精品解析：四川成都市教育科学研究院附属实验学校2025-2026学年九年级下3月定时作业（一）数学

成都市教育科学研究院附属实验学校2025-2026学年九年级下3月 定时作业（一） 数学 本练习分为A卷、B卷两部分，满分共150分，时间120分钟． 注意事项： 1.考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 2.在答题卡上作答时，考生需准确填写自己的姓名、准考证号、班级、座位号等，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题需用2B铅笔填涂作答；请用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，完全平方公式，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 4. 某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计： 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ） A. 中位数是8，平均数是8 B. 中位数是8，众数是3 C. 中位数是3，平均数是8 D. 中位数是3，众数是8 【答案】A 【解析】 【分析】由表格可直接进行求解． 【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，故众数为8，这组数据的中位数为，平均数为； 故选A． 【点睛】本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解题的关键． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 矩形的四个内角都是直角 C. 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D. 如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形性质与圆的垂径定理相关结论，只需判断各命题真假即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的性质为对角线互相垂直平分，∴A是真命题； ∵矩形的四个内角均为直角，∴B是真命题； ∵根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，∴C是真命题； 若被直径平分的弦本身就是圆的直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直，该命题存在反例，∴D是假命题． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 7. 在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 8. 已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A. 当时，二次函数图象开口向下 B. 二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C. 顶点坐标是 D. 当时，顶点是二次函数图象的最低点 【答案】C 【解析】 【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C． 【详解】解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意； B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意； C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意； 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 11. 已知、是反比例函数上的两点，那么______（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 < 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式，代入点的横坐标求出与的值，再比较两个值的大小即可． 【详解】解：将代入反比例函数， 得， 将代入反比例函数， 得， ∵， ∴． 12. 如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆周角定理得到，则可根据勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，则可判断为的中位线，然后根据三角形中位线性质求解． 【详解】解：是的直径， ， ∵，， ， ， ， 而， 为的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理． 13. 如图，中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段、于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧交于点D，折叠，使点A与点D重合，折痕交线段、于点E、F，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得为的角平分线，故可得，根据折叠的性质得到，，在中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，设与的交点为， 由题意可得，为的角平分线， ， 折叠，使点A与点D重合， ，， ∴ ∴是等边三角形 在中， ∴的周长为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上） 14. 完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 配方，得， 两边开方，得， 解得，． 15. “爱成都迎大运”，为迎接第31届世界大学生夏季运动会的举行，某学校积极开展了如下丰富多彩的课外兴趣活动：乒乓球，篮球，足球，自行车越野四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1）请根据统计图将下面的信息补充完整； ①参加问卷调查的学生共有______人，并补全条形图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______； （2）若该校共有学生1200名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【答案】（1）①240，② （2）360人 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据“B”的人数除以其百分比得到参加问卷调查的人数．根据最喜欢A课程的百分比求出对应的人数，将总人数减去最喜欢A，B，D课程的人数，求出最喜欢C课程的人数，即可补全条形图； ②将乘以“D”对应的比例，即可解答； （2）将总人数乘以最喜欢C课程的人数的占比，即可求解； （3）根据题意画树状图，找出所有等可能的结果和符合要求的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解∶①参加问卷调查的学生人数是（人）； 最喜欢A课程人数为（人）， 最喜欢C课程人数为（人）， 补全条形图为： ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为． 【小问2详解】 解：估计全体1200名学生中最喜欢C课程的人数约为（人） 答：估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有360人． 【小问3详解】 解：由题意画树状图为： ∴共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到有2种等可能的结果， ∵， ∴恰好甲和丁同学被选到的概率为． 16. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕O点旋转一定角度，如图2．当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心P（点P是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知液晶显示屏的宽为，求显示屏顶端A与底座C的距离（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，先求出，，解得，，然后在中，，得，据此可得显示屏顶端与底座的距离的长． 【详解】过点作于点，如图所示： ∴， ∴和都是直角三角形， 依题意得：，，， ，， ，， 在中，， ， 在中，，， ， ， 在中，， ，， 答：显示屏顶端与底座的距离约为． 17. 如图，是的直径，D是圆外一点，连接交于点E，过点D作于点C，与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 则， ∵， ∴ 即； （2）的半径为， 【解析】 【分析】（1）根据得，结合是的直径以及角的等量代换得，又因为，得，即可作答． （2）运用勾股定理得，根据，得出，设则，故，运用等面积法得，再结合勾股定理得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴ ∵，， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， 在中，， 设则， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴ 则 ∴， 即， ∴， 连接 ∴， 在中，， ∴， 则， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点，过点作的垂线交反比例函数的图象于另一点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点，若，求点的坐标； （3）设点是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交于点，若与相似，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标得到直线的表达式，进而得到反比例函数的表达式以及点的坐标． （2）首先证明，得到直线的表达式，通过证明四边形是矩形，得到直线的表达式，进而得到点的坐标． （3）分两种情况讨论：若,则，所以可以得到直线的函数表达式，以及点的坐标；若，则，连接，设的中点为，的坐标为，通过直角三角形的性质推出，列出关于的方程，再求解即可． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入直线，得， ， 把点的坐标代入直线，得， ， 将点的坐标代入反比例函数，得， 即反比例函数的表达式为， 联立，解得，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题可知， 如图，设直线交轴于点，直线交轴于点，过点作轴于， 令代入中，解得， ∴． ∵， ，． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 设直线的函数表达式为， 把，代入得， ，解得， 直线的函数表达式为． 如图，设点在图中所示的位置，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴直线是由直线通过平移一定距离得到的， ∴设直线的表达式为， 又∵直线经过点，代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为， ∴联立，解得：或， ∵点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点， ∴取， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：联立， 解得或， ， ①若，如图，易知， 设直线的函数表达式为， 直线经过点， ，解得，即， 联立， 解得，， ∴点的坐标为； ②若，如图，连接，设的中点为，的坐标为， 则， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，且， ∴，即， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或或， ∵点是第三象限内的反比例函数图象上一点， ∴点的横坐标为负的，而且不能取（与点重合）， ∴， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，再通过，可得，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 21. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据三视图判断立体图形的形状．利用俯视图确定几何体底层小立方块的行列分布与数量（地基），结合主视图分析几何体有几层，且每层至少有几个并排的小立方块，进而得到和的值，并代入代数式求值． 【详解】解：由俯视图可知底层第一列有个小立方块，第二列有个小立方块， 由主视图可知，几何体有层，且每层至少有个并排的小立方块， 当上层每个“可放置位置”（对应俯视图中列的位置）都放满小立方块时，上层最多有小立方块(个)，下层也有个， ∴最大总数量， 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即第一列、第二列各至少放个时，上层最少有(个)，下层有个， ∴最小总数量， ∴． 22. 如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，当点在线段的垂直平分线上，且轴时，称点为点关于点的伴随点．当为时，伴随点的坐标为______；当点在轴上移动时，得到相应的伴随点，当伴随点的纵坐标满足时，点的横坐标的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据伴随点的定义，点在线段的垂直平分线上，则．又因为 轴，设点坐标为，则点坐标为．利用两点间距离公式建立与的关系式，第一问代入求解，第二问根据的取值范围求解． 【详解】解：依题意，设点坐标为，则 点在线段的垂直平分线上， ． ， ， ， ， 当为时， 当时， ∴伴随点的坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下， 当时， 解得： 当时， 解得： ∴当伴随点的纵坐标满足时，或 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． （1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； （2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【答案】（1）每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 （2）共有种采购方案 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【小问1详解】 解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得 解得 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． 【小问2详解】 解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数， 根据题意可得 解得， 因为为正整数，所以的取值为 的可取值个数为 答：小王共有种采购方案． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点C在对称轴右侧的抛物线上，点D在x轴上，若是以P为直角顶点的直角三角形，且，求点D的坐标； （3）如图2，A，B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，交直线于点Q，是否存在实数m，使得总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在实数，使得总成立 【解析】 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，可求的值，再将点代入，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与轴的交点为，过点C作交于点，则，能得到，，设，，则，，即可求； （3）过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为，由题意可知，再由，则，设直线的解析式为，当时，，，求出，，可得等式，整理后可得． 【小问1详解】 解：是抛物线的对称轴上一点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设对称轴与x轴的交点为G，过点C作于点H，如图 ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ∴， 设，，则 ， ∴或（舍去)，， 解得或， 当时， ， 有， ， 即，不符合题意，舍去； ∴，即． 【小问3详解】 解：存在实数，使得总成立，理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 当时，，， ，轴， ，， ， ， ， ， ， 解得， ∴存在实数，使得总成立． 26. 在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． （1）如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； （2）如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； （3）如果且 ，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； 【小问2详解】 解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，求正弦值，全等三角形的判定和性质，完全平方公式变形求值，分母有理化，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市教育科学研究院附属实验学校2025-2026学年九年级下3月 定时作业（一） 数学 本练习分为A卷、B卷两部分，满分共150分，时间120分钟． 注意事项： 1.考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 2.在答题卡上作答时，考生需准确填写自己的姓名、准考证号、班级、座位号等，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题需用2B铅笔填涂作答；请用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列四个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 3 C. 5 D. 14 4. 某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计： 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ） A. 中位数是8，平均数是8 B. 中位数是8，众数是3 C. 中位数是3，平均数是8 D. 中位数是3，众数是8 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直 B. 矩形的四个内角都是直角 C. 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D. 如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A. 当时，二次函数图象开口向下 B. 二次函数图象与y轴的交点的坐标为 C. 顶点坐标是 D. 当时，顶点是二次函数图象的最低点 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 因式分解=______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________． 11. 已知、是反比例函数上的两点，那么______（填“>”、“=”或“<”）． 12. 如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为______． 13. 如图，中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段、于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧交于点D，折叠，使点A与点D重合，折痕交线段、于点E、F，若，，则的周长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上） 14. 完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程：． 15. “爱成都迎大运”，为迎接第31届世界大学生夏季运动会的举行，某学校积极开展了如下丰富多彩的课外兴趣活动：乒乓球，篮球，足球，自行车越野四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1）请根据统计图将下面的信息补充完整； ①参加问卷调查的学生共有______人，并补全条形图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______； （2）若该校共有学生1200名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 16. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕O点旋转一定角度，如图2．当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心P（点P是中点）的视线与水平线形成的夹角时，观看屏幕最舒适，此时，，．已知液晶显示屏的宽为，求显示屏顶端A与底座C的距离（结果精确到） （参考数据：，，，） 17. 如图，是的直径，D是圆外一点，连接交于点E，过点D作于点C，与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的半径及的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点，过点作的垂线交反比例函数的图象于另一点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点，若，求点的坐标； （3）设点是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交于点，若与相似，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，则代数式的值为______． 20. 关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 21. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 22. 如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，当点在线段的垂直平分线上，且轴时，称点为点关于点的伴随点．当为时，伴随点的坐标为______；当点在轴上移动时，得到相应的伴随点，当伴随点的纵坐标满足时，点的横坐标的取值范围是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． （1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； （2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点C在对称轴右侧的抛物线上，点D在x轴上，若是以P为直角顶点的直角三角形，且，求点D的坐标； （3）如图2，A，B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，交直线于点Q，是否存在实数m，使得总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 26. 在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． （1）如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； （2）如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； （3）如果且 ，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $