的区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。t＝0时，带正电的粒子从坐标原点O以大小为的初速度射入第一象限，其速率v随时间t变化的关系如图乙所示，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子从O点射出时速度与x轴正方向的夹角为45° B．0～t0与t0～2t0时间内，粒子运动的位移大小相等 C．电场强度大小与磁感应强度大小之比为 D．3t0时刻粒子所在位置的横坐标为 【答案】AD 【解答】解：A、粒子在电场中做类斜抛运动，根据图乙可知，最小速度为v0，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做双向匀变速直线运动，令粒子从O点射出时速度与x轴正方向的夹角为θ，则有 解得θ＝45°，故A正确； BC、结合上述，0～t0时间内，粒子在电场中有x1＝v0t0， 解得 粒子在磁场中有， 由于θ＝45°，根据左手定则与几何关系可知，粒子在磁场中轨迹为四分之三圆周，即磁场中运动t0～2t0时间内，粒子运动位移大小 运动时间 解得， 可知，0～t0与t0～2t0时间内，粒子运动的位移大小不相等 结合上述有，故BC错误； D、根据运动的周期性可知，3t0时刻粒子所在位置的横坐标为x＝x1﹣x2+x1 结合上述解得，故D正确。 故选：AD。 （多选）11．（2025•广西模拟）如图所示，直角坐标系xOy的x轴上方存在匀强磁场和匀强电场，y轴是磁场和电场的分界线，磁场方向垂直xOy平面向外，电场方向与y轴平行，指向y轴负方向，M、P两点的坐标为M（0，L）、P（﹣2L，0）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速度v0从P点射入电场，经电场偏转后从M点垂直于y轴进入磁场，然后从x轴上的N点离开磁场。已知粒子到达N点时与x轴负方向的夹角为60°，粒子的重力不计。下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．匀强电场的场强大小为 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 【答案】AD 【解答】解：AB、设P点粒子入射时水平方向和竖直方向的速度分别为vx，vy，到M点时水平入射，则竖直速度为0，只剩下水平速度。设粒子从P到M的时间为t，电场产生的加速度为a。由分运动规律有vy＝at vxt＝2L 可得vx＝vy 即入射角为45°，在M点速度为vx，代入上面式子得 由牛顿第二定律得Eq＝ma 解得，故A正确，B错误； CD、粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示。 设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，根据几何关系可知R+Rcos60°＝L 可得 根据洛伦兹力提供向心力，有 其中v＝vx， 解得，故C错误，D正确。 故选：AD。 三．解答题（共3小题） 12．（2024秋•北碚区校级期末）如图所示，PQ、MN之间存在场强为E的匀强电场，MN的上方有垂直纸面向里匀强磁场。一带正电粒子从O点沿x轴正方向以速度v0进入电场，然后从a点进入磁场，在磁场中运动后再从b点进入电场。已知a点坐标为，b点坐标为，粒子所受重力不计。求： （1）粒子的比荷； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从O出发到第二次经过a点所用的时间。 【答案】（1）粒子的比荷。 （2）磁感应强度B的大小为。 （3）粒子从O出发到第二次经过a点所用的时间为。 【解答】解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿电场方向有，垂直电场方向有l＝v0t。根据牛顿第二定律qE＝ma，联立解得。 （2）粒子进入磁场时的速度，与水平方向夹角的正切值，解得θ＝60°。粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径设为R，则。由几何关系得，联立解得。 （3）粒子经过b点时速度方向与x轴正方向夹角为60°，则从a点运动到b点的时间为。粒子从b点进入电场后运动到c点，在y轴方向有vsinθ＝at，在x轴方向有l＝v0t，由几何关系得。此后运动轨迹向右平移，故粒子从O出发到第二次经过a点所用时间为。 答：（1）粒子的比荷。 （2）磁感应强度B的大小为。 （3）粒子从O出发到第二次经过a点所用的时间为。 13．（2025秋•洛阳期中）如图所示，x轴上方存在大小为E、方向竖直向上的匀强电场，x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场。有一个带负电的粒子，电荷量为﹣q，质量为m，从y轴上的P点，以速度v0沿x轴正方向射入第一象限，经过x轴上的A点后进入第四象限的磁场，进入磁场时速度方向与x轴正方向成30°角，仍点O又进入第一象限，之后经过x轴上的（未画出）再次进入磁场中，不计粒子的重力。 （1）粒子进入磁场时的速度大小； （2）O点到D点的距离、匀强磁场磁感应强度B的大小。 【答案】（1）粒子进入磁场时的速度大小为； （2）O点到D点的距离、匀强磁场磁感应强度B的大小为。 【解答】解：（1）质点的运动轨迹如图所示 粒子进入磁场速度大小 得 （2）粒子从P点到A点做类平抛运动qE＝ma 则xOA＝v0t1 联立解得 由斜上抛的对称性知，O点到D点的距离为xOD＝2xOA 得 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则2Rsin30°＝xOA 得 有洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力 得 代入数据得： 答：（1）粒子进入磁场时的速度大小为； （2）O点到D点的距离、匀强磁场磁感应强度B的大小为。 14．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，xOy平面直角坐标系中第一、二象限存在平行于纸面的匀强电场E0（未画出），第四象限交替分布着沿﹣y方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为B、2B、3B……，其中。一质量为m、电量为+q的粒子从点M（﹣L，0）以平行于y轴的初速度v0进入第二象限，恰好从y轴上的N点以v0垂直y轴进入第一象限。不计粒子重力，求： （1）电场强度E0； （2）粒子在第四象限中第一次进入磁场时的速度大小； （3）粒子在第四象限中到达第几个磁场时，速度与x轴平行。 【答案】（1）电场强度的大小为，方向与水平成45°指向右下方； （2）粒子在第四象限中第一次进入磁场时的速度大小为； （3）粒子在第四象限中到达第7个磁场时，速度与x轴平行。 【解答】解：（1）设粒子在第二象限运动的时间为t，水平加速度为ax，竖直加速度为ay，则有 解得： 其方向与水平成45°指向右下方。 （2）粒子在竖直方向做类竖直上抛，在一、二象限中时间相同，则刚进入第四象限时，水平速度大小为：vx＝2v0，方向水平向右； 竖直速度为：vy＝v0，方向竖直向下； 则刚进入第四象限时速度大小为： 设穿过x轴下方第一个电场后的速度为v1，有 解得： （3）粒子到达x轴最远距离时，速度方向平行于x方向，只要能进入下一个电场，就有y方向的速度，由此可知粒子离x轴最远时一定处于第n个磁场中，此前粒子已经过n个电场，设此时粒子速度大小为vn。 由动能定理有： 解得： 粒子每经过一个电场加速后就进入下一个磁场，则通过第i个磁场的过程中，设粒子进入第i个磁场时速度方向与水平方向的夹角为αi，以水平向右的方向为正方向，在水平方向上，由动量定理有 iBqL＝mΔvαi 所以从进入第四象限开始到最后一个磁场，若刚好到第n个磁场下边缘，则有 mvnx﹣m×2v0＝（1+2+3+•••+n）BqL 而vnx＝vn 联立解得 当n＝6时， 当n＝7时， 可知粒子在第7个磁场中出现速度水平的情况。 答：（1）电场强度的大小为，方向与水平成45°指向右下方； （2）粒子在第四象限中第一次进入磁场时的速度大小为； （3）粒子在第四象限中到达第7个磁场时，速度与x轴平行。 学科网（北京）股份有限公司 $