精品解析：2026年山西省太原市小店区中考名校模拟（3月）一模数学试题

2026年中考名校模拟（3月） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中最小是（ ） A. B. C. D. 1 2. 某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（ ） A. 只抽取社区内60岁以上的老年居民 B. 随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C. 在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D. 将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 方斗承礼，竹韵传心．某非遗工坊以传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”．如图，该收纳斗的形状可抽象为无上底面的正四棱台（上底面为大正方形，下底面为小正方形，侧面为等腰梯形），无额外底座，整体简约雅致．则这个正四棱台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，于点D，以点A为圆心，为半径画弧，分别交，于点E，F，连接，，过点D作于点G，以点D为圆心，为半径画弧交于点H，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为________（用含n的式子表示） 13. “唱游山西”是2026年山西文旅集团打造深度融合文旅产品，包括“晋揽长城 边塞风情”“穿越黄河 文明探源”“大美太行 红色记忆”三大主题．下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相同）．现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是________． 14. 为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 15. 在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，两点，直线交y轴于点． （1）求k，b的值； （2）过点A作轴于点D，已知点D的坐标为，直接写出此时的面积． 18. 随着“人工智能+”的逐步拓展，工具越来越多的渗透到学生学习的各个领域．为了解工具对学生学习生活的影响，某校对该校各年级学生进行了题为“对中学生学习生活影响”的调查问卷，并从参与调查的学生中随机抽取若干同学的调查结果进行整理和分析． 对中学生学习生活影响 亲爱的同学：你好！本次问卷旨在了解工具对你学习生活的影响，共5道题，每题满分20分，总分100分，请根据你的真实情况打分（0-20分，分数越高代表符合程度/影响程度越高），感谢你的配合！ 1．你日常使用工具辅助学习（如答疑、整理知识点、写作辅助等）的频率有多高？ 2．工具对你解决学科难题、提升学习效率的帮助程度有多大？ 3．你认为使用学习，对帮助你学会思考的作用有多大？ 4．工具占用你课后自主学习、运动、社交等时间程度有多高？ 5．你对合理使用、避免过度依赖工具的自我约束和管控能力有多强？ 你的总分是________分 数据收集与整理：评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理（A：；B：；C：；D：；E：），并绘制统计图，部分信息如下： 数据分析：请根据以上信息，完成下列问题： （1）计算：本次抽样调查共抽取________人，并补全频数直方图； （2）被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在________组； （3）研究表明学生评价的平均分高于75分时，可认定为工具对于该群体学生学习有积极影响．若分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，请通过计算分析工具对于该校学生是否有积极影响． 19. 2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 20. 项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 22. 综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF中点M处，求该弹力球的恢复系数； （3）在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． （1）初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； （2）深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； （3）保持（2）中矩形的形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考名校模拟（3月） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的是． 2. 某人工智能创新实验室正在征集实验室的专属徽章设计，要求徽章图案兼具科技感与对称美感．以下四款候选图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（ ） A. 只抽取社区内60岁以上老年居民 B. 随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C. 在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D. 将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不具有普遍性，故本选项不符合题意； B、不具有普遍性，故本选项不符合题意； C、不具有普遍性，故本选项不符合题意； D、该抽样调查的方式合适，故本选项符合题意； 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂运算的相关法则，分别利用同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，分式乘方，同底数幂除法的法则计算各选项，即可判断正误． 【详解】解：对于选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误，不符合题意； 对于选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故B错误，不符合题意； 对于选项C：∵分式乘方时，分子分母分别乘方，结合积的乘方法则可得， ∴，等式成立，故C正确，符合题意； 对于选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D错误，不符合题意． 故选C． 5. 方斗承礼，竹韵传心．某非遗工坊以传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”．如图，该收纳斗的形状可抽象为无上底面的正四棱台（上底面为大正方形，下底面为小正方形，侧面为等腰梯形），无额外底座，整体简约雅致．则这个正四棱台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得答案． 【详解】解：从上面看的图形是一个正方形，该正方形的中间还有一个正方形，且两个正方形的对应顶点之间有实线连接，即看到的图形如下： ． 6. 不等式组解集在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把不等式组的解集在数轴上表示出来，如图： 7. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据设出的未知数表示出星际穿越票的单价，再分别求出两种票可购买的数量，最后根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设火星漫步票的单价为元，则星际穿越票单价为元， ∵总费用为元， ∴可购买火星漫步票数量为张，可购买星际穿越票数量为张， ∵购买的星际穿越票比火星漫步票少张， ∴． 9. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据旋转角相等可知，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转可知，，，， ， ， ， ， ， ． 10. 在中，，，于点D，以点A为圆心，为半径画弧，分别交，于点E，F，连接，，过点D作于点G，以点D为圆心，为半径画弧交于点H，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由等腰三角形三线合一得 ，在中，解直角三角形求出，在中，求出​，，根据作图可知，再求出，在四边形中，求出，根据题意可得，求出​， ，再根据​求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由等腰三角形三线合一得： ， 在中，， 又， 在中，​，， 根据作图可知，且点H在上， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，， ∴， 根据题意可得， ∴​ ，  ， ∴​． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为________（用含n的式子表示） 【答案】 【解析】 【详解】解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个． 13. “唱游山西”是2026年山西文旅集团打造的深度融合文旅产品，包括“晋揽长城 边塞风情”“穿越黄河 文明探源”“大美太行 红色记忆”三大主题．下面是某旅行社设计的三大主题宣传卡（除正面图案外完全相同）．现将三张卡片放在不透明信封中，甲先从中随机抽取一张，不放回；乙再从中随机抽取一张，则两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况有6种，其中符合条件的情况有2种， ∴两人抽到的卡片都不是“长城”主题的概率是． 14. 为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 【答案】8 【解析】 【分析】利用待定系数法求出 实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， 根据题意得该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∵实验室湿度不得低于， ∴， 当时，x取得最大值， 此时， 解得：， 即该日这台除湿机开机后最多可连续工作8小时． 15. 在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出相等的线段，利用面积法求出，，借助相似三角形得出，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵是边的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 由勾股定理得，， ， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂和有理数的减法、乘法法则计算，最后计算加减法即可得到答案； （2）利用加减消元法或代入消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：， 方法1：，得③， ，得，解得． 把代入①，得． 所以方程组的解是． 方法2：由①得：③， 把③代入②得：④，解得：， 把代入③得：． 所以方程组的解是． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于A，两点，直线交y轴于点． （1）求k，b的值； （2）过点A作轴于点D，已知点D的坐标为，直接写出此时的面积． 【答案】（1）， （2）12 【解析】 【分析】（1）把点代入，可求出一次函数的解析式，再把点代入，可求出点B的坐标，即可求解； （2）求出点A的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得： ， ∴点， 把点代入得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵轴于点D，点D的坐标为， ∴点A的横坐标为2， 把代入得：， ∴点，即， ∵点， ∴的面积为． 18. 随着“人工智能+”的逐步拓展，工具越来越多的渗透到学生学习的各个领域．为了解工具对学生学习生活的影响，某校对该校各年级学生进行了题为“对中学生学习生活影响”的调查问卷，并从参与调查的学生中随机抽取若干同学的调查结果进行整理和分析． 对中学生学习生活影响 亲爱的同学：你好！本次问卷旨在了解工具对你学习生活的影响，共5道题，每题满分20分，总分100分，请根据你的真实情况打分（0-20分，分数越高代表符合程度/影响程度越高），感谢你的配合！ 1．你日常使用工具辅助学习（如答疑、整理知识点、写作辅助等）的频率有多高？ 2．工具对你解决学科难题、提升学习效率的帮助程度有多大？ 3．你认为使用学习，对帮助你学会思考的作用有多大？ 4．工具占用你课后自主学习、运动、社交等时间程度有多高？ 5．你对合理使用、避免过度依赖工具的自我约束和管控能力有多强？ 你的总分是________分 数据收集与整理：评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理（A：；B：；C：；D：；E：），并绘制统计图，部分信息如下： 数据分析：请根据以上信息，完成下列问题： （1）计算：本次抽样调查共抽取________人，并补全频数直方图； （2）被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在________组； （3）研究表明学生评价的平均分高于75分时，可认定为工具对于该群体学生学习有积极影响．若分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，请通过计算分析工具对于该校学生是否有积极影响． 【答案】（1）120，图见解析 （2）D （3）工具对于该校学生未产生积极影响． 【解析】 【分析】（1）用E组频数除以其所占的百分比可得到本次抽样调查的总人数，从而得到D组，B组的频数，即可求解； （2）根据中位数的定义解得即可； （3）求出这五组评分的平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查共抽取人， ∴D组的频数为 ∴B组的频数为， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：A，B，C组的频数之和为，A，B，C，D组的频数之和为， ∴被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在D组； 【小问3详解】 解：分． ， 工具对于该校学生未产生积极影响． 19. 2026年央视总台春晚由人形机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，在除夕夜掀起了一阵“科技+传统”的视觉风暴．据了解，某科技公司2023年人形机器人项目营业收入2400万元，经过连续两年的增长，2025年全年该项目营业收入达到4704万元，请根据以上信息求出该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率，并预测2026年该公司的此项目营业收入（单位：万元，结果保留整数）． 【答案】该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 【解析】 【分析】设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x，根据2023年和2025年的项目营业收入建立方程求解即可． 【详解】解：设该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为x． 根据题意得． 解得，（舍去）． ∴该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为， （万元）． 答：该公司人形机器人项目营业收入的年平均增长率为，预测2026年该公司的人形机器人项目营业收入约为6586万元． 20. 项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】28米 【解析】 【分析】延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形，在中，可得设米．在中，可得，在中， 可得，再由，即可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形． 米，米，， 在中，，， ， 设米． 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ， ， ． 解得． （米） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； 【小问3详解】 解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 22. 综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； （3）在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 【答案】（1） （2） （3）1米 【解析】 【分析】（1）根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把点代入，求出a的值，即可； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得：四边形为矩形，可得，再求出点M的坐标为，对于，令 ，可求出点B的坐标为，再把点，代入可得到抛物线的解析式为，即可求解； （3）对于，令 ，可求出第二次球的落地点距离原点，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴点M的坐标为， 对于，当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴设抛物线的解析式为， 当时，y的值最大，最大值为， 即第二次反弹高度为， ∵第一次飞行的最大高度为， ∴恢复系数为 【小问3详解】 解：对于， 当时，， 解得：， ∴第二次球的落地点距离原点， ∵， 即弟弟应至少沿方向左移1米． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题．已知矩形中，．点E是平面内的一个动点，且，的平分线交射线于点F，连接，过点E作的平行线交直线于点G，连接． （1）初步思考：如图1，点E在矩形内部，猜想四边形的形状，并证明你的结论； （2）深入探究：如图2，已知，当点E落在边上，且恰好是的中点时，求此时的长； （3）保持（2）中矩形形状大小不变，继续改变点E的位置．若，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，可得，，同理，再由，可得到，从而得到，即可解答； （2）延长交于点H，连接，证明四边形为矩形，可得，，再结合点E是的中点，可得垂直平分，可得到为等边三角形，从而得到，，再证明为等边三角形，可得，在中，利用勾股定理解答即可； （3）连接交于点P，由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时；当点F在的延长线上时，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 即垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：连接交于点P， 由（1）得：四边形是菱形，由（2）得：， ∴， 如图，当点F在边上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图，当点F在的延长线上时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $