第八章 实数 专题一平方根立方根2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章《实数》专题一平方根与立方根 姓名： 班级： 题型1 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1. 计算：_____；______；______；=______；＝______；＝____；=_____； _____； 2.计算：的立方根是______；0.25的算术平方根是_____；的平方根是______； 的平方根是______；的平方根是_______；的平方根 ； 的平方根是_______；的立方根是________。 3．下列语句中：（1）16的平方根是4；（2）的平方根是；（3）；（4）125的立方根是；（5）是2的平方根，正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.下列各式中，正确的是（       ） A． B． C． D． 5.下列说法正确的是（   ）． A．是的平方根 B．2是的算术平方根 C． 的平方根是2 D．8的立方根是 题型2 已知一个数的平方根、算术平方根、立方根，求这个数 6．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 7．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________ 8. 与是一个正数的平方根，则这个正数的算术平方根是______． 9. 已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 10. 已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 题型3 利用算术平方根的非负性解题 11．若，则的值是______． 12．若，则 ____________． 13．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型4 解平方方程、立方方程 14. （1）； （2）； （3）． （4） ； （5）． （6） （7） ． （8） 题型5 算术平方根、立方根的估算 15．若为正整数，且满足，则________． 16．若，则整数的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 17．的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 18．宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（    ） A．0到之间 B．到1之间 C．1到之间 D．到2之间 题型6 算术平方根、立方根的规律探索 19．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 20．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 21．（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 题型7 平方根、立方根的实际应用与综合 22．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 23．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是__________． 24．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 25．如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 26．观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 27．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《实数》专题一平方根与立方根 姓名： 班级： 题型1 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1. 计算：__2___；______；______；=___5___；＝______；＝__8__；=_____； __0.2___； 2.计算：的立方根是______；0.25的算术平方根是__0.5___；的平方根是______； 的平方根是______；的平方根是_______；的平方根 ； 的平方根是________；的立方根是____2____。 3．下列语句中：（1）16的平方根是4；（2）的平方根是；（3）；（4）125的立方根是；（5）是2的平方根，正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 4.下列各式中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 5.下列说法正确的是（   ）． A．是的平方根 B．2是的算术平方根 C． 的平方根是2 D．8的立方根是 【答案】B 题型2 已知一个数的平方根、算术平方根、立方根，求这个数 6．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 【答案】 7．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________ 【答案】 8. 与是一个正数的平方根，则这个正数的算术平方根是______． 【答案】或 9．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 10．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 题型3 利用算术平方根的非负性解题 11．若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“几个非负数的和为，则这几个数一定为”求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值是． 12．若，则 ____________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出a，b的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：， ，． 解得，． ． 13．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 题型4 解平方方程、立方方程 14. （1）； （2）； （3）． 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】先化简成的形式，再根据一个正数的平方根有两个且互为相反数求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴ （2）解：， ； （3）解： ∴或， 解得或． （4）；（5）．（6） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据平方根和立方根的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：移项得： 开平方得：， 即或； （2）移项得：， 两边同时除以得：， 开立方得：， 解得：． （7）． （8） 【答案】(1)或 (2) 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义:若，则． 【详解】（1）解： ， ∴或 ； （2）解：， ， ， ∴． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先移项，再整体开平方运算即可； （2）先移项，再整体开立方运算即可； 【详解】（1） 解： 或 （2） 解： 题型5 算术平方根、立方根的估算 15．若为正整数，且满足，则________． 【答案】6 【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 16．若，则整数的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】结合整数平方的计算估算算术平方根的范围，即可得到整数a的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵是整数， ∴． 17．的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：C． 18．宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（    ） A．0到之间 B．到1之间 C．1到之间 D．到2之间 【答案】B 【分析】先由得到，再由不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ， ． 题型6 算术平方根、立方根的规律探索 19．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 20．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 21．（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键． （1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解； （2）将写成，写成，结合，，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 题型7 平方根、立方根的实际应用与综合 22．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 23．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是__________． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键．根据小正方形的面积，求出正方形的面积，再根据算术平方根定义，求出结果即可． 【详解】解：分割图形如下： 这个正方形的面积为：， 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 24．有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________． 【答案】2 【分析】先根据正方体的体积求出原棱长和扩容后的棱长，再计算棱长的差值即可得到结果． 【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为． 原正方体体积为． ． 设扩容后正方体的棱长为，扩容后体积为． ． 棱长增加量为． 25．如图1，把一个面积为大正方形纸片沿对角线裁成四个三角形，然后再把这四个三角形拼成如图2所示的两个相同的小正方形． (1)直接写出小正方形的边长为___________； (2)小明要在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，问能否成功，试说明理由． 【答案】(1)10； (2)能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形的性质，长方形的性质，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． (1)利用正方形的性质和算术平方根的意义解答即可； (2)设长方形的长宽分别为，，长方形的面积公式和算术平方根的意义求得长方形的长，再与小正方形的边长作比较即可． 【详解】（1）解∶面积为大正方形拼成如图2所示的两个相同的小正方形，每个小正方形的面积为， 小正方形的边长为． 故答案为∶10； （2）解：在一个小正方形中沿边的方向裁出一个面积为的长方形，使它的长宽之比为，能成功． 理由∶依题意设长方形的长、宽分别为，， 则， 即， 解得（不符合题意，舍去），， 则长方形的长、宽分别为， ， 即， 小明可以剪出这样的长方形． 26．观察例题：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【答案】（1）1；（2）±4 【分析】（1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1） 即 ， 的整数部分为1，小数部分为，的小数部分是， ， ； （2） 即 的整数部分为1，的小数部分为 ， ， 的平方根为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． 27．（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 【答案】（1）；（2）①5，② 【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可； （2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可； ②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 因为， 所以， 因此． （2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24， 所以， 所以， 所以5； 故答案为：5； ②因为， 所以， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $